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Newton-Verfahren – Beispiel

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Mathe-Team
Newton-Verfahren – Beispiel
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Newton-Verfahren – Beispiel

Heute wollen wir uns mit dem Newton-Verfahren beschäftigen. Wie du weißt, ist das Newton-Verfahren ein Verfahren, mit dem die Nullstellen einer Funktion näherungsweise bestimmt werden. An einem Beispiel möchte ich dir im Video ausführlich erklären, wie man das Newton-Verfahren anwendet. Dazu betrachten wir die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = x³ + 2x – 1. Die Funktion f hat genau eine Nullstelle, die wir nun näherungsweise bestimmen wollen.

Transkript Newton-Verfahren – Beispiel

Newton-Verfahren-Beispiel

Hallo, schön, dass du mal wieder reinschaust. Heute wollen wir uns mit dem Newton-Verfahren beschäftigen. Wie du sicherlich noch weißt, kann man mit diesem Verfahren die Nullstellen von Funktionen näherungsweise bestimmen.

Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lautet: x n plus 1 ist gleich x n minus f von x n geteilt durch f strich von x n.

Wir werden in anderen Videos noch sehen, dass das Newton-Verfahren nicht immer erfolgreich ist. Heute wollen wir uns aber mit einem Beispiel beschäftigen, bei dem das Newton-Verfahren zum Erfolg führt. Die Funktion f von x ist gleich x hoch drei plus 2x minus 1 hat genau eine Nullstelle.

Bevor wir mit dem Newton-Verfahren starten können, müssen wir zunächst die 1. Ableitung f Strich von x bilden. f Strich von x ist 3x hoch 2 plus 2

Unsere Iterationsvorschrift heißt nun: x n plus 1 ist gleich x n minus x n hoch frei + 2 mal x n minus 1 geteilt durch 3 mal x n zum Quadrat plus 2.

Wir wählen als Startwert x0 = 1 und setzen diesen Wert in die Iterationsvorschrift ein. Wir erhalten x 1 ist gleich 1 - 1 hoch drei plus 2x mal 1 - 1 geteilt durch 3 mal 1 hoch 2 +2. Wir erhalten x1= 1 - 2/5 = 0,6.

Diesen Wert setzen wir nun wieder in die Iterationsvorschrift ein, damit wir x2 erhalten. Wir rechnen wie im Schritt davor x 2 ist gleich 0,6 - 0,6 hoch 3 plus 2x mal 0,6 -1 geteilt durch 3x mal 0,6 hoch 2 plus 2 und erhalten: x2 = 0,6 - 0,416 geteilt durch 3,08 ist rund 0,464935. Wenn du möchtest, dann kannst du den Taschenrechner verwenden.

Den Wert x2 haben wir jetzt nur gerundet aufgeschrieben. Diesen Wert setzen wir wieder in die Iterationsvorschrift ein, damit wir den Wert x3 erhalten. Wir setzen x2 in die Iterationsvorschrift ein und erhalten

x3 ist rund 0,464935 - 0,0114678 ist rund 0,4534672

Nun bestimmen wir noch den Wert für x4 indem wir x3 in die Iterationsvorschrift einsetzen. Wir erhalten x4 ist rund 0,4534672 - 0,000007 ist rund 0,4534602.

Unser Näherungswert hat sich kaum geändert. Wir haben also unsere Nullstelle fast schon bestimmt. Wir setzen zur Sicherheit unseren letzten Wert x4 ist rund 0,4534602 in die Iterationsvorschrift ein, damit wir x5 berechnen können. x5 ist dann wieder etwa 0,4534. Dies ist unsere Nullstelle.

Zur Probe setzen wir diesen Wert in die Funktionsgleichung f von x = x³+2x-1 ein. f von 0,4543 ist gleich 0,4534 hoch 3 + 2 mal 0,4534 minus 1 ergibt 0,000006. Dies ist etwa 0.

Wir haben uns mit dem Newton-Verfahren sowie der Wahl des Starwertes x null, der Nullstelle sehr gut angenähert und das schon nach wenigen Schritten. Also hat das Newton-Verfahren hier funktioniert.

