Satz des Pythagoras – Seite berechnen (1)

Satz des Pythagoras – Seite berechnen (1) Übung

• Beschreibe das Vorgehen zur Berechnung von $x$.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Schau dir das Bild an. Die eingezeichnete Höhe steht senkrecht auf der unbekannten Seite $x$.

  Die Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.

  Lösung

  Das abgebildete Dreieck ist nicht rechtwinklig.

  • Die Höhe hat $7$ [LE],
  • und die beiden bekannten Seiten $8$ und $9$ [LE].

  Wie lang ist die Seite $x$?

  Der Satz des Pythagoras kann nicht direkt angewendet werden. Wenn man die Seite $x$ in zwei Teile $p$ und $q$ teilt, so erhält man zwei rechtwinklige Dreiecke, in welchen jeweils der Satz des Pythagoras angewendet werden kann.

• Stelle die Gleichung für $q$ auf und löse diese nach $q$.

  Tipps

  Mache dir in dem schraffierten Dreieck klar, welche Seite Hypotenuse ist und welche Kathete.

  Die unbekannte Seite ist eine Kathete.

  Das Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Lösung

  Das schraffierte Dreieck hat einen rechten Winkel. Die Hypotenuse hat die Länge $8$, die eine Kathete die Länge $7$ und die andere ist unbekannt: $q$.

  Der Satz des Pythagoras führt zu der Gleichung:

  $q^2+7^2=8^2$.

  Diese Gleichung wird nun nach $q$ aufgelöst:

  $\begin{align*} q^2+7^2&=8^2&|&-7^2\\ q^2&=8^2-7^2&|&\sqrt{}\\ q&=\sqrt{8^2-7^2}\\ &=\sqrt{15}. \end{align*}$

• Erläutere, wie die unbekannte Länge $x$ aufgeteilt werden kann, um den Satz des Pythagoras anzuwenden.

  Tipps

  In einem Trapez sind zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander.

  Die Höhe kann auch an einer anderen Stelle parallel zu der angegebenen eingezeichnet werden.

  $x$ wird in drei Teile zerlegt.

  Lösung

  Hier ist die gesuchte Aufteilung der Seite $x$ zu erkennen:

  • Da bei einem Trapez zwei Seiten parallel zueinander sind, stimmen die Höhen in ihrer Länge überein.
  • Das Teilstück, welches zwischen den Höhen eingezeichnet ist, hat die gleiche Länge wie die obere Seite des Trapezes.
  • Berechnet werden müssen noch, jeweils mit dem Satz des Pythagoras, die Seiten $p$ und $q$.

  Wenn diese berechnet sind, ist $x=p+5+q$.

• Berechne die Länge der Seite $x$.

  Tipps

  Du musst den Satz des Pythagoras zweimal anwenden.

  Zum Beispiel ist dem linken rechtwinkligen Dreieck $p$ die unbekannte Kathete.

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Du musst die Gleichung, welche du nach dem Satz des Pythagoras erhältst, jeweils nach der Unbekannten umstellen.

  Lösung

  Hier ist die Aufteilung der Seite $x$ zu erkennen. Berechnet werden müssen also die beiden Teilstücke $p$ und $q$. Hierfür wird jeweils der Satz des Pythagoras verwendet:

  Zu $p$

  $p^2+9^2=12^2$. Diese Gleichung kann nach $p$ aufgelöst werden:

  $\begin{align*} p^2+9^2&=12^2&|&-9^2\\ p^2&=12^2-9^2&|&\sqrt{~}\\ p&=\sqrt{12^2-9^2}\\ p&=\sqrt{63}. \end{align*}$

  Zu $q$

  $q^2+9^2=10^2$. Diese Gleichung kann nach $q$ aufgelöst werden:

  $\begin{align*} q^2+9^2&=10^2&|&-9^2\\ q^2&=10^2-9^2&|&\sqrt{~}\\ q&=\sqrt{10^2-9^2}\\ q&=\sqrt{19}. \end{align*}$

  Nun kann $x$ berechnet werden:

  $x=\sqrt{63}+5+\sqrt{19}\approx17,3$ [LE].

• Gib den Satz des Pythagoras wieder.

  Tipps

  In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es zwei Katheten und eine Hypotenuse.

  Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an und die Hypotenuse diesem Winkel gegenüber.

  Die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse.

  Lösung

  Der Satz des Pythagoras wird meist angegeben mit: $a^2+b^2=c^2$.

  Dies ist nur bedingt richtig. Es muss gelten:

  • $a$, $b$ und $c$ sind Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und
  • $c$ ist die Hypotenuse.

  Man kann sich den Satz des Pythagoras auch in der Form:

  Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

  merken. Durch die Angabe von Katheten und Hypotenusen muss es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handeln, da diese Seite nur in einem solchen Dreieck so bezeichnet werden.

• Ermittle die Gesamtlänge der Schwimmstrecke.

  Tipps

  Die Länge von zwei Seiten ist bereits bekannt. Du musst also die Länge von $p$ berechnen.

  Um $p$ zu berechnen, musst du $q$ von $x$ subtrahieren.

  $x$ und $q$ können jeweils mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

  Lösung

  Da bereits zwei Längen bekannt sind, muss nur noch $p$ berechnet werden. Dies ist die Differenz von $x$ und $q$.

  In den folgenden Rechnungen werden die Längeneinheiten weggelassen.

  Zu Berechnung von $x$

  $x^2+100^2=200^2$. Diese Gleichung kann nach $x$ aufgelöst werden:

  $\begin{align*} x^2+100^2&=200^2&|&-100^2\\ x^2&=200^2-100^2=30000&|&\sqrt{~}\\ x&=\sqrt{30000}\\ \end{align*}$

  Zu Berechnung von $q$

  $q^2+100^2=140^2$. Diese Gleichung kann nach $q$ aufgelöst werden:

  $\begin{align*} q^2+100^2&=140^2&|&-100^2\\ q^2&=140^2-100^2=9600&|&\sqrt{~}\\ q&=\sqrt{9600}\\ \end{align*}$

  Nun kann $p$ berechnet werden:

  $p=x-q=\sqrt{30000}-\sqrt{9600}\approx75,2$.

  Nun kann diese Länge zu den bereits bekannten addiert werden:

  $200+140+75,2=415,2$.

  Die Gesamtlänge des Schwimmkurses beträgt $415,2~m$.