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Mit negativen Zahlen rechnen

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Team Digital
Mit negativen Zahlen rechnen
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Mit negativen Zahlen rechnen

Inhalt

Wie rechnet man mit negativen Zahlen?

In diesem Text wird das Rechnen mit negativen Zahlen anhand von Beispielen einfach erklärt. Dazu schauen wir uns an, wie das Rechnen mit negativen Zahlen und Klammern funktioniert. Klammern spielen beim Rechnen mit negativen Zahlen eine wichtige Rolle, da nie zwei Rechenzeichen direkt hintereinanderstehen dürfen. Ist die Zahl nach dem Rechenzeichen negativ, müssen wir also eine Klammer um diese schreiben. Beim Rechnen mit negativen Zahlen gibt es verschiedene Regeln und Merksätze. Diese schauen wir uns im Folgenden genauer an.

Addition von negativen Zahlen

Werden zwei negative Zahlen addiert, kann man die Aufgabe folgendermaßen verändern:

$-4 + (-1) = -4 - 1$

Das Pluszeichen und die Klammern um die zweite Zahl können wir einfach weglassen. Somit erhalten wir eine Subtraktionsaufgabe. Auf dem Zahlenstrahl starten wir bei der $-4$. Das Minus zwischen den beiden Zahlen bedeutet, dass wir in negative Richtung auf dem Zahlenstrahl gehen müssen. Also nach links. Wie viele Schritte wir gehen müssen, gibt uns die Zahl hinter dem Minus an. In diesem Fall ist es ein Schritt.

Rechnen mit negativen Zahlen Addition

Somit kommen wir bei der $-5$ auf dem Zahlenstrahl an. Die Rechnung ergibt also:

$-4 + (-1) = -4 - 1= -5$
$-4 + (-1) = -5$

Es gilt: Addiert man zwei negative Zahlen, ist das Ergebnis immer negativ.

Subtraktion von negativen Zahlen

Betrachten wir nun folgende Aufgabe, bei der zwei negative Zahlen subtrahiert werden:

$-4 - (-1)$

Auch in diesem Fall können die Klammern weggelassen werden. Aus den zwei aufeinanderfolgenden Minuszeichen wird dann ein Pluszeichen. Wir erhalten die Aufgabe:

$-4 - (-1) = -4 + 1$

Starten wir auf dem Zahlenstrahl wieder bei der $-4$. Das Pluszeichen sagt uns, dass wir in positive Richtung auf dem Zahlenstrahl gehen müssen, also nach rechts. Die Zahl hinter dem Pluszeichen gibt die Anzahl der Schritte an. In diesem Fall ist es ein Schritt.

Rechnen mit negativen Zahlen Subtraktion

Wir landen bei der $-3$. Die Rechnung ergibt also:

$-4 - (-1) = -4 + 1 = -3$
$-4 - (-1) = -3$

Betrachten wir nun die folgende Rechnung:

$-4 - (-6)$

Zunächst können wir wieder die beiden Klammern weglassen und die beiden Minuszeichen durch ein Pluszeichen ersetzen. Also können wir die Rechnung schreiben als:

$-4 - (-6) = -4 + 6$

Wir starten auf dem Zahlenstrahl wieder bei der $-4$. Von dort aus gehen wir $6$ Schritte nach rechts und landen bei der $+2$. Also ist:

$-4 - (-6) = -4 + 6 = +2$
$-4 - (-6) = +2$

Bei der Subtraktion von negativen Zahlen müssen wir also darauf achten, ob die zweite Zahl kleiner oder größer ist als die erste Zahl. Eine kleinere Zahl steht weiter links auf dem Zahlenstrahl, eine größere weiter rechts. Beim Subtrahieren von zwei negativen Zahlen können also positive oder negative Zahlen herauskommen.

Es gilt: Ist die zweite Zahl kleiner als die erste, ist das Ergebnis positiv. Ist die zweite Zahl größer als die erste, ist das Ergebnis negativ.

Multiplikation von negativen Zahlen

Betrachten wir nun die Multiplikation. Du kennst bereits die Aufgabe:

$3 \cdot 3 = +9$

Ändern wir nun das Vorzeichen einer der beiden Zahlen, erhalten wir ein negatives Ergebnis.

$3 \cdot (-3) = -9$
$-3 \cdot 3 = -9$

Ändern wir beide Vorzeichen, wird das Ergebnis wieder positiv.

$-3 \cdot (-3) = +9$

Es gilt: Minus mal minus ist plus.

Division von negativen Zahlen

Wie sieht es bei der Division von negativen Zahlen aus? Du kennst bereits:

$6 : 3 = +2$

Ändern wir in der Rechnung das Vorzeichen einer Zahl, erhalten wir ein negatives Ergebnis.

