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Steigung proportionaler Funktionen – Steigungsdreiecke

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Steigung proportionaler Funktionen – Steigungsdreiecke
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Steigung proportionaler Funktionen – Steigungsdreiecke

Herzlich Willkommen! Was lernst du im folgenden Video? Hier erfährst du, was ein Steigungsdreieck ist und damit, wie man die Steigung einer proportionalen Funktion in Zahlen ausrechnet. Nutze die Gelegenheit und schau dir an, was man unter einem Steigungsdreieck versteht. Lege dein Heft sowie andere Schulsachen aus deiner Hand und versuche dich ausschließlich auf die Erklärungen unseres Tutors zu konzentrieren. Im Anschluss kannst du die Zeit nutzen und selbständig ein beliebiges Steigungsdreieck zeichnen. Viel Spaß mit dem Lehrvideo!

Transkript Steigung proportionaler Funktionen – Steigungsdreiecke

Hallo! Die Steigung proportionaler Funktionen, das ist das Thema. Im letzten Film habe ich gezeigt, was das so rein anschaulich bedeutet. Und jetzt möchte ich zeigen, wie man eine Steigung einer Funktion mit Zahlen beschreiben kann. Und dazu habe ich hier mal etwas vorbereitet. Das ist ein Koordinatensystem mit einer proportionalen Funktion innen drinnen. Jetzt bin ich wieder da. Ich möchte einmal zeigen, wie man die Steigung dieser proportionalen Funktion ermittelt, quantifiziert. Dazu mache ich Folgendes. Das gilt übrigens für alle anderen Funktionen, was ich jetzt sage, auch. Für alle anderen proportionalen Funktionen. Man geht zu irgendeinem Punkt des Graphen. Ich entscheide mich für den hier, der jetzt vertikal über der 2 liegt. Zu irgendeinem Punkt des Graphen, und gehe dann parallel zur x-Achse, von diesem Punkt aus, nach rechts mit meinem Stift. Das kann ich so lange machen, wie ich lustig bin. Ich entscheide mich hier für 3 Einheiten. Also zu einem Punkt des Graphen gehen, dann parallel zur x-Achse von links nach rechts, irgendeine bestimmte Strecke nach rechts gehen. Von diesem Punkt aus gehe ich parallel zur y-Achse, entweder nach unten oder nach oben zum nächsten Punkt des Graphen. Wenn er so liegt, muss ich ja von hier aus nach unten gehen zum Graphen. Jetzt gehe ich nach oben zum Graphen. Das ist also hier. So, bitteschön. Parallel zur y-Achse gehe ich von hier zum nächsten Punkt des Graphen. Wenn ich das gemacht habe, kann ich beide Strecken nachmessen. Das sind hier 3 Einheiten, das sind 1,5 Einheiten, vertikal zur y-Achse 1,5. Und um die Steigung zu bestimmen, muss ich diese Strecke parallel zur y-Achse, durch, also die Länge dieser Strecke durch die Länge dieser Strecke teilen. Also, die Strecke parallel zur y-Achse teile ich durch die Strecke parallel zur x-Achse. Und dass, was da rauskommt, das ist die Steigung. In dem Fall ist es 1,5÷3, das ist 1/2. Die Steigung dieses Graphen hier ist 1/2. Ich halte es noch mal hoch, ich hoffe das Steigungsdreieck hier ist gut zu sehen. Das Ding, was dann entsteht, nennt sich übrigens Steigungsdreieck, weil es 3 Ecken hat, weil es dreieckig aussieht, deshalb Steigungsdreieck. Also, das gilt für alle Funktionen. Ich werde das in den nächsten Filmen noch ein bisschen genauer erklären, aber wenn du das bis hierhin verstanden hast, brauchst du dir nicht mehr angucken. Wenn du das noch genauer sehen willst, kannst du gerne gucken. Also, diese Strecke parallel zu y-Achse geteilt durch die Strecke parallel zu x-Achse, das ist die Steigung. Dann, viel Spaß damit. Bis bald, tschüss!

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. Vielen Dank für euer positives Feedback. Es freut uns zu hören, dass euch das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh H., vor etwa 2 Jahren
  2. Danke!!!

