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Satz des Thales – Erklärung

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Satz des Thales – Erklärung
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse

Grundlagen zum Thema Satz des Thales – Erklärung

Der Satz des Thales ist einer der elementaren Sätze der Geometrie. Den Satz des Thales kann man allerdings auf verschiedene Weisen formulieren. In diesem Video sollen dir ein paar Formulierungen vorgestellt werden. Der Satz des Thales handelt grundsätzlich von rechtwinkligen Dreiecken. Über die Hypotenuse ( die Seite AB ) kann ein Halbkreis gezeichnet. Nun besagt der Satz des Thales im Grunde, dass der Punkt C bei jedem rechtwinkligen Dreieck auf der Kreislinie liegt. Im Video erkläre ich dir gleich mehr dazu!

KomplettWissen Gymnasium. Mathematik 5.-8. Klasse, Auflage: 1. Klett Lerntraining GmbH: 2010.

Transkript Satz des Thales – Erklärung

Hallo! Den Satz des Thales kann man auf verschiedene Weisen formulieren und hier sollen mal ein paar Formulierungen vorgestellt werden. Es geht grundsätzlich um Dreiecke, hier ein Dreieck ABC. Man kann über der Seite AB einen Halbkreis zeichnen, so wie hier. Das hier ist die Kreislinie dieses Halbkreises über der Seite AB und der Satz des Thales sagt nun: Wenn die Ecke C auf dieser Kreislinie liegt, dann befindet sich bei C ein rechter Winkel, nämlich der hier. Also im Ganzen formuliert, heißt das, liegt die Ecke C, eines Dreiecks ABC auf der Kreislinie des Halbkreises über AB, dann ist das Dreieck rechtwinklig und der rechte Winkel liegt bei C. Na, dann kann ich den auch einzeichnen. Da ist er. Es gibt auch eine Formulierung dieses Satzes, die ganz ohne Dreiecke auskommt. Und zwar geht das folgendermaßen: Wir haben eine Kreislinie, wir haben einen Durchmesser, das ist ja ein Halbkreis, das ist der Durchmesser des Halbkreises. Und wir können uns irgendeinen Punkt dieser Kreislinie aussuchen und diesen Punkt mit den Endpunkten des Durchmessers verbinden. Einmal so und einmal so. Und dann entsteht hier ein rechter Winkel. Im Ganzen gesagt, verbindet man den Punkt einer Kreislinie mit den Endpunkten des Durchmessers, so entsteht ein rechter Winkel. Oder noch anders formuliert: Liegt der Scheitel eines Winkels, der hier, auf der Kreislinie eines Halbkreises und verlaufen die Winkelschenkel durch die Endpunkte des Durchmessers, dieses Halbkreises, dann ist dieser Winkel ein rechter Winkel oder wie man auch sagt ein 90°-Winkel. Nun, damit nicht genug, es gibt auch eine Umkehrung des Satzes des Thales, und zwar geht die folgendermaßen: Wenn ein Dreieck ABC ein rechtwinkeliges Dreieck ist, so wie hier, und der rechte Winkel bei C liegt, dann liegt die Ecke C des Dreiecks auf der Kreislinie des Halbkreises über der Seite AB, so wie du das hier sehen kannst. Und diesen Zusammenhang kann man sich ganz schön veranschaulichen, mit dieser Konstruktion hier. Ich habe ein Holz genommen, 2 Nägel eingeschlagen, mit einem Gummiband verbunden und jetzt nehm ich ein Blatt Papier, das hier rechtwinkelig, und wenn ich das hier zwischen die beiden Nägel schiebe, dann entsteht hier ein rechtwinkeliges Dreieck. Und nun kann ich also hier die rechten Winkel markieren und ich glaube du ahnst es schon, diese ganzen rechten Winkel liegen dann auf einem Halbkreis über dieser Grundseite. Und diesen Halbkreis, der nun entsteht, den nennt man Thaleskreis, nach dem Satz des Thales benannt, nicht wahr, oder nach dem Herrn Thales von Milet. Und hier sieht man das, wenn ich diese rechten Winkel alle verbinde, dann entsteht dieser Halbkreis. Es ist nicht ganz exakt geworden, aber sollte ja nur eine ungefähre Veranschaulichung sein. Alle rechten Winkel liegen auf diesem Thaleskreis. So ungefähr sieht das dann aus. Man kann aber auch noch etwas konstruieren mit diesem Satz des Thales. Und zwar Folgendes, wir haben hier einen Punkt, wir haben einen Kreis mit dem Mittelpunkt M und wir wissen, es gibt Tangenten, das sind Geraden, die den Kreis berühren und 2 dieser Tangenten gehen durch den Punkt P. Das ist diese Tangente einmal und diese. Ja, zwei Tangenten gibt es, die an diesem Kreis hier anliegen und durch den Punkt P gehen. Und wenn wir jetzt wissen wollen, wo genau die Berührpunkte dieser beiden Tangenten sind, dann können wir das mit dem Satz des Thales schnell konstruieren. Und das geht so: Wir verbinden die beiden Punkte P und M, und wir wissen nun, dass eine Tangente, die also durch P geht und hier am Kreis anliegt, dass eine Tangente mit dem Radius, der von M zu dem Berührpunkt führt, mit dieser Tangente hier einen rechten Winkel bildet. Und aufgrund des Satzes des Thales wissen wir, dass dieser rechte Winkel sich auf der Kreislinie des Halbkreises über PM befindet. Das bedeutet, wir brauchen nur den Halbkreis über PM zu konstruieren und der Schnittpunkt dieses Halbkreises mit dem Kreis hier um M das ist einer der Berührpunkte der Tangenten. Da einmal und in der anderen Richtung kann man das auch machen. Hier der Halbkreis und hier ist der Berührpunkt einer Tangente, die durch P führt und an M anliegt. Die zeichne ich auch noch eben ein und die zugehörigen Radien, damit du dir das gut vorstellen kannst. Hier also eine Tangente, da verläuft die so. Und hier noch eine Tangente und die beiden Radien kann ich auch noch einzeichnen. Da nehm ich das kleine Lineal. Hier ein Radius und da noch ein Radius. Und wir wissen, hier sind die rechten Winkel und diese beiden Berührpunkte hier und dort haben wir einfach herausgefunden, indem wir einen Halbkreis hier und einen Halbkreis da konstruiert haben und den Satz des Thales verwendet haben. Viel Spaß damit. Tschüss!

