Trapez – Herleitung der Flächeninhaltsformel

Hallo liebe Schülerinnen und Schüler, herzlich willkommen zu diesem Video, Geometrie Teil 34. Das Thema dieses Videos lautet: Das Trapez. Der Untertitel lautet: (c) - Herleitung der Flächeninhaltsformel. Um den Beweis zu führen, benötigen wir eine gute Beweisskizze. Ich verwende wieder das Modell, was wir schon in den Teilen a und b benutzt haben. Die untere Seite unseres Trapezes, sei, wie wir schon benutzt haben, a. Die obere Seite sei c. Wir fällen nun das Lot von dem einen Eckpunkt bei c auf a. Und erhalten somit die Strecke e. Das Gleiche tun wir mit dem rechten Eckpunkt und erhalten die Strecke f. Gleichzeitig haben wir so die Höhe h erhalten, h links und auch h rechts. Wir haben somit die Fläche unseres Trapezes in drei Teilflächen unterteilt. Links können wir den Flächeninhalt des Dreieckes 1 berechnen. In der Mitte berechnen wir den Flächeninhalt eines Rechtecks. Und rechts berechnen wir den Flächeninhalt des Dreiecks 2. Somit ergibt sich für den Flächeninhalt des Trapezes: A Trapez  =  A Dreieck 1  + A Rechteck + A Dreieck 2. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist zu berechnen, indem man die Längen der beiden Seiten multipliziert, die an dem Rechten Winkel liegen. Das wisst Ihr aus dem Video Geometrie Teil 15. Also: A Dreieck 1 = e x h/2. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist einfach zu berechnen. Auch dazu gab es ein Video. Man multipliziert die Längen der beiden Seiten miteinander. Also: A Rechteck = c x h. Den Flächeninhalt des Dreiecks 2 können wir ebenfalls nach Video Geometrie Teil 15 berechnen. Also: A Dreieck 2  = f x h/2. Wir setzen nun die drei Terme für die Flächeninhalte in die Gleichung mit roter Schrift ein. Wir erhalten auf der rechten Seite e x h/2 + c x h + f x h/2. Wenn man sich die drei Terme auf der rechten Seite anschaut, so stellt man fest, das sie alle drei h als Faktor enthalten. Also klammern wir h aus und erhalten in der letzten Zeile: A Trapez = h x (e/2 + c + f/2). Wir schauen uns die Gleichung unten an und bilden nun den Hauptnenner aus den drei Termen in der Klammer. Der Hauptnenner ist 2. Wir schreiben also unterhalb der roten Gleichung: A Trapez = h x (e + 2 x  c + f)/2. Die Klammer benötigen wir nun nicht mehr. Wir schreiben in der Zeile darunter: A Trapez = h x e + c + c + f und im Nenner eine 2. Nach dem Kommutativgesetz der Addition vertauschen wir das zweite c mit dem f und erhalten im Zähler vierte Zeile: A Trapez = h x (e + c + f) + c. Im Nenner steht nach wie vor die 2. Aus unserer Beweiszeichnung kann man gut erkennen, das e + c + f genau a ist. Also, a = e + c + f. Also ist der Klammerausdruck auf der rechten Seite der Gleichung unten genau a. Wir können somit schreiben, unterhalb der roten Startgleichung: A Trapez = h x a + c/2. Wir setzen den Bruch in eine Klammer, dann können wir den Klammerausdruck mit h austauschen, nach dem Kommutativgesetz der Multiplikation. Wir erhalten somit die gewünschte Formel: A Trapez = (a + c)/2 x h. So, und zum Abschluss zeichne ich noch den dicken Beweisbucker. Da freut sich der Steve. Nicht Steve?  Und da die Arbeit so gut von der Hand ging, werden wir die erhaltene Formel noch in ein Kästchen einzeichnen. Euch, liebe Schülerinnen und Schüler wünsche ich viel Erfolg, Gesundheit. Bis zum nächsten Mal. Alles Gute. Tschüss.