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Potenzfunktionen - Hyperbeln, Definitionsbereich, Graph, Symmetrie, Asymptoten 04:55 min

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Transkript Potenzfunktionen - Hyperbeln, Definitionsbereich, Graph, Symmetrie, Asymptoten

Hallo! In diesem Video geht es wieder um Potenzfunktionen und diesmal geht es um die Hyperbeln. Und hier habe ich mal den Graph von zwei verschiedenen Hyperbeln gezeichnet. Hyperbeln, das sind Potenzfunktionen, bei denen der Exponent der Potenz eine negative ganze Zahl ist. Also zum Beispiel x-3, x-1, x-2 usw. Ich habe hier jede Potenz gleich auch noch als Bruch geschrieben, damit man sich besser vorstellen kann, was der Term bedeutet. Also 1/x, 1/x3 usw. So, und auch hier sortieren wir, wie auch schon bei den Parabeln, die Funktionen nach geraden und ungeraden Exponenten, denn davon wird ganz entscheidend die Gestalt des Graphen abhängen. Und die Graphen schauen wir uns jetzt gleich mal an. Nehmen wir zuerst x-2 also 1/x2. Da haben wir 1/12=1/1=1. 1/22=¼. Und 1/(½)2=1/¼. Das wäre also schon 4. Dann sieht also der Graph ungefähr so aus. Und wenn wir für x jeweils die negativen Werte einsetzten, kommt eigentlich immer der gleiche Wert raus, weil ja durch das Quadrat das Minus aufgehoben wird. Bei 1/x4 haben wir wieder 1/14 also 1. Dann 1/24, das ist 1/16, also schon sehr klein. Und wenn x kleiner als 1 ist, dann ist x4 noch kleiner als x2, also ist der Kehrwert größer als bei 1/x2. Und auf der linken Seite ist wieder alles ganz symmetrisch. Die Kurve ist insgesamt steiler als 1/x2. Für Werte außerhalb von dem Intervall [-1;1] verläuft sie flacher, und innerhalb verläuft sie oberhalb von 1/x2. Und bei 1/x6 ist das ganze alles noch mal ein Zacken schärfer. Kommen wir jetzt zu 1/x. Da haben wir also bei 1 den Wert 1, bei 2 den Wert ½ und bei ½ haben wir den Wert 2. Im Negativen sieht es dann so aus: 1/-1=-1, 1/-2=-½ und 1/-½=-2. Sieht also dann so aus. Und wieder sehen wir, dass bei den Funktionen mit ungeraden Exponenten der linke Arm nach unten geklappt ist. So x-3 hat bei 1 den Wert 1, bei 2 den Wert 1/8 und bei Werten, die kleiner sind als 1, ist der Nenner wieder kleiner, also der Bruch insgesamt größer als bei 1/x. Und im Negativen sieht das ganze genauso aus, nur am Ursprung gespiegelt. Und bei 1/x5 schließlich ist alles wieder noch ein Stückchen steiler. Okay. Und jetzt schauen wir uns wieder jeweils den Definitions- und Wertebereich an, Symmetrie und Monotonie. So, dieser Term bedeutet ja 1/x2, also darf ich hier keine 0 einsetzen. Ansonsten darf ich aber alles einsetzen. Also Definitionsbereich R ohne 0. Als Funktionswerte haben wir alle möglichen positiven Zahlen, aber nicht die Null. Denn wenn zum Beispiel für ein bestimmtes x 1/x2=0 wäre, dann wäre ja 1=0, wenn wir die Gleichung mit x2 multiplizieren. Das geht nicht, also kann 0 kein Funktionswert sein. Auch hier ist der Definitionsbereich R ohne 0, denn in den Term 1/x zum Beispiel darf ich keine Null einsetzen. Und diesmal kommen als Funktionswerte auch negative Werte infrage, aber nicht die 0, denn 1/x kann eben nicht 0 werden. Die Hyperbeln mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch und die mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Also genau wie bei den Parabeln. Diese hier sind, wie man sieht, monoton steigend für negative x und monoton fallend für positive x-Werte, wohingegen die hier im gesamten Definitionsbereich monoton fallend sind. Diese Klasse von Funktionen nennt man also Hyperbeln n-ter Ordnung. Dabei ist der Exponent n eine ganze Zahl, die negativ ist. Und diese typische nach außen flacher werdende Form sollte man sich merken. Am Rand werden alle diese Funktionen sehr flach. Also der Limes für x gegen + oder - unendlich ist jeweils 0. Und wie bei den Parabeln gehen alle diese Funktionen durch den Punkt (1|1). Und damit sind wir erst mal mit den Hyperbeln fertig.