20 Kommentare

20 Kommentare
  1. Super

    Von Lucie, vor 4 Tagen
  2. Hat mir super weitergeholfen!

    Von Sejdiceldina, vor mehr als einem Jahr
  3. Nice

    Von Blackout 2, vor mehr als einem Jahr
  4. Nice👍👌

    Von Wdewizard, vor etwa 3 Jahren
  5. super danke

    Von JMW W., vor etwa 4 Jahren
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Satz des Thales – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Thales – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Aussage des Satzes des Thales.

    Tipps

    Für drei der sechs eingezeichneten Punkte, ausgenommen $A$ und $B$, ist der Satz des Thales erfüllt.

    Der Satz des Thales beinhaltet

    • einen Halbkreis,
    • eine Strecke und
    • ein rechwinkliges Dreieck.

    Spanne zwischen zwei Punkten einen Gummi und konstruiere Eckpunkte, in welchen der rechte Winkel eines Dreiecks liegt, welches als übrige Punkte die beiden obigen Punkte hat.

    Verbinde die Punkte miteinander und du erhältst einen Halbkreis, den Thaleskreis.

    Lösung

    Der Satz des Thales behandelt die folgende Situation:

    Über einer Strecke $\overline{AB}$ wird ein Halbkreis abgetragen.

    Für jeden der Punkte, hier zum Beispiel $C$, auf dem Halbkreis gilt, dass das resultierende Dreieck $\Delta_{ABC}$ rechtwinklig ist mit dem rechten Winkel in $C$. Dies gilt natürlich auch für die beiden Punkte $F$ und $G$.

    Umgekehrt kann man auch feststellen, dass für jedes rechtwinklige Dreieck $\Delta_{ABC}$ mit dem rechten Winkel in $C$ gilt, dass der Punkt $C$ auf einem Halbkreis liegt, welcher als Durchmesser die Strecke $\overline{AB}$ hat.

    So kann man auch einen Thaleskreis konstruieren, indem man zu der Strecke $\overline{AB}$ alle Punkte $C$ bestimmt, welche zu einem rechtwinkligen Dreieck $\Delta_{ABC}$ mit dem rechten Winkel in $C$ führen.

  • Gib an, wie die Tangenten von einem Punkt ausgehend an einen Kreis gelegt werden können.

    Tipps

    Der Satz des Thales besagt, dass jeder Punkt $C$ auf einem Halbkreis über einer Strecke $\overline{AB}$ mit diesen beiden Punkten ein rechtwinkliges Dreieck $\Delta_{ABC}$ bildet, wobei der rechte Winkel in $C$ liegt.

    Übertrage diese Zeichnung auf ein Blatt Papier und drehe das Blatt um.

    Zeichne einen Kreis und einen Punkt sowie eine Tangente von diesem Punkt an den Kreis. Was fällt dir auf, wenn du den Berührpunkt mit dem Mittelpunkt des Kreises verbindest?

    Lösung

    Mit Hilfe des Satzes des Thales können auch Tangenten konstruiert werden.

    Gegeben seien ein Punkt $P$ sowie ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$. Es gibt zwei Tangenten, welche durch $P$ gehen und an dem Kreis anliegen.

    Eine solche Tangente schließt mit dem Radius, der zu dem Berührpunkt führt, einen rechten Winkel ein.

