Oktaeder – Volumen

Oktaeder – Volumen Übung

• Beschreibe, wie die Höhe der Pyramide berechnet werden kann.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$ (längste Seite im rechtwinkligen Dreieck) gilt also:

  $a^2 + b^2 = c^2$.

  Du erhältst bei der Umformung an verschiedenen Stellen den Ausdruck $\frac1{\sqrt2}$.

  Erweitere diesen Bruch mit $\sqrt 2$. Dies führt zu:

  $\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{\sqrt2\cdot \sqrt2}=\frac{\sqrt2}2$.

  Lösung

  Was ist ein Oktaeder?

  Ein Oktaeder ist ein regelmäßiger Körper. Dieser wird von acht kongruenten und gleichseitigen Dreiecken gebildet. „Oktaeder“ heißt übrigens „Achtflächler“.

  Das bedeutet insbesondere, dass alle $12$ Kanten gleich lang sind. Diese sind hier in dem Bild mit $a$ gekennzeichnet.

  Wie du hier sehen kannst, besteht ein Oktaeder aus zwei geraden und quadratischen Pyramiden. Die Höhe des Oktaeders ist $h_O$. Sie ist doppelt so lang wie die Höhe $h$ einer der beiden Pyramiden.

  Das Volumen einer Pyramide ist gegeben durch $V_\text{Pyr}=\frac13\cdot A_g\cdot h=\frac13\cdot a^2\cdot h$.

  Du musst also die Höhe $h$ bestimmen.

  Hierfür wendest du zweimal den Satz des Pythagoras an.

  Die halbe Diagonale der Grundfläche

  Wir bezeichnen die Diagonale der Grundfläche mit $2s$. Sie ist die Hypotenuse in einem gleichschenkligen und rechtwinkligen Dreieck mit den beiden Schenkeln $a$ (den Katheten). Somit gilt:

  $\begin{array}{rclll} (2s)^{2}&=&a^{2}+a^{2}\\ 4s^{2}&=&2a^{2}&|&:4\\ s^{2}&=&\frac12a^{2}&|&\sqrt{~~~}\\ s&=&\frac1{\sqrt2}a\\ &=&\frac{\sqrt2}{2}a \end{array}$

  Die Höhe der Pyramide

  Nun kannst du die Höhe $h$ der Pyramide berechnen. Betrachte hierfür das rechtwinklige Dreieck mit der Hypotenuse $a$ und den Katheten $s$ und $h$. Du kommst dann zu der Gleichung $a^{2}=s^{2}+h^{2}$.

  Setze nun $s^{2}=\frac12a^{2}$ in diese Gleichung ein und forme nach $h$ um.

  $\begin{array}{rclll} a^{2}&=&s^{2}+h^{2}\\ a^{2}&=&\frac12a^{2}+h^{2}&|&-\frac12a^{2}\\ \frac12a^{2}&=&h^{2}&|&\sqrt{~~~}\\ \frac1{\sqrt2}a&=&h\\ \frac{\sqrt2}{2}a&=&h \end{array}$

  Nun bist du fertig. Du hast die Höhe mit Hilfe von $a$ ausgedrückt.

• Gib die Formel zur Berechnung des Volumens eines Oktaeders an.

  Tipps

  Für jede Pyramide gilt $V=\frac13\cdot A_g\cdot h$.

  Du kannst $h$ in dieser Aufgabe mit Hilfe von zwei Anwendungen des Satzes des Pythagoras ermitteln und abhängig von $a$ ausdrücken.

  Der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ beträgt $a^{2}$.

  Du kannst bei der Volumenberechnung des Oktaeders den Bruch kürzen.

  Lösung

  Das Volumen des Oktaeders ist das Doppelte des Volumens einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Es gilt:

  $V=2\cdot V_\text{Pyr}=2\cdot \frac13\cdot A_g\cdot h$.

  Da die Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$ ist, erhältst du $A_g=a^{2}$. Nun kannst du noch $h=\frac{\sqrt2}{2}a$ verwenden. So gelangst du zu:

  $\begin{array}{rcl} V&=&2\cdot \frac13 \cdot a^2\cdot \frac{\sqrt2}{2}a\\ &=&\frac{\sqrt2}{3}a^{3}. \end{array}$

• Berechne das Volumen des Oktaeders.

  Tipps

  Setze den bekannten Wert für $a$ in die Formel $V=\frac{\sqrt 2}{3}a^3$ ein.

  Beachte beim Runden: Du schaust dir die dritte Stelle hinter dem Komma an.

  • Ist diese $0$; $1$; $2$; $3$ oder $4$, dann rundest du ab.
  • Ist diese $5$; $6$; $7$; $8$ oder $9$, dann rundest du auf.

  Lösung

  In dieser Aufgabe kannst du an einem konkreten Beispiel die Volumenberechnung für einen Oktaeder üben.

  Du verwendest die Formel $V=\frac{\sqrt 2}{3}a^{3}$.

