Periodische Vorgänge modellieren – Beispiele

Periodische Vorgänge modellieren – Beispiele Übung

• Gib an, wie die Parameter bei der Modellierung periodischer Vorgänge berechnet werden können.

  Tipps

  Die Sinusfunktion hat die Periode $2\pi$.

  Die Funktion $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$ entsteht aus der Funktion $\sin(x)$ durch Verschiebung und Streckung.

  Lösung

  Periodische Vorgänge können durch eine Sinusfunktion modelliert werden:

  $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$.

  Wofür stehen die Parameter?

  • $a$ steht für die Amplitude, also die Hälfte der Differenz von maximalem und minimalem Wert: $a=\frac{y_{max}-y_{min}}2$.
  • $b$ steht für die Veränderung der Periodenlänge. $b=\frac{2\pi}p$, wobei $p$ die Periodenlänge des Vorganges ist.
  • $d$ berechnet man mit der Stelle $x_e$, an welcher das arithmetische Mittel vor dem Maximum $f(x_e)$ angenommen wird : $d=b\cdot x_e$.
  • $e$ ist das arithmetische Mittel der Extremwerte: $e=\frac{y_{max}+y_{min}}2$.

• Stelle die Funktionsgleichung auf, die den periodischen Vorgang modelliert.

  Tipps

  Die Periode dieses Vorganges ist $p=35$ Minuten.

  Es gelten:

  • $a=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}-y_{\text{min}})$
  • $b=\frac{2 \cdot \pi}{p}$
  • $d=b \cdot x_e$, wobei $f(x_e)=e$ gilt und die Stelle vor dem Maximum gemeint ist.
  • $e=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}+y_{\text{min}})$

  Lösung

  Zur Bestimmung der Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$ müssen die bekannten Werte

  • $y_{max}=4$,
  • $y_{min}=3$ sowie
  • $p=35$

  in die Gleichungen für die Parameter eingesetzt werden:

  1. $a=\frac{y_{max}-y_{min}}2=\frac{4-3}2=0,5$.
  2. $b=\frac{2\pi}p=\frac{2\pi}{35}\approx 0,18$.
  3. $d=b \cdot x_e$ mit $f(x_e)=e$ kann abgelesen werden. Bei $15$ wird das arithmetische Mittel $3,5$ angenommen, also $d=0,18\cdot 15=2,7$.
  4. $e=\frac{x_{max}+y_{min}}2=\frac{4+3}2=3,5$.

  Die Funktionsgleichung lautet demnach:

  $f(x)=0,5\cdot \sin(0,18x-2,7)+3,5$.

• Leite die Gleichung der modellierenden Funktion her.

  Tipps

  Da $x=8$ $18:00$ Uhr entspricht, erhalten wir die beiden Maxima $(8|1,68)$ und $(18|1,68)$ und das Minimum bei $(13|1,5)$.

  Die Periodenlänge dieses Vorgangs beträgt $10$ Stunden.

  Es gelten:

  • $a=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}-y_{\text{min}})$
  • $b=\frac{2 \cdot \pi}{p}$
  • $d=b \cdot x_e$, wobei $f(x_e)=e$ gilt.
  • $e=\frac12 \cdot (y_{\text{max}}+y_{\text{min}})$

  Die Stelle, an der das arithmetische Mittel vor dem Maximum angenommen wird liegt genau zwischen $13:00$ Uhr und $18:00$ Uhr, also bei $15:30$ Uhr bzw. $x_e=15,5$.

  Lösung

  Es soll die Gleichung $f(x)=a\cdot \sin(bx-d)+e$ hergeleitet werden. Da $x=8$ $18:00$ Uhr entspricht, erhalten wir die beiden Maxima $(8|1,68)$ und $(18|1,68)$ und das Minimum bei $(13|1,5)$. Die Stelle, an der das arithmetische Mittel vor dem Maximum angenommen wird liegt genau zwischen $13:00$ Uhr und $18:00$ Uhr, also bei $15:30$ Uhr bzw. $x_e=15,5$.

  Wir berechnen mit diesen Angaben die Parameter:

  • die Amplitude $a=\frac{y_{max}-y_{min}}2=\frac{1,68-1,50}2=0,09$,
  • die Veränderung der Periodenlänge $b=\frac{2\pi}{10}\approx0,63$,
  • das arithmetische Mittel von maximalem und minimalem Wert: $e=\frac{y_{max}+y_{min}}2=\frac{1,68+1,50}2=1,59$ sowie
  • die Stelle an welcher das arithmetische Mittel vor dem Maximum angenommen wird: $d=15,5 \cdot b=9,765$.

