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Verteilungsfunktion und Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Verteilungsfunktion und Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Verteilungsfunktion und Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen

Inhalt

Was ist eine Verteilungsfunktion?

In Mathe kommen Verteilungsfunktionen in der Stochastik vor. Dort beschäftigen wir uns mit verschiedenen Zufallsgrößen. Zugrunde liegt ein Zufallsversuch mit einer Menge von Ergebnissen. Wie diese Menge genau aussieht, müssen wir gar nicht festlegen. Eine Zufallsgröße oder reelle Zufallsvariable ordnet diesen Ergebnissen reelle Zahlen zu. Wir nehmen hier an, dass es sich um eine stetige Zufallsgröße handelt. In diesem Fall gibt es meistens ein Intervall der reellen Zahlen, das im Bildbereich der Zufallsgröße liegt. Die Verteilungsfunktionen stetiger Zufallsgrößen beschreiben dann die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass bestimmte reelle Zahlen die Werte dieser Zufallsgrößen sind. Anders gesagt: Die Verteilungsfunktion beschreibt für ein Intervall die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße Werte in diesem Intervall annimmt. Liegt zum Beispiel keiner der Werte einer Zufallsgröße in dem Intervall $(-\infty,a)$, so ist die Wahrscheinlichkeit dort $0$.

Stetige reelle Zufallsgröße

Verteilungsfunktion – Definition

Die Verteilungsfunktion einer stetigen reellen Zufallsgröße ist eine Funktion, die auf der Menge der reellen Zahlen definiert ist. Die Funktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße Werte in einem bestimmten Bereich der reellen Zahlen annimmt. Für ein $x \in \mathbb R$ ist der Funktionswert $F(x)$ der Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße Werte in dem Intervall $(-\infty,x)$ annimmt. Dieser Wert entspricht genau der Wahrscheinlichkeit desjenigen Teils der Ergebnismenge, der durch die Zufallsgröße auf das Intervall $(-\infty,x)$ abgebildet wird.

Verteilungsfunktion – Eigenschaften

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße beschreibt die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen. Daher liegen die Funktionswerte der Verteilungsfunktion immer zwischen $0$ und $1$. Erhöht man den Wert von $x$, so vergrößert sich das Intervall $(-\infty,x)$, dessen Wahrscheinlichkeit die Verteilungsfunktion angibt. Damit vergrößert sich auch das Ereignis derjenigen Ergebnisse, die unter der Zufallsgröße Werte in diesem Intervall annehmen. Nun gilt: Je mehr Ergebnisse zu einem Ereignis gehören, desto wahrscheinlicher ist das Ereignis. Das bedeutet für die Verteilungsfunktion: Je größer $x$ ist, desto größer ist $F(x)$. Mit anderen Worten: Die Verteilungsfunktion $F$ ist monoton wachsend. Der Funktionswert $F(x)$ konvergiert für ein beliebig großes $x$ gegen die Gesamtwahrscheinlichkeit $1$. Denn in irgendeinem Bereich der reellen Zahlen liegt jeder Wert der Zufallsgröße.

Dichtefunktion – Definition

Die Dichtefunktion beschreibt ebenfalls die Verteilung der Wahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsgröße. Die Funktionswerte der Dichtefunktion haben aber nicht direkt die Bedeutung von Wahrscheinlichkeiten geeigneter Ereignisse. Die Dichtefunktion dient dazu, die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen darzustellen. Betrachten wir das Ereignis, das aus allen Ergebnissen besteht, für die die Zufallsgröße Werte in dem Intervall $(a,b)$ annimmt. Die Dichtefunktion ist nun eine Funktion, deren Integral von $a$ bis $b$ genau diese Wahrscheinlichkeit ergibt. Die Dichtefunktion ist also genauso wie die Verteilungsfunktion auf der Menge $\mathbb R$ aller reellen Zahlen definiert. Sie nimmt Werte zwischen $0$ und $1$ an. Anders als die Verteilungsfunktion ist die Dichtefunktion aber nicht monoton. Stattdessen nimmt die Dichtefunktion dort große Werte an, wo sich die Werte der Verteilungsfunktion stark ändern. Sie nimmt wieder kleinere Werte an in einem Bereich, wo sich die Werte der Zufallsgröße kaum ändern. Dies ist insbesondere bei $\infty$ und $-\infty$ der Fall: In diesen Richtungen konvergiert der Funktionswert der Dichtefunktion gegen $0$.

Verteilungsfunktion und Dichtefunktion

Verteilungsfunktion und Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen

Ist die Dichtefunktion eine stetige Funktion, so haben wir folgenden Zusammenhang zwischen der Dichtefunktion $f$ einer Zufallsgröße und ihrer Verteilungsfunktion $F$:

$F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) dt$

Nun können wir den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung anwenden, um den Zusammenhang von Dichtefunktion und Verteilungsfunktion zu beschreiben:

$F^\prime(x) = f(x)$

Die Dichtefunktion ist also die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Dieses Video über Verteilungsfunktion und Dichtefunktion

In diesem Video wird dir verständlich erklärt, was Verteilungs- und Dichtefunktionen stetiger reeller Zufallsgrößen sind. Du erfährst außerdem, wie die beiden Funktionen miteinander zusammenhängen. Ergänzend zu dem Video findest du interaktive Übungen zu Verteilungs- und Dichtefunktionen.