Schauen wir uns einmal den Graphen der Funktion f von x gleich x hoch 3 plus 2 mal x minus 1 genauer an. Wir sehen, dass der Funktionsgraph die x-Achse kurz vor 0,5 schneidet. Also hat das Newton-Verfahren den richtigen Wert für die Nullstelle bestimmt.

Ich hoffe, dass du die Nullstellenbestimmung mit Hilfe des Newton-Verfahrens verstanden hast und mit Hilfe des Verfahrens noch viele Nullstellen näherungsweise bestimmen wirst! Wir sehen uns bestimmt bald wieder! Tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Sehr schön gemacht

    Von Mytom88mytom, vor mehr als 4 Jahren
  2. Schöne Stimme :)

    Von Jan P., vor mehr als 5 Jahren

Newton-Verfahren – Beispiel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Newton-Verfahren – Beispiel kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme näherungsweise die Nullstelle mit dem Newton-Verfahren.

    Tipps

    Die allgemeine Iterationsvorschrift lautet

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

    Die Ableitung der Funktion lautet $f'(x) = 3x^2+2$.

    Setzte die Funktion und ihre Ableitung in die Iterationsvorschrift ein.

    Setze den Startwert $x_0 = 1$ in die Iterationsvorschrift ein, um $x_1$ zu berechnen.

    Lösung

    Das Newton-Verfahren bedient sich der Iterationsvorschrift

    $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

    Du benötigst also die Funktion $f(x)$, welche bereits gegeben ist und ihre 1. Ableitung $f'(x)$. Du bestimmst also zuerst die 1. Ableitung. Zusammen mit der Potenz- und Summenregel für Ableitungen gelangst du zu $f'(x) = 3x^2+2$.

    Setzt du nun $f(x_n)$ und $f'(x_n)$ in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 + 2x_n - 1}{3x_n^2 + 2}$.

    Setzt du den Startwert $x_0 = 1$ in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du

    $ x_{1} = 1 - \frac{f(1)}{f'(1)} = 1 -\frac{(1)^3 + 2 \cdot 1 - 1}{3 \cdot (1)^2+2 \cdot (1)} = 1 -\frac{2}{5} = \frac{3}{5} = 0,6 $.

    Setzt du jetzt wiederum den Wert von $x_1$ in die Iterationsvorschrift erhältst du

    $ x_{2} = 0,6 - \frac{f(0,6)}{f'(0,6)} \approx 0,464935 $.

    Dieses Vorgehen wiederholst du ein weiteres Mal und erhältst $x_3 \approx 0,4534672$.

  • Bestimme die gerundete, näherungsweise bestimmte Nullstelle mit dem Newton-Verfahren.

    Tipps

    Die Ableitung der Funktion lautet $f'(x) = 3x^2 + 2$.

    Setze die Funktion $f(x)$ und ihre Ableitung $f'(x)$ in die Iterationsvorschrift

    $x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $ ein.

    Setze den Startwert $x_0 = 1$ in die Iterationsvorschrift ein, um $x_1$ zu berechnen.

    Lösung

    Bei dem Newton-Verfahren verwendest du die Iterationsvorschrift

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $.

    Du benötigst also die Funktion $f(x)=x^3+2x-1$ und ihre 1. Ableitung $f'(x)$. Du bestimmst zunächst die 1. Ableitung. Zusammen mit der Potenz- und Summenregel für Ableitungen gelangst du zu $f'(x) = 3x+2$. Setzt du nun beides in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du

    $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 + 2x_n-1}{3x_n^2+2}$.

    Zusammen mit dem Startwert $x_0 = 1$ erhältst du

    $ x_{1} = 1 - \frac{f(1)}{f'(1)} = 1 -\frac{(1)^3 + 2 \cdot 1 - 1}{3 \cdot (1)^2+2 \cdot (1)} = 1 -\frac{2}{5} = \frac{3}{5} = 0,6$.

    Setzt du jetzt wiederum den Wert von $x_1$ in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du

    $ x_{2} = 0,6 - \frac{f(0,6)}{f'(0,6)} \approx 0,464933$.

    Dieses Vorgehen führst du weiter aus, erhältst $x_3 \approx 0,4534672$, $x_4 \approx 0,4534602$ und schließlich gerundet $x_5 \approx 0,4534$.

