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Mittelwert und mittlere Abweichung – Einführung

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André Otto
Mittelwert und mittlere Abweichung – Einführung
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Mittelwert und mittlere Abweichung – Einführung

Daten streuen mehr oder weniger: Aber wie soll man das mit Zahlen beschreiben? Ein Maß für die Streuung ist die mittlere Abweichung. An einem Beispiel erkläre ich, wie man sie berechnet. Dann schauen wir uns zwei Beispiele von der Olympiade an. Wir sehen, dass die mittlere Abweichung groß ist, wenn man unter den Daten einen „Ausreißer“ hat. Zum Schluss führe ich noch ein Beispiel mit sehr starker mittlerer Abweichung an.

Transkript Mittelwert und mittlere Abweichung – Einführung

Hallo und herzlich willkommen zu diesem Video. Es heißt: Streuung, Mittelwert und mittlere Abweichung. Du kannst bereits das Maximum, das Minimum und den Median, auch Zentralwert genannt, eines Datensatzes bestimmen. Nachher kannst du den Mittelwert und die mittlere Abweichung eines Datensatzes berechnen und interpretieren. Der Film besteht aus vier Abschnitten: 1. Geringe und große Streuung, 2. Die Zensuren von Fidibus und Ira, 3. Ein Vergleich bei Olympia und 4. Eine sehr starke Streuung 1. Geringe und große Streuung. Eine geringe Streuung stellen wir uns in etwa so vor. Und dieses Bild symbolisiert eine große Streuung. Aber wie können wir geringe Streuung und große Streuung in Zahlen erfassen? Um das zu verstehen, soll uns der nächste Abschnitt helfen. 2. Die Zensuren von Fidibus und Ira. Die Zensuren im Fach Chemie von beiden haben wir bereits in einem anderen Video besprochen. Fidibus hat folgende Zensuren: Eins zwei zwei drei vier fünf fünf. Ira hingegen hat lauter Zweien. Bei wem ist die Streuung der Zensuren größer? Das sieht man doch. Bei Fidibus ist die Streuung groß. Und bei Ira, das ist offensichtlich, ist die Streuung der Zensuren klein. Aber wie sollen wir diese Aussagen in Zahlen fassen? Hier hilft uns der Mittelwert. Aber aufgepasst, auch der Median ist ein Mittelwert. Den wollen wir allerdings hier nicht besprechen. Wir wollen den Mittelwert bestimmen, der das arithmetische Mittel unserer Daten ist. Das tun wir nun für die Zensuren von Fidibus. Für den Mittelwert schreibt man einfach x mit einem Strich darüber. Das bedeutet: Mittelwert. Wir addieren die Zensuren von Fidibus und teilen sie durch die Zahl der Zensuren, das ist sieben. Wir erhalten 22 Siebtel oder ungefähr 3,14. Wir notieren das erhaltene Ergebnis. Und jetzt zu Ira: Wir addieren ihre Zweien und teilen sie durch die Zahl, wieder sieben. Wir erhalten 14 Siebtel. Das ist glatt 2,00. Wir notieren das Ergebnis bei Ira. Schön und gut, aber über die Streuung können wir nach wie vor keine Aussage treffen. Daher wird die sogenannte mittlere Abweichung eingeführt. Es ist die mittlere Abweichung vom Mittelwert. Als Symbol verwendet man häufig Delta x. Berechnen wir nun Delta x für Fidibus. Und das geschieht so: Der Mittelwert 3,14 minus den ersten Wert, nämlich der Eins und das zum Betrag. Und weiter: Betrag von 3,14 minus 2. Und weiter: Betrag von 3,14 minus zwei. Das gleiche geschieht nun mit der Vier. Und natürlich zweimal mit der Fünf. Die Summe müssen wir durch die Zahl der Daten, nämlich sieben, teilen. Nun rechnen wir die einzelnen Beträge aus. Wir addieren sie und erhalten 9,14 geteilt durch sieben ergibt: Delta x ist rund 1,31. Wir übertragen das Ergebnis. Die gleiche Rechnung führen wir für die Zensuren von