    Das bedeutet, dass der Berührpunkt sich auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AM}$ befindet. Dies gilt selbstverständlich für beide Halbkreise.

    Nun kann die jeweilige Verbindung des Punktes $P$ mit den Berührpunkten eingezeichnet werden.

    Der Radius, welcher vom Mittelpunkt $M$ zu einem Berührpunkt führt, schließt somit mit der Tangente einen rechten Winkel nach dem Satz des Thales ein.

  • Entscheide, welche der Dreiecke nach dem Satz des Thales rechtwinklig sind.

    Tipps

    Im dem Satz des Thales wird der Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$ betrachtet.

    Es müssen also die beiden Punkte $A$ und $B$ Eckpunkte des Dreiecks sein.

    Jeder Punkt auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$ bildet mit den Endpunkten der Strecke ein rechtwinkliges Dreieck.

    Lösung

    Über einer Strecke $\overline{AB}$ wird ein Halbkreis abgetragen.

    Für jeden der Punkte auf dem Halbkreis gilt, dass dieser Punkt gemeinsam mit den Endpunkten der Strecke ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

    Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke mit den Eckpunkten

    • $A$, $B$ und $R$ sowie
    • $A$, $B$ und $T$
    jeweils rechtwinklig sind. Die Reihenfolge, in welcher die Punkte genannt sind, ist nicht von Bedeutung. Auf jedem Fall sind die beiden Punkte $A$ und $B$ Punkte des Dreiecks.

  • Bestimme die Lage der rechten Winkel.

    Tipps

    Verwende jeweils den Satz des Thales.

    Über der Strecke $\overline{AB}$ wird ein Halbkreis abgetragen. Auf diesem Halbkreis liegt der Punkt $C$. Dieser bildet gemeinsam mit den Punkten $A$ und $B$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel in $C$.

    Lösung

    Es werden hier die Dreiecke $\Delta_{RQT}$, rot, $\Delta_{POT}$, blau, sowie $\Delta_{RON}$, violett, betrachtet.

    Das Dreieck $\Delta_{RON}$ ist gleichschenklig, jedoch nicht rechtwinklig.

    Die beiden Dreiecke $\Delta_{RQT}$ sowie $\Delta_{POT}$ sind kongruent. Der Punkt $T$ befindet sich zum einen auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{RQ}$ und zum anderen auf dem über der Strecke $\overline{PO}$.

    Das bedeutet, dass die beiden Dreiecke $\Delta_{RQT}$ sowie $\Delta_{POT}$ rechtwinklig sind. Der rechte Winkel befindet sich jeweils in $T$.

  • Nenne eine weitere Formulierung des Satzes des Thales.

    Tipps

    Der Satz des Thales kann auch ohne ein Dreieck formuliert werden.

    Ein rechter Winkel hat den Wert $90^\circ$ und ein gestreckter den Wert $180^\circ$.

    Ein Winkel wird von zwei Schenkeln eingeschlossen.

    Lösung

    Den Satz des Thales kann man auch ohne ein Dreieck formulieren.

    Gegeben ist eine Halbkreislinie sowie der Durchmesser des Halbkreises.

    Man kann sich einen beliebigen Punkt des Halbkreises aussuchen und diesen mit den beiden Endpunkten des Durchmessers verbinden, dann ist der Winkel in diesem Punkt ein rechter Winkel oder, dies ist das Gleiche, ein $90^\circ$-Winkel.

    Zusammengefasst bedeutet dies: Liegt der Scheitel eines Winkels in einem Punkt auf einem Halbkreis und sind die beiden Schenkel die Verbindungen dieses Punktes mit den Endpunkten des Durchmessers, so ist der Winkel ein rechter Winkel.

  • Wende den Satz des Thales an und berechne die drei Innenwinkel des Dreiecks $\Delta_{POT}$.

    Tipps

    Verwende den Satz des Thales: Einer der drei Winkel ist ein rechter Winkel.

    Verwende diese Hilfslinie. Was fällt dir bei dem Dreieck $\Delta_{PQT}$ auf.

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß: $60^\circ$.

    Nach Winkelsummensatz ist die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks immer $180^\circ$.

    Lösung

    Zunächst kann man den Punkt $T$ betrachten. Dieser liegt auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{PO}$ und bildet nach dem Satz des Thales mit diesen beiden Punkten gemeinsam ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel befindet sich in $T$, also ist dieser Winkel $90^\circ$ groß.

    Nun kann man den Winkel in $P$ bestimmen. Die in dem Bild zu sehende gestrichelte Hilfslinie ist der Radius des Kreises. Somit folgt, dass das Dreieck $\Delta_{PQT}$ gleichseitig ist. In gleichseitigen Dreiecken sind alle Winkel gleich groß, und zwar $60^\circ$.

    Mit dem Winkelsummensatz kann der Winkel in $O$ berechnet werden. Dieser beträgt $180^\circ-(90^\circ+60^\circ)=30^\circ$.

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