12 Kommentare
  1. Hallo Lena Y.,
    eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich eine Funktion 'anschmiegt', d.h. sie nähert sich dieser Geraden immer weiter an, berührt oder schneidet sie aber nie. Ein Beispiel: Die Funktion f(x) = 1/x nähert sich für große x-Werte immer mehr der x-Achse. Irgendwann scheinen sie zusammenzulaufen, man kann den Abstand nur erkennen, wenn man ganz nah heranzoomt. Dann ist die x-Achse eine Asymptote der Funktion f (x) = 1/x. Die y-Achse ist übrigens auch eine Asymptote dieser Funktion, denn wenn sich die x-Werte immer mehr der 0 nähern, schmiegt sich der Graph an die y-Achse.

    Viel Erfolg.

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  2. Ich wollte fragen was nun Asymptoten sind .Dies wird glaub ich nicht genannt.

    Von Lena Y., vor mehr als 3 Jahren
  3. richtig gut erklärt, danke! hat mir sehr geholfen :)

    Von Cg8000, vor etwa 5 Jahren
  4. gut auf den Punkt gebracht!!Danke

    Von Anjaelmdust, vor etwa 6 Jahren
  5. Ich habe in die Funktion f(x) = 1/x² den x-Wert 1/2 eingesetzt...

    Von Steve Taube, vor mehr als 6 Jahren
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Potenzfunktionen - Hyperbeln, Definitionsbereich, Graph, Symmetrie, Asymptoten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzfunktionen - Hyperbeln, Definitionsbereich, Graph, Symmetrie, Asymptoten kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was eine Hyperbel ist.

    Tipps

    Hier siehst du eine Parabel. Parabeln sind die Funktionsgraphen quadratischer Funktionen.

    Dies ist der Funktionsgraph der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$. Die sogenannte Normalparabel.

    Der Name von Funktionen bezieht sich im Allgemeinen auf die Stelle, an der die Variable (oft $x$) steht:

    • In einer Potenzfunktion steht die Variable in der Basis und wird potenziert.
    • In einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten.

    Hier siehst du den Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=e^x$.

    Dies ist die natürlichen Exponentialfunktion.

    Lösung

    Hyperbeln sind Graphen von Potenzfunktionen, bei denen der Exponent eine negative ganze Zahl ist.

    Um das besser zu verstehen, siehst du hier einige Beispiele für solche Funktionen. Dabei siehst du jeweils zwei Darstellungsmöglichkeiten der jeweiligen Funktion:

    • $f(x)=x^{-1}=\dfrac1x$
    • $f(x)=x^{-2}=\dfrac1{x^2}$
    • $f(x)=x^{-3}=\dfrac1{x^3}$
    • $f(x)=x^{-4}=\dfrac1{x^4}$
    Der zugehörige Graph besteht aus zwei zueinander symmetrischen Ästen. Diese können achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sein. Im Unendlichen nähern diese Äste sich immer mehr an die $x$-Achse an.

    Nebenstehend siehst du den Funktionsgraphen zu der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac1x$.

  • Fasse die Eigenschaften von Funktionen zusammen, deren Graphen Hyperbeln sind.

    Tipps

    Hier siehst du die Hyperbel der Funktion $f$ mit $f(x)=x^{-1}=\dfrac1x$.

    Hier siehst du die Hyperbel der Funktion $f$ mit $f(x)=x^{-2}=\dfrac1{x^2}$.

    Es gilt:

    • Der Definitionsbereich $\mathbb{D}$ ist die Menge aller Werte, die für $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen.
    • Der Wertebereich $\mathbb{W}$ ist die Menge aller Funktionswerte, die eine Funktion annimmt.

    Beachte, dass das Quadrieren einer beliebigen Zahl immer zu einem positiven Ergebnis führt.

    Lösung

    Allgemein hat eine Potenzfunktion $f$, deren Graph eine Hyperbel ist, folgende Form:

    $f(x)=x^{-n}=\dfrac1{x^n}$.

    Wie immer bei Funktionen ist es wichtig, einige Informationen zu sammeln. Dazu gehören der Definitionsbereich, der Wertebereich, die Symmetrie und das Monotonieverhalten.

    Definitionsbereich

    Gibt es Werte für $x$, die du nicht in die Funktionsgleichung einsetzen darfst? Du darfst bspw. nicht durch $0$ dividieren. Bei diesen Funktionen steht die Variable $x$ im Nenner. Deshalb darf die $0$ nicht eingesetzt werden. Es gilt $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

    Wertebereich

    Je nach Art des Exponenten können sowohl negative als auch positive Werte ($n$ ungerade) oder nur positive Werte ($n$ gerade) angenommen werden. Wieso ist das so? Wenn Du eine negative Zahl mit einer geraden Zahl potenzierst, erhältst du ein positives Ergebnis. Es gilt:

    • $n$ ungerade: $\mathbb{W}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$
    • $n$ gerade: $\mathbb{W}=\mathbb{R}^{+}$
    Symmetrie

    In der Abbildung siehst du den Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac1x$. Dieser ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Allgemein gilt:

    • $n$ ungerade: Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
    • $n$ gerade: Der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
    Monotonieverhalten

    Auch hier kannst du dir den nebenstehenden Funktionsgraphen anschauen: Dieser ist für alle $x\in\mathbb{D}$ monoton fallend.

