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Regel von Bayes – Fahrzeugmängel

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Regel von Bayes – Fahrzeugmängel
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Beschreibung Regel von Bayes – Fahrzeugmängel

Eine Studie zur Fahrzeugsicherheit ergab folgende Daten: 2 % der untersuchten Fahrzeuge hatten Mängel. 74,25 % der Fahrzeuge waren nicht älter als 10 Jahre und hatten keine Mängel. 37,5 % der Fahrzeuge mit Mängeln waren nicht älter als 10 Jahre. Wie groß war der Anteil der Fahrzeuge mit Mängeln unter den Fahrzeugen, die nicht älter als 10 Jahre waren? Du kannst diese Aufgabe mit der Regel von Bayes lösen, wenn du eine kleine Ersetzung vornimmst.

Regel von Bayes – Fahrzeugmängel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Regel von Bayes – Fahrzeugmängel kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Mach dir zunächst bewusst, wofür die Ereignisse $\overline{A}$, $M$ und $\overline{M}$ stehen.

    • $\overline{M}$ ist das Gegenereignis von $M$.

    Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ gibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von $A$ unter der Bedingung, dass $B$ bereits eingetreten ist, an.

    $P(A\cap B)$ gibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Schnittmenge der Ereignisse $A$ und $B$ an.

    Lösung

    Die Ereignisse $\overline{A}$, $M$ und $\overline{M}$ sind wie folgt festgelegt:

    • $M$: Das Fahrzeug hat Mängel.
    • $\overline{M}$: Das Fahrzeug hat keine Mängel.
    • $A$: Das Fahrzeug ist älter als $10$ Jahre.
    • $\overline{A}$: Das Fahrzeug ist nicht älter als $10$ Jahre.
    Zudem kennen wir die folgenden prozentualen Anteile:

    • $2\%$ der untersuchten Fahrzeuge hatten Mängel ($M$).
    • $74,25\%$ der Fahrzeuge waren nicht älter als $10$ Jahre ($\overline{A}$) und hatten keine Mängel.
    • $37,5\%$ der Fahrzeuge mit Mängeln waren nicht älter als $10$ Jahre.
    Allgemein gilt:

    • Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ gibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von $A$ unter der Bedingung, dass $B$ bereits eingetreten ist, an.
    • $P(A\cap B)$ gibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Schnittmenge der Ereignisse $A$ und $B$ an. Also, dass beides gleichzeitig eintritt.
    Damit können wir die Wahrscheinlichkeiten wie folgt festlegen:

    • $2\%$ der untersuchten Fahrzeuge hatten Mängel: $P(M)=0,02$
    • $74,25\%$ der Fahrzeuge waren nicht älter als $10$ Jahre und hatten keine Mängel: $P(\overline{A} \cap \overline{M})=0,7425$
    • $37,5\%$ der Fahrzeuge mit Mängeln waren nicht älter als $10$ Jahre: $P(\overline{A}|M)=0,375$
  • Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(M|\overline{A})$ mit Hilfe des Satzes von Bayes.

    Tipps

    Der Satz von Bayes ist wie folgt definiert:

    • $P(A|B)=\dfrac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(A)\cdot P(B|A)+P(\overline{A})\cdot P(B|\overline{A})}$

    Es gilt:

    $P(B\cap A)=P(B)\cdot P(A|B)$

    Lösung

    Der Satz von Bayes ist allgemein wie folgt definiert:

    • $P(A|B)=\dfrac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(A)\cdot P(B|A)+P(\overline{A})\cdot P(B|\overline{A})}$
    Für unser Beispiel gilt:

    • $P(M|\overline{A})=\dfrac{P(M)\cdot P(\overline{A}|M)}{P(M)\cdot P(\overline{A}|M)+P(\overline{M})\cdot P(\overline{A}|\overline{M})}$
    Die Ereignisse $\overline{A}$, $M$ und $\overline{M}$ sind wie folgt festgelegt:

