Ortlinie und Ortskurve bei ganzrationalen Funktionen – Beispiele

Hi. In diesem Video zeige ich euch, wie ihr die Ortskurve einer Funktionsschar bestimmt. Eine Funktionsschar hat ja mehrere Funktionen und die Ortskurve CH verläuft durch die Hochpunkte Ht der Funktionen der Funktionsschar. Wenn wir die Ortskurve bestimmen wollen, brauchen wir einen Hochpunkt und wir brauchen seine Koordinaten in Abhängigkeit von t. Anhand dieser Koordinaten können wir dann die Ortskurve bestimmen, denn die Ortskurve verläuft linear durch die Hochpunkte der Funktionen. Wenn wir die Koordinaten der Ortskurve haben, dann bestimmen wir durch Eliminierung von t die Ortskurve. Aber genug Theorie, machen wir das Ganze mal. Gegeben sei die Funktion ft(x)=2t^2x3-12tx²+18x, wobei t>0 ist und x ist. Wenn wir jetzt die Ortskurve bestimmen wollen, dann brauchen wir die Hochpunkte. Also wir bestimmen jetzt erst mal einen Hochpunkt in Abhängigkeit von t. Dafür bilden wir die Ableitung der Funktion. Das Ganze kann man noch ein bisschen zusammenfassen. Und die 2. Ableitung brauchen wir auch noch. Gut, jetzt setzen wir die 1. Ableitung gleich 0. Das Ganze teilen wir durch 6t², 24÷6=4 und t÷t² macht nur noch ein t im Nenner. 18÷6 sind 3 und durch t². Gut, jetzt können wir anhand der pq-Formel nach x1 und x2 auflösen. x1 und x2 sind gleich -p/2, also 2/t-p/2², also 4t²-3t². 4t²-3t² macht 1t² und die \sqrt(1/t²)=1/t. x1 sind also 2/t+1/t und x2 sind gleich 2/t-1/t. 2-1=1.  ok, wir wollen jetzt rausfinden, ob einer dieser beiden Punkte der Extremwert für einen Hochpunkt ist. Und dafür setzen wir jetzt in die 2. Ableitung ein. 12t²×3/t, hier können wir das t voneinander wegkürzen und 12×3=36, also haben wir 36t-24t=12t. Da t>0 ist, sind 12t auch >0 und damit haben wir bei x1 einen Tiefpunkt. Aber das brauchen wir jetzt nicht, wir brauchen nämlich den Hochpunkt. Also setzen wir jetzt x2 ein und sehen, ob wir mehr Glück haben. Hier können wir wieder das t² mit dem Nenner kürzen und das ×1 können wir gleich weglassen. Also haben wir 12t-24t, das macht gleich -12t. Und da t>0 ist, sind -12t<0. Also haben wir hier einen Hochpunkt. Wir haben also einen Hochpunkt mit der x-Koordinate 1/t. Das bedeutet, alle Hochpunkte der Funktionsschar lassen sich anhand von t abbilden. Jetzt setzen wir 1/t in die Ursprungsfunktion ein, um auch den y-Wert zu ermitteln. So, erfolgreich eingesetzt. Jetzt kürzen wir die t's noch weg. Dann können wir t auch noch direkt unter die Zahlen schreiben. Wir haben also 2-12+18, das alles jeweils geteilt durch t und das sind dann gleich 8/t. Gut, damit haben wir jetzt die Koordinaten der Hochpunkte. Wir wissen also, der y-Wert beträgt gleich 8/t. Das können wir ja noch mal anders aufschreiben. Das wär ja gleich 8×1/t. Und 1/t ist ja die dazu passende x-Stelle. Und die Ortskurve verläuft ja linear. Da nehmen wir jetzt einfach den y-Wert, so wie wir es hier hatten, sind gleich 8×x. Einfach den jeweiligen x-Wert eingesetzt.