    Von Tamara B., vor etwa 2 Jahren
  3. gutes video aber die mikrofon qualität ist sehr tief

    Von Marta W., vor fast 3 Jahren
  4. war gut

    Von Krakowb06, vor fast 3 Jahren
  5. Mir hat dieses Video sehr gut geholfen vielen dank Herr Martin W.

    Von erik h., vor mehr als 5 Jahren
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Steigung proportionaler Funktionen – Steigungsdreiecke Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Steigung proportionaler Funktionen – Steigungsdreiecke kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die richtigen Aussagen über die Steigung einer proportionalen Funktion.

    Tipps

    Auf diesem Bild gehört der orange Graph zu einer proportionalen Funktion, der grüne aber nicht.

    Die beiden orangen Strecken musst du zeichnen, um die Steigung des grünen Graphen zu bestimmen.

    Die Steigung der proportionalen Funktion, zu der der grüne Graph gehört, beträgt $\frac{3}{2}$.

    Lösung

    Der Graph einer proportionalen Funktion ist immer eine Gerade. Mit Hilfe eines Steigungsdreiecks können wir die dazugehörige Steigung bestimmen. Dazu zeichnen wir von einem Punkt auf dem Graphen aus eine Strecke parallel zu $x$-Achse. Vom Endpunkt der Strecke aus zeichnen wir parallel zur $y$-Achse eine Strecke zum nächsten Punkt auf der Geraden. Diese Strecke kann nach oben oder unten verlaufen.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    „Zur Bestimmung der Steigung einer proportionalen Funktion teilst du die Länge der zur $y$-Achse parallelen Strecke durch die Länge der zur $x$-Achse parallelen Strecke des Steigungsdreiecks.“

    „Beträgt die Länge der zur $x$-Achse parallelen Strecke $2 \text{ LE}$ und die Länge der zur $y$-Achse parallelen Strecke des Steigungsdreiecks $1 \text{ LE}$, dann ist die Steigung der proportionalen Funktion $\frac{1}{2}$.“

    • Wir teilen die Länge der zur $y$-Achse parallelen Strecke ($1 \text{ LE}$) des Steigungsdreiecks durch die Länge der zur $x$-Achse parallelen Strecke ($2 \text{ LE}$) und erhalten: $\frac{1\text{ LE}}{2\text{ LE}}=\frac{1}{2}$.
    „Der Graph einer proportionalen Funktion ist immer eine Gerade.“

    • Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine von rechts nach links ansteigende Gerade.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    „Bei der Bestimmung der Steigung einer proportionalen Funktion hilft dir ein Steigungsviereck.“

    • Wir zeichnen zwei Strecken an den Graphen und erhalten so ein Dreieck, dieses wird Steigungsdreieck genannt.
    „Zur Bestimmung der Steigung einer proportionalen Funktion teilst du die Länge der zur $x$-Achse parallelen Strecke durch die Länge der zur $y$-Achse parallelen Strecke des Steigungsdreiecks.“

    • Zur Bestimmung der Steigung einer proportionalen Funktion teilst du die Länge der zur $y$-Achse parallelen Strecke durch die Länge der zur $x$-Achse parallelen Strecke des Steigungsdreiecks.“
  • Stelle dar, wie du die Steigung dieses Graphen einer proportionalen Funktion bestimmst.

    Tipps

    Das Steigungsdreieck ist immer ein rechtwinkliges Dreieck, da auch die $x$- und $y$-Achse einen rechten Winkel einschließen.

    Für das Steigungsdreieck müssen wir nur zwei Strecken zeichnen, die dritte Seite ist durch den Graphen gegeben.