Ira durch. Die Rechnung vereinfacht sich, denn wir haben 2,00 minus zwei und das im Ganzen siebenmal. Wir teilen noch durch sieben und sind fertig. Man erhält, was man eigentlich schon vorher vermutet hatte: Delta x ist gleich 0,00. Aha, die Streuung der Zensuren ist demzufolge bei Fidibus mit 1,31 groß und bei Ira mit 0,00 klein. Bei ihr gibt es gar keine Streuung. Die mittlere Abweichung Delta x ist ein Maß für die Streuung von Daten. Das ein habe ich betont, weil es noch andere Maße gibt. Die Zensuren von Fidibus streuen stark, die Zensuren von Ira streuen überhaupt nicht. 3. Ein Vergleich bei Olympia. Kehren wir zurück zu einem bekannten Beispiel. Bei den Olympischen Spielen 2012, gab es im 200 Meter Lauf, in Sekunden, bei den Frauen folgende Ergebnisse. Die Siegerzeit betrug 21,88. Die Zeiten der Platzierten waren entsprechend langsamer. Die Achtplatzierte lief immerhin noch 22,87. Wir berechnen nun den Mittelwert über das arithmetische Mittel. Wir addieren alle Daten. Nun werden sie durch ihre Anzahl, nämlich acht, geteilt. Die Summe der Daten ist 178,97. Wir teilen durch acht und erhalten 22,37. Wir notieren den Wert und bestimmen die mittlere Abweichung. Wir notieren nun die Summe der einzelnen Beträge. Wir bestimmen jeweils die Differenzen aus dem Mittelwert und den einzelnen Daten. Die Summe wird durch acht dividiert. Das ist die Zahl der Daten. Nun werden die einzelnen Beträge ausgerechnet. Ihre Summe ist 2,01. Nach Division durch acht, erhalten wir etwa 0,25. Schauen wir uns nun einen Sprintwettbewerb bei den Männern an. Hier geht es um die kürzere Distanz, die 100 Meter. Der Sieger lief 9,63. Die platzierten Läufer langsamer. Der Letztplatzierte hatte eine Zeit von 11,99. Damit wir nicht durcheinanderkommen, trage ich oben einfach nur Sprint ein, bei den Frauen 200 Meter, bei den Männern 100 Meter. Den Mittelwert bei den Männern habe ich für euch ausgerechnet: 10,10. Die mittlere Abweichung beträgt 0,48. Obwohl die Männer weniger liefen, ist ihre mittlere Abweichung, das heißt die Streuung der Werte, größer. Warum ist das so? Aha, der Letztplatzierte der Männer ist ein ganz klarer Ausreißer. Er lief nämlich viel langsamer als alle anderen. Ausreißer bedeutet nicht, dass er weggelaufen ist. Das heißt, der Wert unterscheidet sich stark von den anderen. Und nun haben wir 4. Eine sehr starke Streuung. Wie schwer sind Metalle? Die Angaben hier sind in Gramm pro Kubikzentimeter. Sie sind stark gerundet. Das leichteste Metall hat einen Wert von 0,5. Die nächsten Metalle haben größere Werte. So geht es weiter, bis 22,6. Der Mittelwert, das arithmetische Mittel, beträgt hier 10,7. Die mittlere Abweichung habe ich auch berechnet. Sie beträgt 5,4. Und das ist wirklich viel. Sie ist nicht nur etwa die Hälfte des Mittelwertes, sie ist größer als die ersten drei Werte der Datenreihe. Die Streuung der Werte ist somit sehr groß. Ich denk wir können stolz auf uns sein. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Gut erklärt :)

    Von Yasmin Nassar, vor fast 2 Jahren

Mittelwert und mittlere Abweichung – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mittelwert und mittlere Abweichung – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe den Mittelwert sowie die mittlere Abweichung.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für den Median und den Mittelwert des Datensatzes $4~5~5~6~7$.

    • Der Median liegt genau in der Mitte. Hier ist das die $5$.
    • Der Mittelwert ist hier $\overline{x}=5,4$.

    Der Mittelwert ist das arithmetische Mittel.