  Die Funktion lautet also

  $f(x)=0,09\cdot \sin(0,63x-9,765)+1,59$.

• Ermittle den Benzinpreis um $14:00$, $16:00$ und $17:00$ Uhr.

  Tipps

  Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf RAD für Bogenmaß und nicht auf DEG für Gradmaß eingestellt ist.

  Du kannst die Uhrzeit in Stunden in die Funktionsgleichung einsetzen.

  Lösung

  Um den Benzinpreis zu der gegebenen Tageszeit zu bestimmen, kann diese in der Funktionsgleichung eingesetzt werden. Das liegt daran, dass wir $x=0$ auf $0:00$ Uhr gesetzt haben.

  Wir rechnen die Benzinpreise in $€$ aus und runden.

  • $f(14)=0,09\cdot \sin(0,63x-9,765)+1,59\approx 1,517055276 \approx 1,52$,
  • $f(16)=0,09\cdot \sin(0,63x-9,765)+1,59\approx 1,617883482 \approx1,62$ und
  • $f(17)=0,09\cdot \sin(0,63x-9,765)+1,59\approx 1,662944724 \approx 1,66$.

• Berechne die Temperatur in dem Kühlschrank nach $45$ Minuten.

  Tipps

  Beachte, dass dein Taschenrechner auf RAD für Bogenmaß eingestellt ist.

  Setze $45$ für $x$ ein und rechne aus.

  Hier ein Zwischenergebnis mit der Einstellung RAD.

  $\sin(0,18 \cdot 45-2,7) \approx -0,77276 $.

  Lösung

  Die Funktion $f(x)=0,5\cdot \sin(0,18x-2,7)+3,5$ gibt die Temperatur in dem Kühlschrank nach $x$ Minuten an.

  Um die Temperatur nach $45$ Minuten zu erhalten, wird $45$ in der Funktionsgleichung eingesetzt:

  $f(45)=0,5\cdot \sin(0,18\cdot 45-2,7)+3,5 \approx 3,113617756$.

  Der Kühlschrank hat nach $45$ Minuten die Temperatur $3,11^\circ$.

• Ermittle den Zeitpunkt, ab dem der Preis in dem Zeitraum erstmals unter $1,60 ~€$ fällt.

  Tipps

  Zeichne den Verlauf der Funktion in ein Koordinatensystem und beachte die Symmetrie-Eigenschaften. Achte auf den vorgegebenen Zeitraum zwischen $8:00$ Uhr und $13:00$ Uhr.

  Um von einer Dezimalzahl auf die Minuten zu kommen, muss die Dezimalzahl mit $60$ multipliziert werden.

  Zum Beispiel entspricht $13,25$ der Uhrzeit $13:15$ Uhr.

  Die zu lösende Gleichung lautet

  $0,09\cdot \sin(0,63x-9,765)+1,59=1,60$.

  Achte darauf, den Taschenrechner auf Bogenmaß RAD und nicht auf DEG einzustellen.

  Lösung

  Es ist die Gleichung

  $0,09\cdot \sin(0,63x-9,765)+1,59=1,60$

  zu lösen.

  $\begin{align} 0,09\cdot \sin(0,63x-9,765)+1,59&=1,60 &|&-1,59 \\ 0,09\cdot \sin(0,63x-9,765)& =0,01 &|&:0.09\\ \sin(0,63x-9,765) &=\frac19 &|&\sin^{-1}()\\ 0,63x-9,765&=\sin^{-1}\left(\frac19\right) &|&+9,765\\ 0,63x&=\sin^{-1}\left(\frac19\right)+9,765 &|&:0,63\\ x&\approx15,68, \end{align}$

  Dieser Wert kann nun noch in die entsprechende Uhrzeit umgerechnet werden:

  • die Stunden sind $15$ und
  • die Minuten ungefähr $0,68 \cdot 60 =40,8 \approx 41$.

  Das heißt, um $15:41$ Uhr wird der Benzinpreis $1,60~€$ erreicht haben und danach steigt er auf $1,68~€$ an. Das ist daher nicht der gesuchte Zeitpunkt für unseren Zeitraum zwischen $8:00$ Uhr und $13:00$ Uhr.

  Aus Gründen der Symmetrie ist der gesuchte Zeitpunkt eben gegeben durch $8+(18-15,68)=10,32$ und dies entspricht ungefähr $10:19$ Uhr.