    Lösung

    Die wichtigen Schritte bei der Bestimmung der Steigung des Graphen einer proportionalen Funktion sind:

    1. Bestimme / Zeichne den Graphen.
    2. Zeichne das Steigungsdreieck.
    3. Miss die Länge der beiden Strecken, die du für das Steigungsdreieck gezeichnet hast.
    4. Teile die Länge der zur $y$-Achse parallelen Strecke $\Delta y$ durch die Länge der zur $x$-Achse parallelen Strecke $\Delta x$.
    5. Notiere die Steigung.
    Für unseren Fall heißt das:
    1. Der Graph ist das grün markierte.
    2. Das rote ist das Steigungsdreieck (WICHTIG: Eine Strecke muss parallel zur $x$-Achse verlaufen und die andere parallel zur $y$-Achse). Daher sind die anderen beiden keine Steigungsdreiecke.
    3. $\Delta x=5 \text{ LE}-2\text{ LE}=3\text{ LE}$ und $\Delta y=2,5 \text{ LE}-1\text{ LE}=1,5\text{ LE}$
    4. $\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{1,5 \text{ LE}}{3\text{ LE}}=0,5$
    5. Somit beträgt die Steigung $0,5$.
  • Entscheide, welches Steigungsdreieck zum Graphen passt.

    Tipps

    Steigungsdreiecke können auf unterschiedliche Weise an Graphen anliegen. Wichtig ist nur, dass jeweils eine Strecke parallel zur $x$-Achse und eine parallel zur $y$-Achse ist.

    Lösung

    Die wichtigen Schritte bei der Bestimmung eines Steigungsdreiecks des Graphen einer proportionalen Funktion sind:

    1. Bestimme/Zeichne den Graphen.
    2. Zeichne das Steigungsdreieck, indem du eine zur $x$-Achse parallele Strecke zeichnest und vom Endpunkt aus eine weitere Strecke parallel zur $y$-Achse bis zum nächsten Punkt des Graphen.
    3. Miss die Länge der beiden Strecken, die du für das Steigungsdreieck gezeichnet hast.
    4. Teile die Länge der zur $y$-Achse parallelen Strecke $\Delta y$ durch die Länge der zur $x$-Achse parallelen Strecke $\Delta x$.
    5. Notiere die Steigung.
    Zeichne dir also ein Steigungsdreieck wie oben an den Graphen, du erhältst eine Steigung von $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3}{2}=1,5$. Dieses vergleichst du mit den gegebenen Steigungsdreiecken. Beachte dabei, dass ein Steigungsdreieck auch um $180^\circ$ gedreht sein kann, es liegt dann oberhalb vom Graphen, beschreibt aber die gleiche Steigung.

    Grundsätzlich kannst du ein Steigungsdreieck beliebig klein oder groß zeichnen. Wenn du mit Brüchen arbeitest, denke daran, diese zu kürzen, wenn du die Steigungen vergleichen willst, oder rechne sie am Ende aus. Das Steigungsdreieck sollte nicht zu klein sein, dann könnten Messungenauigkeiten stärker ins Gewicht fallen.

  • Bestimme die Steigung der proportionalen Funktionen.

    Tipps

    Bedenke, wenn du Brüche angibst, dass du sie kürzen musst. Du kannst sie aber auch ausrechnen und als Dezimalbruch angeben.

    Hier beträgt die Steigung $\frac32=1,5$

    Lösung

    Wir zeichnen zunächst das Steigungsdreieck für die hellblaue Gerade. Daran können wir folgende Längen abmessen:

    Länge der Parallelen zur $x$-Achse:

    • $\Delta x=1 \text{ LE}-0\text{ LE}=1\text{ LE}$
    Länge der Parallelen zur $y$-Achse:
    • $\Delta y=5 \text{ LE}-0\text{ LE}=5\text{ LE}$
    Für die Steigung wird die Länge der Strecke parallel zur $y$-Achse durch die Länge der Strecke parallel zur $x$-Achse geteilt:

    • $\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{5 \text{ LE}}{1\text{ LE}}=5$ Somit beträgt die Steigung $5$.

    Analog erhalten wir für die dunkelblaue Gerade:

    Länge der Parallelen zur $x$-Achse:

    • $\Delta x=5 \text{ LE}-0\text{ LE}=5\text{ LE}$
    Länge der Parallelen zur $y$-Achse:
    • $\Delta y=6 \text{ LE}-0\text{ LE}=6\text{ LE}$
    Steigung:
    • $\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{6 \text{ LE}}{5\text{ LE}}=\frac65=1,2$ Somit beträgt die Steigung $1,2$.