  Nun kannst du den bereits bekannten Wert für die Kantenlänge $a=5~\text{cm}$ in diese Formel einsetzen:

  $\begin{array}{rcl} V&=&\frac{\sqrt 2}{3}(5~\text{cm})^{3}\\ &=&\frac{\sqrt 2}{3}125~\text{cm}^{3}\\ &\approx&58,93~\text{cm}^{3}. \end{array}$

• Ermittle die Höhe des Oktaeders mit dem Volumen $V=300~\text{cm}^{3}$ und der Kantenlänge $a$.

  Tipps

  Beachte: Gesucht ist die Höhe des Oktaeders. Diese ist doppelt so lang wie die Höhe einer der Pyramiden

  Die Volumenformel lautet: $V=\frac{\sqrt 2}{3}a^3$.

  Der Zusammenhang zwischen der Kantenlänge $a$ sowie der Höhe der Pyramide $h_\text{Pyr}$ ist gegeben durch:

  $h_\text{Pyr}=\frac{\sqrt 2}{2}a$.

  Lösung

  Die Volumenformel für ein Oktaeder lautet: $V=\frac{\sqrt 2}{3}a^3$. Da es sich um eine Gleichung handelt, kann man diese Formel umstellen. Hier stellen wir sie so um, dass die Kantenlänge $a$ isoliert ist:

  $\begin{array}{rclll} V&=&\frac{\sqrt 2}{3}a^3&|&\cdot \frac{3}{\sqrt 2}\\ \frac{3}{\sqrt 2}\cdot V&=&a^{3}&|&\sqrt[3]{~~~}\\ \sqrt[3]{\frac{3}{\sqrt 2}\cdot V}&=&a. \end{array}$

  Setze nun das bekannte Volumen in diese Formel ein:

  $a=\sqrt[3]{\frac{3}{\sqrt 2}\cdot 300~\text{cm}^{3}}\approx8,6~\text{cm}$.

  Die Höhe einer Pyramide lässt sich mit dieser Kantenlänge nun so berechnen:

  $h_\text{Pyr}\approx\frac{\sqrt 2}{2}\cdot8,6~\text{cm}\approx 6,1~\text{cm}$.

  Zuletzt benutzt du, dass die Höhe des Oktaeders das Doppelte der Höhe der Pyramide ist. Damit ergibt sich $h\approx 12,2~\text{cm}$.

• Gib an, was du zur Herleitung der Volumenformel eines Oktaeders benötigst.

  Tipps

  Beachte: Die Höhe ist eine Länge. Die Oberfläche ist eine Fläche.

  Ein Kegel hat einen Kreis als Grundfläche. Ein Kegel ist keine Pyramide.

  Die Volumenformel für eine Kugel lautet $V=\frac43\pi~r^{3}$, wobei $r$ der Radius der Kugel ist.

  Lösung

  Das Volumen eines Oktaeders kann man aus dem Volumen zweier kongruenter Pyramiden bestimmen. Diese Pyramiden haben die Grundfläche $A_g$ gemeinsam.

  Für Pyramiden gilt die Volumenformel $V=\frac13\cdot A_g\cdot h$. Da die Grundfläche ein Quadrat ist, kannst du $A_g=a^{2}$ verwenden.

  Nun musst du noch die Höhe einer der beiden Pyramiden bestimmen. Die Höhen der beiden Pyramiden sind gleich lang.

  Hierfür musst du zweimal den Satz des Pythagoras anwenden.

• Leite die Formeln für die Oberfläche des Oktaeders her.

  Tipps

  Berechne die Höhe $h_S$ eines Seitendreiecks mit Hilfe des Satzes von Pythagoras in Abhängigkeit von $a$.

  Es ist $a^{2}=h_S^{2}+\left(\frac a2\right)^{2}$.

  Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich so berechnen:

  $A_\Delta=\frac12 g\cdot h_g$.

  Dabei ist $g$ eine Grundseite und $h_g$ die zugehörige Höhe.

  Lösung

  Der Flächeninhalt eines Seitendreiecks lässt sich berechnen mit $A_\Delta=\frac12 \cdot a\cdot h_S$.

  Du musst also die Höhe $h_S$ des Seitendreiecks herleiten. Verwende hierfür den Satz des Pythagoras und forme dann nach $h_S$ um:

  $\begin{array}{rclll} h_S^{2}+\left(\frac a2\right)^{2}&=&a^{2}\\ h_S^{2}+\frac{a^{2}}4&=&a^{2}&|&-\frac{a^{2}}4\\ h_S^{2}&=&\frac34 \cdot a^{2}&|&\sqrt{~~~}\\ h_S&=&\frac{\sqrt 3}{2}\cdot a. \end{array}$

  Nun kannst du den Flächeninhalt eines Seitendreiecks berechnen:

  $A_\Delta=\frac12 \cdot a\cdot \frac{\sqrt 3}{2}\cdot a=\frac{\sqrt 3}{4}\cdot a^{2}$.

  Da die Oberfläche aus acht solchen Seitendreiecken besteht, gilt für die Oberfläche:

  $O=8\cdot \frac{\sqrt 3}{4}\cdot a^{2}=2\cdot \sqrt 3\cdot a^{2}$.