    Zur Probe setzt du $x_5$ in die Funktion ein. $f(x_5) \approx 0,000006 \approx 0$.

    Die Nullstelle liegt also ungefähr bei $x \approx 0,4534$.

  • Bestimme die Iterationsvorschrift.

    Tipps

    Die Iterationsvorschrift lautet

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

    Du benötigst also die Ableitung der Funktionen.

    Setze die Funktion $f(x)$ und ihre Ableitung $f'(x)$ in die Iterationsvorschrift ein.

    Lösung

    Im Allgemeinen lautet die Iterationsvorschrift

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $.

    Du musst die Funktionen also einmal ableiten. Dazu helfen dir die Summen- und Potenzregel für Ableitungen.

    Hast du die Ableitung der Funktion bestimmt, kannst du $f(x_n)$ und $f'(x_n)$ in die Iterationsvorschrift einsetzen und erhältst

    Beispiel 1:

    $ \begin{align} f(x) & = -x^3-3x-3,5;~f'(x) = -3x^2-3 \\ x_{n+1} & = x_n - \frac{-x_n^3-3x_n-3,5}{-3x_n^2-3} \end{align}$

    Beispiel 2:

    $ \begin{align} f(x) & = -x^3+3x-3,5;~f'(x) = -3x^2+3 \\ x_{n+1} & = x_n - \frac{-x_n^3+3x_n-3,5}{-3x_n^2+3} \end{align}$

    Beispiel 3:

    $ \begin{align} f(x) & = x^3-x^2+1;~f'(x) = 3x^2-2x \\ x_{n+1} & = x_n - \frac{x_n^3-x_n^2+1}{3x_n^2-2x_n} \end{align}$

    Beispiel 4:

    $ \begin{align} f(x) & = x^3-x-2;~f'(x) = 3x^2-1 \\ x_{n+1} & = x_n - \frac{x_n^3-x_n-2}{3x_n^2-1} \end{align}$

  • Bestimme die Nullstelle näherungsweise.

    Tipps

    Die Ableitung der Funktion lautet $f'(x) = 6x^2+1$.

    Setze die Funktion $f(x)$ und ihre Ableitung $f'(x)$ in die Iterationsvorschrift

    $x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $ ein.

    Setze den Startwert $x_0 = 2$ in die Iterationsvorschrift ein, um $x_1$ zu berechnen. Wiederhole das Ganze mit $x_2$ bis zu $x_4$.

    Lösung

    Beim Newton-Verfahren verwendest du die Iterationsvorschrift

    $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $.

    Du benötigst also die Funktion $f(x)=2x^3+x+2$ und ihre 1. Ableitung $f'(x)$. Du bestimmst zunächst die 1. Ableitung. Zusammen mit der Potenz- und Summenregel für Ableitungen gelangst du zu $f'(x) = 6x^2+1$. Setzt du nun beides in die Iterationsvorschrift ein erhältst du

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{2x_n^3 + x_n + 2}{6x_n^2 + 1}$.

    Setzt du den Startwert $x_0 = 2$ in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du

    $ x_{1} = 2 - \frac{f(2)}{f'(2)} = 2 -\frac{2 \cdot (2)^3 + 2 + 2}{6 \cdot (2)^2 + 1} = 2 -\frac{20}{25} = \frac{6}{5} = 1,2 $.

    Setzt du jetzt wiederum den Wert von $x_1$ in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du

    $ x_{2} = 1,2 - \frac{f(1,2)}{f'(1,2)} = 1,2 -\frac{2 \cdot (1,2)^3 + 1,2 + 2}{6 \cdot (1,2)^2 + 1} \approx 0,5095$.

    $x_3$ erhältst du, indem du $x_2$ in die Iterationsvorschrift einsetzt.

    $ x_{3} = 0,5095 - \frac{f(0,5095)}{f'(0,5095)} \approx -0,5751 $

    Dieses Vorgehen führst du weiter aus und erhältst $x_4 \approx -0,9251$, $x_5 \approx -0,8422$ und $x_6 \approx -0,8352$.