$6 : (-3) = -2$
$-6 : 3 = -2$

Bei der Division gilt wie bei der Multiplikation: Haben beide Zahlen ein negatives Vorzeichen, wird das Ergebnis wieder positiv.

$-6 : (-3) = +2$

Es gilt: Minus geteilt durch minus ist plus.

Zusammenfassung – Rechnen mit negativen Zahlen

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zum Rechnen mit negativen Zahlen zusammen.

  • Werden zwei negative Zahlen multipliziert, ist das Ergebnis immer positiv. Es gilt: Minus mal minus ist plus.
  • Werden zwei negative Zahlen dividiert, ist das Ergebnis immer positiv. Es gilt: Minus geteilt durch minus ist plus.
  • Werden zwei negative Zahlen addiert, ist das Ergebnis immer negativ.
  • Werden zwei negative Zahlen subtrahiert, muss man beachten, ob die zweite Zahl größer oder kleiner ist als die erste Zahl. Das Ergebnis ist negativ, wenn die zweite Zahl größer ist als die erste. Ist die zweite Zahl kleiner als die erste, ist das Ergebnis positiv. Bei der Subtraktion von zwei negativen Zahlen kann das Ergebnis also positiv oder negativ sein.

Zusätzlich zum Video und dem Text findest du noch Übungen und Arbeitsblätter zum Rechnen mit negativen Zahlen hier auf der Seite. Dort kannst du weitere Übungsaufgaben zum Thema Rechnen mit negativen Zahlen lösen.