    Die mittlere Abweichung ist ein Maß dafür, wie stark die tatsächlichen Werte eines Datensatzes von dem Mittelwert abweichen.

    Schau dir als Beispiel für die mittlere Abweichung den Datensatz $4~5~5~6~7$ an.

    Die mittlere Abweichung zu dem Mittelwert $\overline{x}=5,4$ ist dann gegeben durch $\Delta x=\frac{1,4+0,4+0,4+0,6+1,6}{5}=0,88$.

    Lösung

    In der Statistik werden Lageparameter wie der Median oder der Mittelwert sowie Streuungsparameter wie die mittlere Abweichung unterschieden.

    Wir schauen uns diese nun etwas genauer an.

    Lageparameter

    Lageparameter geben an, in welchem Bereich sich die Daten bewegen.

    Du kennst bereits den Median, auch Zentralwert genannt. Dieser ist der mittlere Wert eines geordneten Datensatzes.

    Darüber hinaus gibt es auch noch den Mittelwert, oder auch das arithmetische Mittel $\overline{x}$. Diesen erhältst du, indem du zunächst alle Werte des Datensatzes addierst. Dann dividierst du die Summe durch die Anzahl der Werte.

    Streuungsparameter

    Streuungsparameter geben an, wie stark ein Datensatz um einen Wert streut.

    Die mittlere Abweichung vom Mittelwert gibt an, wie stark die Daten vom Mittelwert abweichen. Diese mittlere Abweichung berechnest du so:

    • Du bildest für jeden Wert die Differenz dieses Wertes und des Mittelwertes. Dann nimmst du den Betrag dieser Differenz.
    • Nun addierst du alle diese Beträge.
    • Schließlich dividierst du die Summe durch die Anzahl der Werte des Datensatzes.
    Im Folgenden siehst du ein einführendes Beispiel. Gegeben ist der Datensatz $4~5~5~6~7$. Die mittlere Abweichung vom Mittelwert erhältst du dann wie folgt:

    • Der Mittelwert ist $\overline{x}=\frac{4+5+5+6+7}5=5,4$.
    • Die mittlere Abweichung ist dann $\Delta x=\frac{|4-5,4|+|5-5,4|+|5-5,4|+|6-5,4|+|7-5,4|}{5}=\frac{4,4}{5}=0,88$.
    Übrigens, der Median wäre in diesem Beispiel $5$.

  • Berechne den Mittelwert sowie die mittlere Abweichung für die Noten von Fidibus.

    Tipps

    Sei der Datensatz $x_1~~x_2~~...~~x_n$ gegeben. Dann ist der Mittelwert $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$.

    Sei der Datensatz $x_1~~x_2~~...~~x_n$ mit dem Mittelwert $\overline{x}$ gegeben. Dann ist die mittlere Abweichung $\Delta x=\frac{\left|x_1-\overline{x}\right|+\left|x_2-\overline{x}\right|+...+\left|x_n-\overline{x}\right|}{n}$.

    Für die Berechnung der mittleren Abweichung benötigst du den Mittelwert.

    Lösung

    Hier siehst du die Zensuren von Fidibus im Fach Chemie: $1~2~2~3~4~5~5$.

    Wir wollen nun zunächst den Mittelwert $\overline{x}$ berechnen. Ohne diesen können wir die mittlere Abweichung vom Mittelwert gar nicht berechnen.

    1. Addiere zunächst alle Zensuren. So erhältst du $1+2+2+3+4+5+5=22$.
    2. Nun dividierst du diese Summe durch die Anzahl der Zensuren. Diese ist $7$.
    3. So erhältst du den Mittelwert $\overline{x}=\frac{22}7\approx3,14$.
    Ist das nun ein Zufall? Das sind gerade die ersten drei Stellen der Kreiszahl $\pi$. Aber das gehört jetzt nicht hierhin.

    Mit dem Mittelwert kannst du nun die mittlere Abweichung $\Delta x$ berechnen:

    $\begin{array}{rcl} \Delta x&=&\frac{|1-3,14|+|2-3,14|+|2-3,14|+|3-3,14|+|4-3,14|+|5-3,14|+|5-3,14|}{7}\\ &=&\frac{2,14+1,14+1,14+0,14+0,86+1,86+1,86}{7}\\ &=&\frac{9,14}{7}\\ &\approx&1,31 \end{array}$

  • Ermittle zu Lukes Noten den Mittelwert und die mittlere Abweichung von diesem Mittelwert.

