Satz des Pythagoras – Beweis nach Garfield

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik. Hier ist Andre mit einem Video: Lehrsatz des Pythagoras - der Beweis nach Garfield. Also wenn jetzt jemand denkt "miau, miau" - Nein, der Kater hatte seine Hand nicht im Spiel. Ich löse am Ende auf. Fragt man einen Schüler oder eine Schülerin nach dem Lehrsatz des Pythagoras, so kommt in der Regel wie aus der Pistole geschossen: a²+b²=c². Während ich mich bemühe das Schaubild zu erstellen,  versuche ich den Satz einmal zu formulieren. In einem rechtwinkligen Dreieck (rot), ist die Summe der beiden Kathetenquadrate (lila und orange) gleich der Summe des Hypotenusenquadrates (grün).  Das wäre die korrekte Formulierung. Und schon stecken wir mitten im Beweis. Wir gehen zurück in die 70er Jahre des 18. Jahrhunderts - die Vereinigten Staaten von Amerika. Mr. Garfield, an einem lauen Sommerabend, sich die händereibend, überlegt, wie er seine politischen Ämter anstreben kann. Er kennt sich in Mathematik aus, nimmt den Lehrsatz des Pythagoras, die Formulierung, färbt ein Quadrat, noch ein Quadrat...  Tja, das sind die kleinen Personen, mit denen er nicht so viel zu tun haben möchte. Er belässt es bei einer großen Persönlichkeit. Das Dreieck symbolisiert ihn selber. Tja, und wie nun Politik machen. Er bräuchte noch einen Partner, ja so einen wie sich selbst, auch so ein Dreieck, ja aber ganz so wie sich selbst auch nicht. Er bräuchte praktisch - ja so ist es richtig - sein Spiegelbild. Er muss sich drehen. Ja, das ist gut und es gibt geometrischen Sinn. Nun noch einen seiner stärksten Partner - aber er hat ihn unterschätzt. Er muss ihn reduzieren. Da kommt nichts bei raus, was soll das? Was ist da zu tun? Der Partner ist gut, aber er ist zu groß. Ich glaube er hat es jetzt, die Hälfte davon, genau. Er muss den Partner verkleinern. Er verkleinert ihn und die Hälfte ist völlig ausreichend. Was erhalten wir jetzt? Aha, ich sehe es schon. Richtig, eine schöne glatte Figur. Das wird uns helfen. Und die Politik wird Erfolge zeitigen. Frage: Welche geometrische Figur hat Mr. Garfield bei seinen Bemühungen erhalten? Richtig, ein Trapez. Wir wollen die Seitenlängen des Trapezes beschriften. Wir sehen auf der rechten Seite ist die Seitenlänge des kleinen Quadrats, also a. Links und rechts unten haben wir die Seitenlänge des mittleren Quadrats, also b. Und links unten muss ich natürlich auch a als Seitenlänge formulieren. Wir berechnen nun den Flächeninhalt des Trapezes mit der Trapezformel. b und a sind Rund- und Deckseite der beiden parallelen Trapezseiten. Die Höhe des Trapezes ist a+b, also A=(a+b)/2×(a+b) und damit haben wir Gleichung 1. Nun berechnen wir A aus den einzelnen Teilflächen. Wir haben 2 Dreiecke. Die Dreiecksformel für den Flächeninhalt des Dreiecks ist (a×b)/2, da a senkrecht zu b steht und somit a Höhe zu b ist. Wir haben 2 Dreiecke, also schreiben wir 2×(a×b)/2 + der Hälfte des Flächeninhalts des großen Quadrats c²/2. Somit haben wir Formel 2. Wir setzen die Formel 1 und 2 über A gleich und erhalten: Linke Seite: (a+b)²/2=a×b+c²/2. Wir berechnen (a+b)²  auf der linken Seite der Gleichung, nach der binomischen Formel und erhalten a²/2+b²/2 + 2ab/2 das bedeutet ab. Die rechte Seite der Gleichung bleibt stehen. Wir schauen uns die Gleichung an und sehen, dass "ab" auf beiden Seiten stehen. Nach Subtraktion von "ab" verschwinden diese Ausdrücke. Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 2 und erhalten: a²+b²=c² - Was zu beweisen war. Nun noch schnell die Rechnung weggelöscht und noch einmal das Bild konstruiert, von dem wir ausgegangen sind. Und schon sind wir fast wieder am Ende. Aber ich habe noch zwei Dinge für euch. Zunächst als Nachtrag: Um einen exakten Beweis zu erhalten, müsste man die einzelnen Schritte noch ernsthaft begründen, unter anderem auch zeigen, warum es sich bei der betrachteten Figur wirklich um ein Trapez handelt. Die zweite Bemerkung betrifft den Autor. Der Autor dieses Beweises ist der amerikanische Präsident James Garfield. Er war Präsident der Vereinigten Staaten von Amerika im Jahre 1881 und starb an den Folgen eines Attentats. Er zählt, soweit ich das verstanden habe, zu den bessren amerikanischen Präsidenten. So, das war es wieder für heute. Ich hoffe ihr hattet etwas Spaß und habt auch ein wenig gelernt. Na dann bis zum nächsten Mal. Tschüss.