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Verteilungsfunktion und Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen – Warten auf die Liebste

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Martin Wabnik
Verteilungsfunktion und Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen – Warten auf die Liebste
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Verteilungsfunktion und Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen – Warten auf die Liebste

Wir hatten schon den Fall, dass wir eine Dichtefunktion definiert haben und haben uns dazu auch eine Verteilungsfunktion konstruiert. Danach haben wir dann eine Zufallsgröße dazu bestimmt und einen Zufallsversuch. Vielleicht hast du dich darüber gewundert. Denn eigentlich hast du ja gelernt, dass an erster Stelle der Zufallsversuch steht und dann die Zufallsgröße kommt. Daraus entstand dann immer ein Dichtefunktion. Nun, gibt es aber auch viele Beispiele für die andere Richtung aus unserem Alltag. Wie ich das meine, erkläre ich dir im Video anhand eines Beispiels.

Transkript Verteilungsfunktion und Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen – Warten auf die Liebste

Hallo. Wir hatten schon den Fall, dass wir eine Dichtefunktion definiert haben und haben uns dazu auch eine Verteilungsfunktion konstruiert. Und danach haben wir dann eine Zufallsgröße dazu bestimmt und danach einen Zufallsversuch. Und da hat sich vielleicht so mancher gedacht "Das ist ja ein bisschen komisch. Eigentlich ist doch erst der Zufallsversuch da und dann ist die Zufallsgröße da und daraus entsteht dann eine Dichtefunktion dieser stetig verteilten Zufallsgröße." Nun, es gibt viele Beispiele für die andere Richtung, und zwar aus unserem Alltag. Wir empfinden quasi in Dichtefunktionen. Ja, insofern sind die Dichtefunktionen nicht nur unter uns, sie sind sogar in uns und auch, wenn das jetzt Leute bestürzt, es ist nicht so schlimm - tut nicht weh. Ich habe da mal etwas vorbereitet, und zwar das hier. Das soll eine Dichtefunktion sein. Darauf ist abgebildet meine Emotion bezüglich der Erwartung meiner Liebsten. Ich erzähle das jetzt mal aus meiner Perspektive. Viele Leute meinen ja ich sei schwul, aber das stimmt ja gar nicht, also bei mir ist es "die Liebste". Angenommen wir sind verabredet zu einem bestimmten Zeitpunkt, dann erwarte ich eigentlich, dass sie kurz danach erscheint und danach erwarte ich das nicht mehr so sehr, dann gehe ich eher davon aus, dass wir uns wohl falsch verstanden haben, oder wo anders wartet, als ich das gemeint habe, oder vielleicht ist auch was passiert, wollen wir aber nicht hoffen. Also, das ist meine Erwartungshaltung, ich erwarte erst sehr, dass sie kommt und danach erwarte ich das immer weniger und gehe eher davon aus, dass da ein Missverständnis vorlag. Diesen Graphen, oder auch diese Funktion, kann man als Dichtefunktion sehen. Wir müssen nur sagen, dass die gesamte Fläche unterhalb dieses Graphen =1 ist und dann können wir das als Dichtefunktion sehen. Wir können hier zum Beispiel zu einem bestimmten Zeitpunkt, also nach einer bestimmten Wartezeit, die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass sie in dieser Zeit erscheint und diese Wahrscheinlichkeit ist dann die Fläche, die sich zwischen Graph und x-Achse befindet. Zu dieser Dichtefunktion kann man eine Verteilungsfunktion erstellen. Das habe ich jetzt nicht vorbereitet, aber das geht ganz schnell. Wir nehmen einfach ein Koordinatensystem, das soll jetzt bis unendlich gehen und da auch. Und hier ist jetzt die 0 und da kommt die y-Achse hin. Und da muss ich jetzt quasi diese Funktion nur integrieren und die Stammfunktion hier bei 0=0 setzen, denn bis zur 0 ist noch gar keine Fläche entstanden, die entsteht ja erst ab dem Zeitpunkt 0. Ich gehe jetzt einfach mal davon aus, dass sie nicht früher kommt - mach ich jetzt mal so für diese Aufgabe. Hier beginnt die Verteilungsfunktion bei 0 und steigt erst etwas stärker und steigt dann immer weniger, bis sie dann hier bei 1 angekommen ist. Hier müsste noch irgendwo so ein Knick sein, vermutlich, weil hier ja die Dichtefunktion nicht gegen 0 geht, sondern einfach stehen bleibt. Hier ist 1. An dieser Verteilungsfunktion kann ich nun ablesen, wie wahrscheinlich es ist, dass sie bis zu diesem Zeitpunkt erschienen ist. Ich muss einfach nur den Funktionswert an dieser Stelle bilden. Dann kann ich diesen Funktionswert ablesen und sagen, das ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie bis zu diesem Zeitpunkt gekommen ist. Man kann aus dieser Dichtefunktion und dieser Verteilungsfunktion auch noch eine Zufallsgröße bestimmen. Wir gehen jetzt einfach rückwärts weiter. Und zwar könnte es ja sein, dass wir um 19h30 verabredet sind. Das ist zum Beispiel hier der Zeitpunkt 19h30. Und ich warte zum Beispiel bis 20h30, also eine Stunde lang. Wenn sie bis dahin nicht gekommen ist, gehe ich davon aus, dass etwas passiert ist, oder ein Missverständnis vorliegt, dass natürlich eher, dass da ein Missverständnis vorliegt. Und wir können jetzt jeden Zeitpunkt zwischen 19h30 und 20h30 auf einem Teil der reellen Achse abbilden, und zwar, sage ich mal, auf die Zahlen von 0 bis 60. Also zum Beispiel bekommt die Uhrzeit 19h45, sag ich mal hier ist 19h45. Die Uhrzeit 19h45 bekommt die Zahl 15 zugeordnet, denn wenn sie um 19h45 kommt, habe ich 15 Minuten gewartet. Diese Funktion, die jetzt diesen Zeitpunkten Zahlen zuordnet, ist eine Zufallsgröße X. Jetzt fehlt uns noch der Zufallsversuch. Der Zufallsversuch besteht darin, dass ein bestimmter Zeitpunkt zwischen 19h30 und 20h30 eintritt. Der Zeitpunkt, an dem die Liebste dann erscheint, ist dann ein Ergebnis dieses Zufallversuchs. Ich glaube es ist schon  klar geworden. Ich versuche es jetzt genauer zu formulieren, aber das ist jetzt schwieriger, wenn man dabei an die Liebste denkt und deswegen möchte ich es jetzt dabei belassen. Ich glaube die Idee ist klar geworden, wir können aus einer Dichtefunktion alles Weitere konstruieren. Eine solche Dichtefunktion ist gar nicht so abwegig, das passiert uns andauernd im Alltag. Auch in dem Sinne, viel Spaß. Tschüss.

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