    Allgemein gilt:

    • $n$ ungerade: Der Funktionsgraph ist monoton fallend für alle $x\in\mathbb{D}$.
    • $n$ gerade: Der Funktionsgraph ist monoton wachsend für $x\lt 0$ und monoton fallend für $x\gt 0$.
  • Bestimme die Lösungen der Gleichungen.

    Tipps

    Beachte:

    • Wenn du eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenzierst, erhältst du ein positives Ergebnis.
    • Wenn du eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenzierst, erhältst du ein negatives Ergebnis.

    Bei gegebenem Funktionswert musst du eine Bruchgleichung lösen. Schau dir ein Beispiel an:

    $x^{-1}=\frac1x=0,1$.

    Dies löst du so:

    $\begin{array}{rclll} \frac1x&=&0,1&|&\cdot x\\ 1&=&0,1\cdot x&|&:0,1\\ 10&=&x \end{array}$

    Bei gegebenem $x$ setzt du diesen Wert in die Funktionsgleichung ein.

    Lösung

    In dieser Aufgabe wird dir jeweils ein $x$-Wert und ein nicht zugehöriger $y$-Wert vorgegeben. Du musst die jeweils zugehörigen Werte finden. Dabei findest du den $y$-Wert durch einsetzen von $x$ und den $x$-Wert durch Einsetzen von $y$.

    Beispiel 1: $f$ mit $f(x)=x^{-1}$

    Es ist $x=-1$ gegeben. Durch Einsetzen von $x=-1$ erhältst du:

    $f(-1)=(-1)^{-1}=\frac1{-1}=-1$.

    Es ist $y=f(x)=\frac{1}{3}$ gegeben. Gesucht ist $x$. Du musst also eine Gleichung lösen:

    $\begin{array}{rclll} \frac1x&=&\frac13&|&\cdot x\\ 1&=&\frac13\cdot x&|&\cdot 3\\ 3&=&x \end{array}$

    Beispiel 2: $f$ mit $f(x)=x^{-2}$

    Es ist $x=-2$ gegeben. Durch Einsetzen von $x=-2$ in die Funktionsgleichung erhältst du:

    $f(-2)=\dfrac1{(-2)^2}=\frac14=0,25$.

    Nun ist $y=f(x)=4$ gegeben. Auch hier musst du eine Bruchgleichung lösen:

    $\begin{array}{rclll} \dfrac1{x^2}&=&4&|&\cdot x^2\\ 1&=&4\cdot x^2&|&:4\\ \frac14&=&x^2&|&\sqrt{~~~}\\ \pm\frac12&=&x \end{array}$

    Das $\pm$ vor dem $\frac{1}{2}$ bedeutet, dass sowohl $-\frac{1}{2}$ als auch $\frac{1}{2}$ eine Lösung darstellt.

    Beispiel 3: $f$ mit $f(x)=x^{-3}$

    Es ist $x=-0,5$ gegeben. Es gilt:

    $f(-0,5)=\dfrac1{(-0,5)^{3}}=\dfrac1{-\frac18}=-8$.

    Außerdem ist $y=f(x)= \dfrac1{x^3}=\frac18$ gegeben. Bilde auf beiden Seiten den Kehrwert. So erhältst du $x^3=8$. Nun kannst du die dritte Wurzel ziehen. So kommst du zu $x=2$.

  • Ermittle die Funktionsgleichung zum jeweiligen Funktionsgraph.

    Tipps

    Beachte die gestrichelten Linien:

    • An den horizontalen kannst du die horizontale Asymptote erkennen.
    • An den vertikalen kannst du die Lücke des Definitionsbereiches erkennen.

    Hier siehst du drei Funktionsgraphen, von denen zwei entlang der $y$-Achse verschoben wurden:

    • Die blaue Parabel gehört zu der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$.
    • Die grüne Parabel gehört zu der Funktion $g$ mit $g(x)=x^2+1$.
    • Die gelbe Parabel gehört zu der Funktion $h$ mit $h(x)=x^2-2$.

    Hier siehst du drei Funktionsgraphen, von denen zwei entlang der $x$-Achse verschoben wurden:

    • Die blaue Parabel gehört zu der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$.
    • Die grüne Parabel gehört zu der Funktion $g$ mit $g(x)=(x+1)^2$.
    • Die gelbe Parabel gehört zu der Funktion $h$ mit $h(x)=(x-2)^2$.
    Lösung

    Den Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac1{x^2}$ kannst du entlang der Koordinatenachsen verschieben. Dabei verändert sich zum einen die Lücke im Definitionsbereich (und damit die vertikale Asymptote) sowie die horizontale Asymptote.