    • $M$: Das Fahrzeug hat Mängel.
    • $\overline{M}$: Das Fahrzeug hat keine Mängel.
    • $A$: Das Fahrzeug ist älter als $10$ Jahre.
    • $\overline{A}$: Das Fahrzeug ist nicht älter als $10$ Jahre.
    Damit können wir die Wahrscheinlichkeiten wie folgt angeben:

    • $P(M)=0,02$
    • $P(\overline{A} \cap \overline{M})=0,7425$
    • $P(\overline{A}|M)=0,375$
    Allgemein gilt:

    • $~P(B\cap A)=P(B)\cdot P(A|B)$
    Damit ist:

    • $~P(\overline{M})\cdot P(\overline{A}|\overline{M})=P(\overline{A}\cap \overline{M})$
    Somit folgt:

    • $P(M|\overline{A})=\dfrac{0,02\cdot 0,375}{0,02\cdot 0,375+0,7425}=0,01$
  • Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Du kennst die Wahrscheinlichkeit $P(Z)$. Um $P(F|Z)$ zu bestimmen, benötigst du noch die Wahrscheinlichkeit $P(Z\cap F)$.

    Du kennst die Wahrscheinlichkeiten $P(F)$ und $P(Z|F)$ und damit auch die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge $F\cap Z$.

    Lösung

    Wir arbeiten zunächst die gegebenen Wahrscheinlichkeiten heraus. Diese sind:

    • $P(F)=0,6$
    • $P(Z|F)=0,75$
    • $P(Z)=0,65$
    Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(F|Z)$. Diese können wir wie folgt bestimmen:

    $P(F|Z)=P(Z\cap F) :P(Z)$

    Wir benötigen also $P(Z\cap F)$. Es gilt:

    $P(Z\cap F)=P(F\cap Z)$

    Die Wahrscheinlichkeit $P(F\cap Z)$ können wir wie folgt berechnen:

    $P(F\cap Z)=P(F)\cdot P(Z|F)$

    Damit folgt:

    $P(F|Z)=\dfrac{P(F)\cdot P(Z|F)}{P(Z)}$

    Setzen wir nun die gegebenen Wahrscheinlichkeiten ein, erhalten wir:

    $P(F|Z)=\dfrac{0,6\cdot 0,75}{0,65}\approx 0,69$

  • Bestimme die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten auf zwei Nachkommastellen genau.

    Tipps

    Es gilt:

    $P(A)+P(\overline{A})=1$

    Es gilt:

    $P(A)\cdot P(B|A)+P(\overline{A})\cdot P(B|\overline{A})=P(B)$

    Es gilt:

    $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

    Lösung

    Wir können die Wahrscheinlichkeiten wie folgt berechnen:

    Wahrscheinlichkeit $P(\overline{B}|A)$

    Alle Wahrscheinlichkeiten, die zu derselben Verzweigung gehören, ergeben summiert $1$. Damit folgt:

    $P(\overline{B}|A)=1-P(B|A)=1-0,65=0,35$

    Wahrscheinlichkeit $P(A\cap B)$

    Um die Wahrscheinlichkeit einer Schnittmenge zu berechnen, multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des jeweiligen Pfades. Es gilt dann:

    $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=0,4\cdot 0,65=0,26$

    Wahrscheinlichkeit $P(\overline{A})$

    $P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,4=0,6$

    Wahrscheinlichkeit $P(\overline{A}\cap B)$

    $P(\overline{A}\cap B)=P(\overline{A})\cdot P(B|\overline{A})=0,6\cdot 0,35=0,21$

    Wahrscheinlichkeit $P(B)$

    Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit besagt: $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})$. Diesen Satz können wir auf unser Beispiel anwenden:

    $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=0,26+0,21=0,47$

    Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$

    Mit dem Satz von Bayes folgt:

    $P(A|B)=\dfrac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}=\dfrac{0,4\cdot 0,65}{0,47}=0,55$

  • Gib die korrekten Beziehungen an.

    Tipps

    Wenn du zwei Produkte mit demselben Faktor addierst, kannst du den gemeinsamen Faktor ausklammern. Das gilt auch für Wahrscheinlichkeiten.

