Satz des Pythagoras – Seite berechnen (2)

Satz des Pythagoras – Seite berechnen (2) Übung

• Beschrifte die Seiten des schraffierten Dreiecks.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Es gibt in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Katheten und eine Hypotenuse.

  Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

  Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite in dem Dreieck.

  Du brauchst diese Zuordnung, welche Seite Kathete und welche Hypotenuse ist, für den Satz des Pythagoras.

  Lösung

  Um den Satz des Pythagoras anwenden zu können, muss man sich zunächst klarmachen, welche Seite eine Kathete und welche eine Hypotenuse ist:

  • die Katheten, es gibt zwei, liegen an dem rechten Winkel an und
  • die Hypotenuse, es gibt eine, liegt dem rechten Winkel gegenüber.
  • Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

  In dem schraffierten Dreieck hat

  • die Hypotenuse die Länge $9$,
  • eine Kathete die Länge $7$ und
  • die Länge der anderen Kathete ist unbekannt.

• Berechne die Länge der Seite $p$.

  Tipps

  Mache dir, um den Satz des Pythagoras zu verwenden klar, welche Seite des Dreiecks die Hypotenuse ist und welche Seiten Katheten sind.

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Lösung

  Das schraffierte Dreieck hat einen rechten Winkel. Die Hypotenuse hat die Länge $9$, die eine Kathete die Länge $7$ und die andere ist unbekannt: $p$.

  Der Satz des Pythagoras führt zu der Gleichung:

  $p^2+7^2=9^2$.

  Diese Gleichung wird nun nach $p$ aufgelöst:

  $\begin{align*} p^2+7^2&=9^2&|&-7^2\\ p^2&=9^2-7^2&|&\sqrt{~}\\ p&=\sqrt{9^2-7^2}\\ &=\sqrt{32}=4\cdot \sqrt2. \end{align*}$

• Leite die Länge der Seite $x$ her.

  Tipps

  Beachte, dass in diesem Trapez zwei Seiten senkrecht aufeinander stehen.

  Zeichne eine Hilfslinie ein, mittels derer du ein rechtwinkliges Dreieck erhältst, in welchem $x$ die Hypotenuse ist.

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Lösung

  Da bei diesem Trapez zwei Seiten senkrecht aufeinander stehen, kann man die entsprechenden Seiten, wie in dem Bild zu erkennen, so eintragen, dass ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten der Länge $100$ und $240$ und der unbekannten Hypotenuse $x$ entsteht. Es gilt dann mit dem Satz des Pythagoras:

  $100^2+240^2=x^2$.

  Die rechte Seite kann ausgerechnet werden und aus der Summe wird die Wurzel gezogen:

  $x=\sqrt{67600}=260$.

• Berechne die Länge der Seiten $x$ und $p$.

  Tipps

  Die Länge von $p$ lässt sich mithilfe des Satzes von Pythagoras bestimmen.

  Um $x$ zu erhalten, musst du zu $p$ etwas addieren. Schau dir das Trapez genau an.

  $p$ ist eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck, welches du in dem Bild erkennen kannst.

  Wie lang ist die andere Kathete und wie lang ist die Hypotenuse?

  Lösung

  Zunächst kann $p$ mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden in dem oberen rechtwinkligen Dreieck, mit

  • den Katheten der Länge $p$ und $12$ sowie
  • der Hypotenuse der Länge $14$.

  $p^2+12^2=14^2$.

  Durch Subtraktion von $12^2$ erhält man

  $p^2=14^2-12^2$.

  Nun kann die Differenz berechnet und daraus die Wurzel gezogen werden:

  $p\approx7,2$.

  $x$ erhält man, indem man diesen Wert zu $4$ addiert:

  $x=7,2+4=11,2$.

• Beschreibe, wie die Länge der Seite $x$ berechnet werden kann.

  Tipps

  Stelle dir in dem obigen Bild vor, du gehst von dem linken unteren Eckpunkt des Dreiecks zu dem Punkt, in welchem die Höhe auf die Seite trifft. Von dort aus gehst du zu dem rechten unteren Eckpunkt des Dreiecks.

  Wie gelangst du zu der gesamten Länge des zurückgelegten Weges?

  Mache dir dies mit Zahlen klar.

  $x$ ist sicher länger als $p$ und auch länger als $q$.

  Die Höhe des Dreiecks teilt die Seite $x$ in $p$ und $q$.

  Lösung

  In diesem Bild ist zu erkennen, dass $x$ aufgeteilt wird in $p$ und $q$. Das bedeutet, die Länge von $x$ ist die Summe von $p$ und $q$.

  $p$ und $q$ können jeweils mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

  • $q=\sqrt{15}$
  • $p=4\cdot\sqrt2$.

  Somit ist $x=p+q=\sqrt{15}+4\cdot \sqrt2$.

  Dieser Wert kann mithilfe des Taschenrechners berechnet werden:

  $x\approx 9,53$ [LE].

• Ermittle die fehlenden Seiten $x$, $p$ und $q$.

  Tipps

  Das rote Dreieck ist rechtwinklig nach dem Satz von Thales.

  Die untere Seite des roten Dreiecks hat die Länge $2\cdot 8=16$.

  $x$ kann entweder als Kathete in dem roten Dreieck berechnet werden oder als Hypotenuse in dem linken Teildreieck.

  Die Summe von $p$ und $q$ ist $8$.

  Lösung

  Es sollen die fehlenden Größen $x$, $p$ und $q$ berechnet werden.

  Da das rote Dreieck nach dem Satz des Thales rechtwinklig ist, kann der Satz des Pythagoras in diesem Dreieck angewendet werden. Die untere Seite dieses Dreiecks ist der Durchmesser des Halbkreises und hat somit die Länge $2\cdot8=16$.

  $x^2+8^2=16^2$. Diese Gleichung kann wie folgt nach $x$ aufgelöst werden:

  $\begin{align*} x^2+8^2&=16^2&|&-8^2\\ x^2&=16^2-8^2=192&|&\sqrt{~}\\ x&=\sqrt{192}\approx13,9. \end{align*}$

  Ebenso kann $q$ berechnet werden:

  $q^2+7^2=8^2$. Auch diese Gleichung wird nach der Unbekannten aufgelöst:

  $\begin{align*} q^2+7^2&=8^2&|&-7^2\\ q^2&=8^2-7^2=15&|&\sqrt{~}\\ q&=\sqrt{15}\approx 3,9. \end{align*}$

  Da $p$ und $q$ gemeinsam $16$ ergeben, ist $p=16-3,9=12,1$.