    Analog erhalten wir für die grüne Gerade:

    Länge der Parallelen zur $x$-Achse:

    • $\Delta x=8 \text{ LE}-4\text{ LE}=4\text{ LE}$
    Länge der Parallelen zur $y$-Achse:
    • $\Delta y=2 \text{ LE}-1\text{ LE}=1\text{ LE}$
    Steigung:
    • $\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{1 \text{ LE}}{4\text{ LE}}=\frac14=0,25$ Somit beträgt die Steigung $0,25$.

  • Beschreibe das Vorgehen bei der Bestimmung der Steigung proportionaler Funktionen.

    Tipps

    Zur Berechnung der Steigung rechnest du: $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

    Die Steigung beträgt hier $2$.

    Lösung

    Der Graph einer proportionalen Funktion ist immer eine Gerade. Hast du den Graphen gezeichnet, kannst du mit Hilfe eines Steigungsdreiecks die zugehörige Steigung bestimmen. Dazu zeichnen wir ausgehend von einem Punkt auf dem Graphen eine Strecke parallel zu $x$-Achse. Vom Endpunkt der Strecke aus zeichnen wir parallel zur $y$-Achse eine Strecke zum nächsten Punkt auf der Geraden. Diese Strecke kann nach oben oder unten verlaufen.

    Wir messen nun die Längen der beiden Strecken. Wir erhalten in diesem Fall:

    Länge der Parallelen zur $x$-Achse:

    • $\Delta x=5 \text{ LE}-2\text{ LE}=3\text{ LE}$
    Länge der Parallelen zur $y$-Achse:
    • $\Delta y=2,5 \text{ LE}-1\text{ LE}=1,5\text{ LE}$

    Für die Steigung wird die Länge der Strecke parallel zur $y$-Achse durch die Länge der Strecke parallel zur $x$-Achse geteilt:

    • $\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{1,5 \text{ LE}}{3\text{ LE}}=0,5$
    Somit beträgt die Steigung $0,5$.

  • Bestimme die Steigungen.

    Tipps

    Die rote Gerade hat eine Steigung von $-0,5$.

    Um zu überlegen, welches Vorzeichen die Steigung haben muss, kannst du dir immer einen Wanderer vorstellen. Muss er nach oben laufen, hat die Gerade eine positive Steigung. Läuft er geradeaus, bleibt er auf derselben Höhe, die Steigung ist also $0$. Kann der Wanderer nach unten rutschen, ist die Steigung negativ.

    Lösung

    Wir sehen sofort, dass zwei Geraden, die die gleiche Steigung haben, parallel zueinander liegen. Das gilt für Hellblau und Violett, sowie für die grüne und die gelbe. Bei diesen Geraden reicht es also, wenn wir jeweils nur eine der beiden betrachten.

    Steigung $0$:

    An die Geraden Grün und Gelb können wir kein Steigungsdreieck anlegen, da sie bereits parallel zur $x$-Achse sind. Wir sagen in diesem Fall, dass sie die Steigung $0$ haben.

    Steigung $0,25$:

    Bei der dunkelblauen Geraden sind die Punkte $(-4|0)$ und $(0|1)$ gut zu erkennen, wir zeichnen hier ein Steigungsdreieck und erhalten:

    Länge der Parallelen zur $x$-Achse:

    • $\Delta x=0 \text{ LE}-(-4\text{LE })=4\text{ LE}$
    Länge der Parallelen zur $y$-Achse:
    • $\Delta y=1 \text{ LE}-0\text{ LE}=1\text{ LE}$
    Für die Steigung wird die Länge der Strecke parallel zur $y$-Achse durch die Länge der Strecke parallel zur $x$-Achse geteilt:

    • $\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{1 \text{ LE}}{4\text{ LE}}=0,25$ Somit beträgt die Steigung $0,25$.
    Steigung $4$:

    Wähle zum Beispiel die Punkte $(-1|-3)$ und $(0|1)$. Dann folgt:

    • $\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{4 \text{ LE}}{1\text{ LE}}=4$. Somit beträgt die Steigung $4$.
    Steigung $-1$:

    Ist eine Gerade fallend, muss die Steigung immer negativ sein. Das Steigungsdreieck kannst du analog bestimmen.

    Wähle für die violette Gerade zum Beispiel die Punkte $(0|0)$ und $(1|1)$, dann erhältst du die Steigung $-1$.

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