Stichproben – Übung

Stichproben – Übung Übung

• Gib an, wer die Wahl zum Schülersprecher gemäß der Stichprobenerhebung gewinnen wird.

  Tipps

  Zur Bestimmung der Prozentzahlen teilst du jeweils die Anzahl der erhaltenen Stimmen durch $40$.

  Sicher kann, Enthaltungen ausgeschlossen, nur jemand gewinnen, wenn die $20~\%$ überschritten sind.

  Diese Erhebung gibt nicht mit Sicherheit das tatsächliche Wahlergebnis wieder, sondern nur eine Vorhersage.

  Lösung

  Aus der Gesamtheit der $1000$ Schüler der Kolmogorow-Schule wird eine Stichprobe von $40$ Schülern ausgewählt.

  Die Schüler aus der Stichprobe werden mit Hilfe eines Fragebogens befragt, wen sie wählen würden.

  Es gibt sich die folgende Voraussage:

  • Kevin würde sieben Stimmen, also $17,4~\%$, erhalten,
  • Laura dreizehn, $32,5~\%$,
  • Nico elf, $27,5~\%$,
  • Steffi vier, $10~\%$, und
  • Ahmed fünf, $12,5~\%$.

  Demnach würde Laura die Wahl gewinnen.

  Es ist wichtig zu beachten, dass dies Vorhersagen sind und nicht der tatsächliche Ausgang der Wahl.

• Gib das Minimum, das Maximum, den Median und die Spannweite des geordneten Datensatzes an.

  Tipps

  Oberhalb und unterhalb des Medians befinden sich in einem geordneten Datensatz mit ungerader Anzahl an Einträgen gleich viele Einträge.

  Die Spannweite gibt an, wie weit sich die Einträge in dem Datensatz erstrecken.

  Die Spannweite muss positiv sein.

  Lösung

  Aus der Tabelle lassen sich die folgende Informationen ablesen:

  • Der kleinste Wert, $0~€$, ist das Minimum.
  • Der größte Wert, $10~€$, ist das Maximum.
  • Der Median oder auch Zentralwert ist $3,20~€$.
  • Die Spannweite ist die Differenz aus Maximum und Minimum: $10~€-0~€=10~€$.

  In diesem Fall liegt eine ungerade Anzahl an Einträgen in dem Datensatz vor. Deshalb ist der Median der Eintrag, welcher sich genau in der Mitte der geordneten Liste befindet. Wenn man die Werte nach der Größe ordnet, erhält man: $0$, $0,60$, $1,40$, $3,20$, $4$, $5,8$ und $10$.

  Bei Datensätzen mit gerader Anzahl an Einträgen, werden die beiden mittleren addiert und die Summe durch $2$ dividiert.

• Untersuche den Datensatz auf Minimum, Maximum, Median und Spannweite.

  Tipps

  Der Datensatz ist geordnet: Er beginnt mit dem kleinsten Wert und endet mit dem größten.

  Der Median heißt auch Zentralwert.

  Die Spannweite gib an, wie weit sich der Datensatz erstreckt. Dies ist ein positiver Wert.

  Lösung

  Wenn ein Datensatz geordnet ist, können diesem weitere Informationen entnommen werden:

  • Das Minimum ist hier $4$.
  • Das Maximum ist hier $30$.
  • Die Spannweite ist die Differenz aus Maximum und Minimum, also $30-4=26$.
  • Der Median ist der mittlere Wert des geordneten Datensatzes, also $16$.

• Untersuche den Datensatz auf Maximum und Minimum sowie Median.

  Tipps

  Addiere bei denjenigen, bei welchen mehrere Sportarten angegeben sind, zunächst die verschiedenen Angaben.

  Sortiere den Datensatz.

  Der größte (kleinste) Wert ist das Maximum (Minimum). Der Wert genau in der Mitte ist der Median.

  Lösung

  Um aus Datensätzen weitere Informationen zu gewinnen, muss die Liste der Datensätze zunächst geordnet werden. Man beginnt bei dem kleinsten Wert und vervollständigt dann die Liste der Reihenfolge nach.

  Daraus ergibt sich die nebenstehend zu sehende geordnete Liste.

  • Das Minimum sind die drei Stunden von Laura.
  • Das Maximum sind die $22$ Stunden von Lilly.
  • Der Median, der Wert in der Mitte, sind die $13$ Stunden von Anna.

• Beschreibe die Erhebung an der Kolmogorow-Oberschule.

  Tipps

  Wahlen sind ein sehr gutes Beispiel für statistische Erhebungen.

  Um Hochrechnungen angeben zu können, werden zufällig vor den Wahllokalen Wähler befragt, was sie gewählt haben. Damit können zeitlich sehr nah und auch sehr genau vor der endgültigen Ausszählung die zu erwartenden Ergebnisse bekannt gegeben werden.

  Natürlich werden nicht alle Wähler befragt; dies wäre viel zu aufwändig.

  Da die Personen zufällig ausgewählt werden, können Rückschlüsse auf den tatsächlichen Ausgang der Wahl gezogen werden.

  Lösung

  Auf die Kolmogorow-Oberschule gehen $1000$ Schüler. Es soll ein neuer Schülersprecher gewählt werden. Der Mathelehrer, Herr Peters, will eine Hochrechnung anstellen.

  Von den $1000$ Schülern, wählt Herr Peters aus jeder Klassenstufe acht Schüler, also insgesamt $40$ Schüler aus.

  Die $1000$ Schüler sind die Gesamtheit und die ausgewählten $40$ sind die Stichprobe.

  Die Stichprobe muss repräsentativ sein, um von den mit dieser Stichprobe erhobenen Daten auf die Gesamtheit schließen zu können.

• Berechne den Median des Datensatzes.

  Tipps

  Oberhalb und unterhalb des Medians befinden sich gleich viele Elemente des Datensatzes.

  Bei einer geraden Anzahl an Elementen liegt der Median genau zwischen zwei gegebenen Daten.

  Der Median ist hier eine Dezimalzahl.

  Lösung

  Der Median, auch Zentralwert, eines geordneten Datensatzes ist der mittlere Wert dieses Datensatzes.

  Bei einer ungeraden Anzahl an Elementen ist dies der Wert genau in der Mitte; darüber befinden sich ebenso viele Elemente wie darunter.

  Doch wie kann bei einem Datensatz mit gerader Anzahl an Elementen der Median berechnet werden?

  Am Beispiel des oben zu sehenden Datensatzes geht man wie folgt vor: Die Mitte dieses Datensatzes liegt genau zwischen $16$ und $19$. Die beiden Werte werden addiert und die Summe durch $2$ dividiert:

  $\frac{16+19}2=\frac{35}2=17,5$.

  $17,5$ ist der gesuchte Median.