Transkript Verteilungsfunktion und Dichtefunktion stetiger Zufallsgrößen

Hallo! Was ist eine Verteilungsfunktion, das ist die Frage jetzt, und zwar genauer, Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße. Da stellen wir uns Folgendes vor. Wir haben einen Zufallsversuch und der Zufallsversuch hat Ergebnisse, die Ergebnisse befinden sich alle in dieser Wolke. Das heißt, wir kümmern uns nicht weiter um diese Ergebnisse, also welche Struktur die haben, wo die herkommen und so. Dann haben wir eine Zufallsgröße, die den Ergebnissen Zahlen zuordnet. Es soll sich um eine stetige Zufallsgröße handeln, das bedeutet, mindestens ein Bereich der reellen Zahlen wird komplett hier beregnet von dieser Wolke, also genauer gesagt, jede Zahl, die sich in einem bestimmten Intervall befindet, hat ein Urbild in dieser Menge, das heißt, es gibt mindestens ein Ergebnis, sodass dieses Ergebnis auf diese Zahl abgebildet wird. Es kann aber auch sein, dass davon die gesamte reelle Achse betroffen ist, das habe ich jetzt hier nicht hingezeichnet, weil die reelle Achse dafür zu groß ist. Es ist nun möglich, bestimmten Intervallen auf der reellen Zahlengeraden Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen, zum Beispiel dem Intervall von -∞ bis hierhin. Angenommen, es gibt keine Ergebnisse, die auf dieses Intervall "regnen", dann ist die Wahrscheinlichkeit bis hierhin 0, das ist kein Problem. Mal angenommen, es geht jetzt weiter, also dieses kommt weg und wir nehmen ein neues Intervall, dieses hier zum Beispiel. Dann ist die Wahrscheinlichkeit des Intervalls von -∞ bis hierhin = der Wahrscheinlichkeit des Bereichs der Wolke, der auf diesem Teil der reellen Achse abgebildet wird. Ja, das ist hier dieser Bereich, der wird nach dahin abgebildet, und dieser Bereich hat eine Wahrscheinlichkeit und das ist die Wahrscheinlichkeit des Intervalls von -∞ bis hierhin. Wir können jetzt diese Grenze immer weiter nach rechts verschieben, dann werden immer mehr Bereiche dieser Wolke davon betroffen, die Wahrscheinlichkeit wird größer, bis sie irgendwann hier in dem Fall 1 erreicht, wenn hier nichts mehr zugeordnet wird, oder, falls da doch immer mehr zugeordnet wird, konvergiert zumindest die Wahrscheinlichkeit dann gegen 1. Denn die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Zufallsversuchs ist ja 1. Diesen Zusammenhang, die Wahrscheinlichkeiten solcher Intervalle, kann man als Funktion hinschreiben, das heißt, jede Zahl auf der reellen Achse bekommt die Wahrscheinlichkeit zugeordnet, die jetzt diesem Zufallsversuch mit dieser Zufallsgröße hier entspricht. Und dadurch bekommen wir dann hier diese schwarze Funktion, das ist eine steigende Funktion. Je weiter die rechte Grenze des Intervalls nach rechts geht, je größer die wird, desto mehr Wahrscheinlichkeit enthält dieses Intervall auch und deshalb ist diese Verteilungsfunktion steigend. Ja, das ist die Verteilungsfunktion und wir haben schon über die Dichtefunktion gesprochen. Die Dichtefunktion hat die Eigenschaft, dass man einem Intervall auf der reellen Achse eine Wahrscheinlichkeit dadurch zuordnen kann, dass man die Dichtefunktion in diesem Intervall integriert. Ich glaube, es ist unschwer zu erkennen, dass die Dichtefunktion integriert, die Verteilungsfunktion ergibt, umgekehrt gesehen, dass die Ableitung der Verteilungsfunktion die Dichtefunktion ist, die Dichtefunktion dieser Zufallsgröße mit diesem Zufallsversuch. Und da das so ist, gibt es also einen dramatisch einfachen Zusammenhang zwischen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion, so er denn existiert, das ist nicht in allen Fällen so, aber in den Fällen, die uns hier vornehmlich interessieren, ist das so. Und zwar, wir haben die Verteilungsfunktion F(x) und die Dichtefunktion f,  von t in dem Fall, und der Zusammenhang ist nun so, dass der Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle x gleich ist, dem Integral von -∞ bis x, und zwar, der Dichtefunktion. Ja, das ist der Zusammenhang, viele Situationen kann man mit diesem Zusammenhang modellieren, wie gesagt nicht alle, aber dadurch kann man schon einen ganz großen Bereich abdecken. Man hat dann, da dieser Zusammenhang nun so aussieht, die ganze Analysis zur Verfügung, die man da auch einsetzen kann, um etwas über solche Zufallsversuche und solche Zufallsgrößen herauszufinden. Kleine Anmerkung noch dazu: Man braucht nicht unbedingt eine Zufallsgröße, man kann das auch einfach so mit einem Merkmal machen, das kontinuierlich verteilt ist, auch dann kann man eine Verteilungsfunktion definieren. Ja, und das war's zu diesem Zusammenhang, es kommen noch Beispiele dazu. Viel Spaß damit. Tschüss!

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