    Tipps

    Beachte:

    • $\overline{x}$ ist der Mittelwert.
    • $\Delta x$ ist die mittlere Abweichung.

    Verwende für den Mittelwert $\overline{x}$ die Formel $\overline{x}=\frac{x_1+...+x_n}{n}$.

    Dabei sind $x_1$ ... $x_n$ die zugehörigen Daten.

    Verwende für die mittlere Abweichung vom Mittelwert $\overline{x}$ die Formel $\Delta x=\frac{\left|x_1-\overline{x}\right|+...+\left|x_n-\overline{x}\right|}{n}$.

    Du kannst alle Werte exakt, mit maximal zwei Nachkommastellen, angeben.

    Lösung

    Hier siehst du noch einmal Lukes Zensuren im Fach Chemie: $1~1~4~5~6$.

    Zur Berechnung des Mittelwertes dividierst du die Summe der Zensuren durch deren Anzahl $5$:

    $\overline{x}=\frac{1+1+4+5+6}{5}=\frac{17}{5}=3,4$.

    Nun kannst du mit diesem Mittelwert die mittlere Abweichung berechnen:

    $\begin{array}{rcl} \Delta x&=&\frac{|1-3,4|+|1-3,4|+|4-3,4|+|5-3,4|+|6-3,4|}{5}\\ &=&\frac{2,4+2,4+0,6+1,6+2,6}{5}\\ &=&\frac{9,6}{5}\\ &=&1,92 \end{array}$

    Das bedeutet, dass die Noten von Luke um fast $2$ um den Mittelwert $3,4$ streuen. Das bestätigt den ersten Eindruck, dass Luke wohl eher ein sich stark änderndes Lernverhalten an den Tag gelegt hat. Mathematisch sagt man, dass die Zensuren sehr stark streuen.

  • Untersuche, wie sich der Mittelwert und die mittlere Abweichung ändern, wenn Daten gestrichen werden.

    Tipps

    Durch das Streichen der schlechtesten Note wird sowohl der Mittelwert als auch die mittlere Abweichung kleiner.

    Für den Mittelwert addierst du jeweils alle Zensuren. Beachte, dass sich die Anzahl der Zensuren sich ändert. Einmal betrachtest du $5$ und einmal nur $4$ Zensuren.

    Hier siehst du einen Schritt der Berechnung der mittleren Abweichung bei allen Noten: $\Delta x^{\text{alt}}=\frac{1,4+1,4+...+3,6}{5}$.

    Achte darauf, dass du bei der Berechnung von $\Delta x^{\text{alt}}$ den Mittelwert $\overline{x^{\text{alt}}}$ verwendest. Dies gilt ebenso für die mittlere Abweichung nach der Streichung der $6$.

    Lösung

    Wenn einzelne Daten von den übrigen Daten eines Datensatzes sehr stark abweichen, dann spricht man von „Ausreißern“. Dies ist bei Annas Noten der Fall. Die $6$ entspricht nicht den übrigen Noten. Dadurch kommt es zu dem Mittelwert $\overline{x^{\text{alt}}}=\frac{1+1+2+2+6}{5}=\frac{12}{5}=2,4$.

    Du kannst erkennen, dass vier der fünf Zensuren unterhalb dieses Mittelwertes liegen. Dies widerspricht dem, was man eigentlich von einem Mittelwert erwarten würde.

    Wenn die $6$ gestrichen wird, erhältst du den Mittelwert $\overline{x^{\text{alt}}}=\frac{1+1+2+2}{4}=\frac{6}{4}=1,5$.

    Dieser Mittelwert spiegelt Annas Noten besser wider. Es liegen ebenso viele Zensuren oberhalb wie unterhalb des Mittelwertes.