    Zur Probe kannst du $x_6$ in die Funktion einsetzten und erhältst $f(-0,8352) \approx -0,0004 \approx 0$. Du hast die Nullstelle also näherungsweise bestimmt.

  • Beschrifte die Formeln und Angaben beim Netwon-Verfahren an dem Beispiel.

    Tipps

    $x_0$ setzt du immer zuerst in die Iterationsvorschrift ein, um $x_1$ zu berechnen.

    Die allgemeine Iterationsvorschrift lautet $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

    $x_1$ liegt näher an der Nullstelle als $x_0$.

    Lösung

    Beim Newton-Verfahren gehst du von einer gegebenen Funktion $f(x)$ mit einer Nullstelle aus und wählst einen Startwert $x_0$. An dieser Stelle zeichnest du an den Graphen durch den Punkt $P_0(x_0|f(x_0))$ eine Tangente. Diese Tangente schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_1$. $x_1$ liegt näher an der gesuchten Nullstelle und ist damit der erste Näherungswert. Mit derselben Vorgehensweise gelangst du von $x_1$ zu $x_2$. Wiederholst du dieses Verfahren immer weiter, erhältst du immer genauere Näherungswerte der Nullstelle Zum Ausdruck kommt das Newton-Verfahren in der Iterationsvorschrift

    $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $.

    $f'(x)$ ist dabei die erste Ableitung der Funktion, welche du mithilfe der Potenz- und Summenregel für Ableitungen zu $f'(x) = 3x^2 + 2$ bestimmen kannst.

  • Ermittle näherungsweise die drei Nullstellen der Funktion mit dem Newton-Verfahren.

    Tipps

    Es sind insgesamt drei verschiedene Nullstellen. Deswegen brauchst du auch drei verschiedene Startwerte.

    Bilde die Ableitung der Funktion $f(x)$.

    Setze die Funktion $f(x)$ und ihre Ableitung $f'(x)$ in die allgemeine Iterationsvorschrift

    $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ ein.

    Wähle drei geeignete Startwerte $x_0$ und setzte sie in die Iterationsvorschrift ein, um jeweils $x_1$ zu berechnen.

    Die Funktion besitzt drei Nullstellen.

    Lösung

    Beim Newton-Verfahren verwendest du die Iterationsvorschrift $ x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

    Du brauchst also die Funktion und ihre Ableitung. Die Funktion ist bereits gegeben. Zum Bestimmen der Ableitung hilft dir die Potenz- und Summenregel für Ableitungen.

    Hast du die Ableitung bestimmt, kannst du sie und die Funktion in die Iterationsvorschrift einsetzen. Leitest du $f(x) = x^3 + 3x^2 - 1$ ab, erhältst du $f'(x) = 3x^2+6x$. Setzt du dies in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du

    $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 + 3x_n^2 - 1}{3x_n^2 + 6x_n} $.

    Dabei musst du darauf achten, $x$ mit $x_n$ zu ersetzen.

    In diese Iterationsvorschrift setzt du nun zum Beispiel den Startwert $x_0 = -3$ ein und erhältst

    $x_1 = -3 - \frac{(-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 - 1}{3 \cdot (-3)^2 + 6 \cdot (-3)} = -\frac{2}{3} \approx -0,6667 $.

    Setzt du nun $x_1$ in die Iterationsvorschrift, erhältst du den nächsten Näherungswert $x_2$. So kannst du weiter verfahren, bis du der Nullstelle nahe genug bist.

    Wählst du als weitere Startwerte $x_0 = -1$ und $x_0 = 1$, erhältst du auf die gleiche Weise die übrigen zwei Nullstellen. Die Ergebnisse findest du in der Tabelle. Die Werte sind auf vier Nachkommastellen gerundet.

    $\begin{array}{c|c|c|c|c} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline -3 & -2,8889 & -2,8795 & \bf{-2,8794} & \\ \hline -1 & -0,6667 & -0,6528 & \bf{-0,6527} & \\ \hline 1 & 0,6667 & 0,5486 & 0,5324 & \bf{0,5321} \\ \end{array}$

    Die Nullstellen der Funktion liegen also bei $x \approx -2,8794$, $x \approx -0,6527$ und $x \approx 0,5321$.

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