Steigung proportionaler Funktionen – Steigungsdreieck und Funktionsgleichung

Hallo! Im letzten Film habe ich gezeigt dass man mit einem Steigungsdreieck oder mit mehreren Steigungsdreiecken die Steigung einer Funktion bestimmen kann ,man geht also einfach parallel der x-Achse, dann parallel der y-Achse zu einem weiteren Funktionswert, teilt die y-Strecke durch die x-Strecke und was da rauskommt, das ist die Steigung. Das kann man mit allen möglichen Steigungsdreiecken machen, wie weit man von links nach rechts parallel der x-Achse geht ist egal, wie groß das Steigungsdreieck ist, ist egal, es kommt nur darauf an: Vertikale Strecke geteilt durch horizontale Strecke. Dieser Quotient, das ist die Steigung. Wir haben gezeigt, es geht bei einer Funktion, zumindest bei dieser, geht es für mehrere Steigungsdreiecke und wir sagen einfach: Das geht für alle, wenn man das so macht.

So, jetzt ist natürlich die Frage, also hier kam überall 1/2 raus aus Steigung, wie heißt denn diese Funktion hier, die zu diesem Graphen passt? Naja, ich weiß es, ich hab sie ja vorher mit Absicht so gezeichnet und es ist die Funktion y = 1/2 x., das ist die Funktion in schwarz die du hier sehen kannst. Das ist der Graph dazu und die Steigung ist überall 1/2. Ob es da wohl einen Zusammenhang gibt? Die Steigung ist 1/2 und die Funktion heißt 1/2x. y= 1/2 x. Ja, wenn ich schon so blöd frage, natürlich gibt es einen Zusammenhang und der Faktor der hier vor dem x steht der nennt sich Steigungsfaktor und da kann man direkt die Steigung ablesen wenn man die Funktionsgleichung kennt. Und dass das sinnvoll ist werde ich an einem weiteren Beispiel zeigen, das ist schnell gemacht.

Also ich will zeigen dass das auch wo anders funktioniert, mit anderen Funktionen. Und dazu könnte man sich einfach mal eine Funktion aussuchen, ich entscheide mich rein spontan für die Funktion y = 3x.

Wie kann ich die zeichnen? Ich muss mir einfach einen Funktionswert überlegen und dann diesen Punkt auf dem Koordinatensystem mit dem Nullpunkt verbinden. Ich nehme mal 2 und 6, das ist hier. Wenn man hier für x 2 Einsetzt ist der y-Wert 6, weil 3 × 2 6 ist. Nun muss ich nur noch den Punkt (2/6) im Koordinatensystem mit dem Nullpunkt verbinden, so da ist er. Und jetzt kommen ein paar Steigungsdreiecke dazu, die mach ich jetzt mal in grün, weil grade mein roter Stift nicht da ist. Ich kann zum Beispiel vom Nullpunkt ausgehen 2 Einheiten nach rechts, das ist ja der Punkt den ich gerade konstruiert habe: Vom Nullpunkt 2 Einheiten nach rechts, wie viel muss ich dann nach oben? Es sind 6 Einheiten, habe ich ja gerade schon gemacht, ist jetzt keine Überraschung. Wenn ich diese y-Strecke nun durch die x-Strecke teile muss ich teilen: 6 geteilt durch 2, das ist 3. Die Steigung ist also 3, ich kann das auch mit einem anderen Steigungsdreieck machen, ich fang mal hier bei −1 an und gehe also auf der x-Stelle −1, das ist hier auf der y-Stelle −4, ich gehe eine Einheit nach rechts, das ist jetzt auf der x-Achse. Wenn ich auf der x-Stelle −1 bin und −1 × 3 rechne dann komme ich ja nicht zu 4 sondern zu −3, das ist hier und dann gehe ich also eine Einheit nach rechts dann habe ich schon die y-Achse erreicht muss aber noch zum Funktionswert gehen, der sich hier bei 0 befindet und teile dann die y-Distanz durch die x-Distanz: Es ist 3 Einheiten geteilt durch 1 Einheit: 3/1 = 3, das geht noch im Kopf. Wir sehen also, wenn du die Funktion y=3x hast, dann hat sie die Steigung 3, du kannst an dem Faktor der vor dem x steht welche Steigung die Funktion hat. Und dass das mit anderen Funktionen auch funktioniert, das kommt im nächsten Film. Bis dahin: Tschüß!