    Es gilt:

    $P(C|D)+P(C|\overline{D})=1$

    Multiplizierst du alle Einzelwahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades, so erhältst du die Wahrscheinlichkeit für die Schnittmenge aller Ereignisse auf diesem Pfad.

    Lösung

    Beispiel 1: $~P(B)\cdot P(A|B)$

    Wenn wir alle Einzelwahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren, erhalten wir die Wahrscheinlichkeit für die Schnittmenge aller Ereignisse auf diesem Pfad. Also erhalten wir hier die Wahrscheinlichkeit für $B\cap A$:

    • $P(B)\cdot P(A|B)=P(B\cap A)$
    Beispiel 2: $~P(B)\cdot P(A|B)+P(B)\cdot P(\overline{A}|B)$

    Wenn wir zwei Produkte mit demselben Faktor addieren, können wir den gemeinsamen Faktor ausklammern. Das gilt auch für Wahrscheinlichkeiten.

    • $P(B)\cdot P(A|B)+P(B)\cdot P(\overline{A}|B)=P(B)\cdot (P(A|B)+P(\overline{A}|B))$
    Zudem wissen wir, dass die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten in einem Zug $1$ ist. Damit gilt:

    • $P(B)\cdot (P(A|B)+P(\overline{A}|B))=P(B)\cdot 1=P(B)$
    Alternativ kannst du auch $P(B)\cdot P(A|B)=P(B\cap A)$ nutzen, dann gilt:

    • $P(B)\cdot P(A|B)+P(B)\cdot P(\overline{A}|B)=P(B\cap A)+ P(B\cap \overline{A})$
    Und da $A\cup\overline{A}$ die gesamte Menge ist:

    • $P(B\cap A)+ P(B\cap \overline{A})=P(B)$
    Beispiel 3: $~\dfrac{P(B\cap A)}{P(B)}$

    Hier wird die Gleichung aus dem ersten Beispiel nach $P(A|B)$ umgestellt.

    • $\dfrac{P(B\cap A)}{P(B)}=P(A|B)$
  • Erschließe die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten auf fünf Nachkommastellen genau.

    Tipps

    Die Summe aus einem Ereignis und seinem Gegenereignis entspricht immer $1$.

    Der Satz von Bayes lautet:

    $P(A|B)=\dfrac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}$

    Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit lautet:

    $P(B)=P(A)\cdot P(B|A)+P(\overline{A})\cdot P(B|\overline{A})$

    Lösung

    Der Aufgabenstellung können wir die folgenden Wahrscheinlichkeiten entnehmen:

    • $P(W|F)=0,94$
    • $P(W|\overline{F})=0,02$
    • $P(F)=0,0003$
    Daraus können wir $P(\overline{F})$ schnell wie folgt ableiten:

    • $P(\overline{F})=1-P(F)=1-0,0003=0,9997$
    Laut dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:

    $P(W)=P(F)\cdot P(W|F)+P(\overline{F})\cdot P(W|\overline{F})=0,0003\cdot 0,94+0,9997\cdot 0,02\approx 0,02028$

    Mit dem Satz von Bayes können wir wie folgt weiterrechnen:

    $P(F|W)=\dfrac{P(F)\cdot P(W|F)}{P(W)}=\dfrac{0,0003\cdot 0,94}{0,02028}\approx 0,01391$

    Für die Berechnung von $P(F|\overline{W})$ nutzen wir wieder den Satz von Bayes:

    $P(F|\overline{W})=\dfrac{P(F)\cdot P(\overline{W}|F)}{P(\overline{W})}$

    Wir brauchen also folgende Wahrscheinlichkeiten:

    • $P(\overline{W}|F)=1-P(W|F)=1-0,94=0,06$
    • $P(\overline{W})=1-P(W)=1-0,02028\approx 0,97972$
    Damit folgt:

    $P(F|\overline{W})=\dfrac{0,0003\cdot 0,06}{0,97972}\approx 0,00002$

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