    Im ersten Bild wird der Funktionsgraph um eine Einheit nach oben verschoben. Die horizontale Asymptote ist nun eine zur $x$-Achse parallele Gerade durch $y=1$. Die Funktionsgleichung lautet:

    $h(x)=\dfrac1{x^2}+1$.

    Im zweiten Bild wird der Funktionsgraph um zwei Einheiten nach unten verschoben. Ebenso wird die horizontale Asymptote verschoben. Dies ist nun eine zur $x$-Achse parallele Gerade durch $y=-2$. Hier lautet die Funktionsgleichung:

    $k(x)=\dfrac1{x^2}-2$.

    Merke dir: Wenn Funktionsgraphen (ausschließlich) um $a$ Einheiten entlang der $y$-Achse, also nach oben oder unten, verschoben werden, ändert sich die Funktionsgleichung wie folgt: Du addierst oder subtrahierst $a$ zu der bisherigen Funktionsgleichung.

    Verschiebungen entlang der $x$-Achse bewirken hingegen eine Addition oder Subtraktion im Argument.

    Im dritten Bild wird der Funktionsgraph um zwei Einheiten nach rechts verschoben. Die Lücke im Definitionsbereich liegt bei $x=2$. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet:

    $k(x)=\dfrac1{(x-2)^2} = (x-2)^{-2}$.

    Beachte: Wenn du in den Term im Nenner $x=2$ einsetzt, erhältst du $0$.

    Im vierten Bild wird der Funktionsgraph um eine Einheit nach unten sowie um eine Einheit nach links verschoben. So kommst du zu folgender Funktionsgleichung:

    $l(x)=\dfrac1{(x+1)^2}-1 = (x+1)^{-2} - 1$.

  • Gib an, ob der Exponent der zugehörigen Funktionsgleichung gerade oder ungerade ist.

    Tipps

    Hier siehst du den Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$.

    Dieser Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

    Hier siehst du den Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x^3$.

    Dieser Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

    Lösung

    Hyperbeln sind die Graphen von Funktionen, deren Funktionsgleichung die Form $f(x) = x^{-n}$ mit $n\in \mathbb{N}$ hat.

    Für die Symmetrie von Hyperbeln gilt:

    • Hyperbeln von Funktionsgleichungen mit geradem Exponenten sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
    • Hyperbeln von Funktionsgleichungen mit ungeradem Exponenten sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
    Hier siehst du beispielhaft den Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x^{-2}=\dfrac1{x^2}$.

    Du kannst erkennen, dass dieser achsensymmetrisch zur $y$-Achse verläuft. Dies gilt ebenso für die Funktionsgraphen der Funktionen $f$ mit $f(x)=x^{-4}$, $f(x)=x^{-6}$ usw.

  • Stelle die umgekehrt proportionale Beziehung als Funktionsgleichung dar.

    Tipps

    Produktgleichheit bedeutet, dass das Produkt zweier Größen, die einander zugeordnet sind, immer gleich ist.

    Wenn zum Beispiel sechs Lastkraftwagen fahren, führt dies wie folgt zu der Anzahl der Fahrten pro Lastkraftwagen:

    $y=\frac{12}{6}=2$.

    Lösung

    Umgekehrt proportionale Zuordnungen führen zu Funktionen, deren Graphen Hyperbeln sind.

    Wie immer bei einer Funktion wird der Größe $x$ die Größe $y$ zugeordnet. Da das Produkt der einander zugeordneten Größen immer gleich sein muss, erhältst du die Gleichung $x\cdot y=12$.

    Übrigens: Diese Eigenschaft wird als Produktgleichheit bezeichnet.

    Nun kannst du diese Gleichung umformen nach $y$. Du dividierst hierfür durch $x$ und erhältst $y=\frac{12}{x} = 12\cdot x^{-1}$. Dies ist eine Potenzfunktion, deren Graph eine Hyperbel ist.

    Nun kannst du bei gegebener Anzahl $x$ der Lastkraftwagen die Zahl der Fahrten $y$ pro Lastkraftwagen ausrechnen:

    • Wenn zwei Lastkraftwagen fahren, bedeutet dies für jeden $y=\frac{12}2=6$ Fahrten.
    • Bei drei Lastkraftwagen kommst du zu $y=\frac{12}3=4$ Fahrten.
    • Wenn vier Lastkraftwagen fahren, muss jeder $y=\frac{12}4=3$ Fahrten machen.
    • Bei sechs Lastkraftwagen kommen auf jeden Lastkraftwagen $\frac{12}6=2$ Fahrten.