    Schauen wir uns noch an, was bei der mittleren Abweichung passiert. Wir können ja vorher noch eine Vermutung aufstellen: Mit der $6$ streuen die Zensuren stärker als ohne die $6$. Das bedeutet, dass $\Delta x^{\text{alt}}$ größer sein sollte als $\Delta x^{\text{neu}}$.

    • $\Delta x^{\text{alt}}=\frac{|1-2,4|+1-2,4|+|2-2,4|+|2-2,4|+|6-2,4|}{5}=\frac{7,2}5=1,44$
    • $\Delta x^{\text{neut}}=\frac{|1-1,5|+1-1,5|+|2-1,5|+|2-1,5|}{4}=\frac{2}4=0,5$
    Du siehst, unsere Annahme ist richtig: Nach Streichung der $6$ streuen die Daten nicht mehr so stark.

  • Benenne die Bedeutung von Mittelwert und mittlerer Abweichung.

    Tipps

    Der Median ist übrigens auch ein Lageparameter.

    Die Spannweite, also die Differenz von maximalem und minimalem Datenwert, ist ebenfalls ein Maß für die Streuung der Daten.

    Lösung

    Es gibt Lageparameter und Streuungsparameter.

    Lageparameter zeigen an, in welchem Bereich die Daten sich befinden. Zum Beispiel sind der Median oder auch der Mittelwert solche Lageparameter. Auch das Minimum und das Maximum eines Datensatzes sind Lageparameter. Sie geben insbesondere den kompletten Bereich an, in welchem die Daten sich befinden.

    Streuungsparameter sind ein Maß für die Streuung der Daten um den Lageparameter. Welche Streuungsparameter kennst du bereits? Die Spannweite ist ein Streuungsparameter. Weißt du noch, was die Spannweite ist? Die Spannweite ist die Differenz von maximalem und minimalem Datenwert. Auch die mittlere Abweichung ist ein Streuungsparameter.

  • Leite den Median und den Mittelwert her. Bestimme für beide die mittlere Abweichung.

    Tipps

    Der Median, oder auch Zentralwert, ist der mittlere Wert eines geordneten Datensatzes.

    Der Median liegt hier tatsächlich genau in der Mitte, da eine ungerade Zahl an Gästen das Konzert besucht.

    Die Berechnung der mittleren Abweichung ist sowohl für den Median als auch für den Mittelwert gleich. Du musst nur darauf achten, dass du einmal den Median und einmal den Mittelwert subtrahierst.

    Lösung

    Das ist nun wirklich ein sehr kleines Rockkonzert mit insgesamt $15$ Gästen.

    Du kannst in dieser Aufgabe zwei verschiedene Lageparamter sehen sowie die zugehörigen Streuungsparameter.

    Der Median

    Der Median ist der mittlere Wert eines geordneten Datensatzes. Hier ist dieser an der siebten Stelle. Da $5$ Gäste $18$ und die nächsten $7$ Gäste $22$ Jahre alt sind, folgt, dass der $7$. Wert die $22$ ist. Dieser ist der Median.

    Nun kannst du die mittlere Abweichung vom Median berechnen:

    $\frac{5\cdot |18-22|+7\cdot |22-22|+3\cdot |27-22|}{15}=\frac73=2,\bar 3\approx 2,3$.

    Der Mittelwert

    Du könntest nun alle Altersangaben einzeln addieren. Es geht schneller, wenn du wie folgt rechnest: $\overline{x}=\frac{5\cdot 18+7\cdot 22+3\cdot 27}{15}=\frac{325}{15}=21,\bar6\approx 21,7$.

    Schließlich kannst du die mittlere Abweichung berechnen:

    $\Delta x=\frac{5\cdot |18-21,7|+7\cdot |22-21,7|+3\cdot |27-21,7|}{15}=\frac{36,5}{15}=2,4\bar 3\approx 2,4$.

    Du kannst hier erkennen, dass sich die jeweils einander entsprechenden Werte nicht so stark unterscheiden. Woran liegt das? Die Altersangaben liegen recht nah beieinander. Wenn zum Beispiel $3$ Personen im zarten Alter von $66$ auch noch Besucher des Konzertes wären, würden sich die Werte stärker unterscheiden.

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