Transkript Mit negativen Zahlen rechnen

Sebastian das Pferd liebt das Wasser und wäre so gern ein Seepferdchen geworden. Um mit seinen, naja, ähm, Wunsch-Artgenossen herumzutollen, möchte er das Seepferdchen-Abzeichen machen. Dazu muss er in der Lage sein, in verschiedene Tiefen zu tauchen. Im Moment befindet er sich 3 Meter unter der Wasseroberfläche. Die Tiefe unter der Wasseroberfläche stellen wir als negative Zahl auf dem Zahlenstrahl dar. Eine Tiefe von 3 Metern kennzeichnen wir also mit einer Minus 3 auf dem Zahlenstrahl. Nun versucht Sebastian 2 Meter tiefer zu tauchen, er will also 2 Meter an Tiefe dazu bekommen. Das Wort dazu kann durch eine Addition, also eine Plusrechnung, ausgedrückt werden. Wir können also schreiben: Minus 3 Plus. Er möchte 2 Meter Tiefe dazugewinnen, also addieren wir Minus 2. Da bei einer Rechnung nie zwei Rechenzeichen direkt aufeinanderfolgen dürfen, müssen wir hier noch Klammern ergänzen. In welcher Tiefe wird Sebastian landen? Dazu lernen wir das Rechnen mit negativen Zahlen. Schauen wir uns Sebastians Tauchgang an. Er taucht zu einer Tiefe von 5 Metern. Diese Tiefe ist mit der Minus 5 auf dem Zahlenstrahl markiert. Also muss das Ergebnis der Rechnung Minus 5 sein. Doch was muss man rechnen, wenn Sebastian weniger tief tauchen möchte? Sebastian ist bei einer Tiefe von 5 Metern und muss dringend Luft holen. Dazu möchte er 6 Meter weniger tief tauchen, also 6 Meter an Tiefe verlieren. Das Wort verlieren können wir durch eine Subtraktion ausdrücken, also eine Minusrechnung. Wir subtrahieren also Minus 6. Er springt aus dem Wasser – bis zur Plus 1 auf dem Zahlenstrahl. Also ergibt Minus 5 Minus in Klammern Minus 6 offenbar Plus 1. Doch wie funktionieren die Rechnungen genau? Schauen wir uns zunächst die Addition von negativen Zahlen an: Was ergibt Minus 4 Plus in Klammern minus 1? Wenn du zwei negative Zahlen addierst, kannst du das Pluszeichen und die Klammer weglassen. Also können wir auch Minus 4 Minus 1 rechnen. Wir starten auf dem Zahlenstrahl bei der Minus 4. Das Minus bedeutet, dass wir in negative Richtung auf dem Zahlenstrahl wandern, also nach links. Die Zahl hinter dem Minus gibt an, wie viele Schritte wir wandern müssen: bei uns also einen Schritt. Wir landen bei der minus 5 auf dem Zahlenstrahl. Also ergibt Minus 4 plus in Klammern Minus 1 Minus 5. Addierst du zwei negative Zahlen, ist das Ergebnis immer negativ. Wie müssen wir vorgehen, wenn wir zwei negative Zahlen subtrahieren wollen? Was ergibt zum Beispiel Minus 4 Minus in Klammern Minus 1? Wenn wir die Klammern weglassen und dann die beiden Minuszeichen durch ein Pluszeichen ersetzen, verändern wir das Ergebnis nicht. Also ist Minus 4 minus in Klammern minus 1 gleich Minus 4 plus 1. Wir starten also auf dem Zahlenstrahl wieder bei der Minus 4. Das Pluszeichen bedeutet, dass wir in positive Richtung auf dem Zahlenstrahl wandern müssen also eine Stelle nach rechts. Wir landen bei der Minus 3. Die Rechnung Minus 4 Minus in Klammern Minus 1 ergibt also Minus 3. Doch wie sieht es bei dieser Rechnung aus? Mit unserer Regel können wir die Klammern weglassen und die beiden Minus-Zeichen in ein Plus verwandeln. Also können wir die Rechnung als minus 4 Plus 6 schreiben. Auf dem Zahlenstrahl starten wir wieder bei der Minus 4 und gehen 6 Schritte nach rechts. Wir landen bei der Plus 2. Also ist minus 4 minus in Klammern minus 6 gleich plus 2. Bei der Subtraktion von negativen Zahlen musst du also darauf achten, ob die zweite Zahl kleiner, also weiter links auf dem Zahlenstrahl oder größer, also weiter rechts auf dem Zahlenstrahl ist, als die erste. Wie sieht es bei der Multiplikation, also beim Malrechnen, von negativen Zahlen aus? 3 mal 3 ergibt 9, das kennst du schon. Ändern wir in dieser Rechnung das Vorzeichen einer Zahl, rechnen also 3 mal in Klammern Minus 3 oder Minus 3 mal 3, erhalten wir ein negatives Ergebnis. Wenn wir jetzt auch noch das zweite Vorzeichen ändern, wechselt das Vorzeichen des Ergebnisses wieder – es wird also positiv. Minus 3 mal in Klammern Minus 3 ergibt Plus 9. Merke dir: Minus mal Minus ist Plus. Fehlt noch die Division von negativen Zahlen. Wie war das noch mit zwei positiven Zahlen? 6 geteilt durch 3 ergibt 2. Ändern wir in der Rechnung das Vorzeichen einer Zahl, rechnen also 6 geteilt durch in Klammern Minus 3 oder Minus 6 geteilt durch 3, erhalten wir ein negatives Ergebnis. Wie bei der Multiplikation gilt: wenn bei beiden Zahlen das Vorzeichen negativ ist, wird das Ergebnis wieder positiv. Minus 6 geteilt durch in Klammern Minus 3 ergibt Plus 2. Merke dir: Minus geteilt durch Minus ist Plus. Während Sebastian fröhlich taucht, fassen wir alles nochmal zusammen. Multiplizierst du zwei negative Zahlen, so ist das Ergebnis immer positiv. Man sagt: Minus mal Minus ist plus. Dividierst du zwei negative Zahlen, so ist das Ergebnis immer positiv. Minus geteilt durch Minus ist Plus. Addierst du zwei negative Zahlen, ist das Ergebnis immer negativ. Subtrahierst du zwei negative Zahlen, musst du aber etwas aufpassen! Ist die zweite Zahl kleiner als die erste, ist das Ergebnis positiv. Wenn die zweite Zahl aber größer ist als die erste, ist das Ergebnis negativ. Beim Subtrahieren von zwei negativen Zahlen können also positive oder negative Zahlen herauskommen. Sebastian hat es geschafft und kann mit seinen Seepferdchenfreunden durch die Weltmeere ziehen. Oh nein, was ist das! Da wollte wohl jemand ein Haipferdchen werden. Wenn du Mathe kannst, kannst du alles werden!

29 Kommentare
29 Kommentare
  1. Cool

    Von Cat cool magic glitzer, vor 10 Tagen
  2. Das Video hat sehr viel geholfen

    Von Noah, vor 3 Monaten
  3. Gutes Video

    Von Herr S., vor 5 Monaten
  4. Das pferd hat so einen witzigen namen

    Von Amelia, vor 11 Monaten
  5. 👍🏻

    Von Hanna , vor etwa einem Jahr
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Mit negativen Zahlen rechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mit negativen Zahlen rechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne das Ergebnis der Aufgaben mit negativen Zahlen.

    Tipps

    Bei einer Addition, wenn du also ein Pluszeichen ($+$) verwendest, bewegst du dich auf dem Zahlenstrahl nach rechts. Bei einer Subtraktion ist das umgekehrt.

    Bist du im negativen Bereich (z.B. $-5$) und möchtest einen negativen Betrag (z.B. $-3$) dazu addieren, dann schreibst du das so:

    $-5+(-3)=-5-3=-8$

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Seebastian startet bei einer Tiefe von $3$ Metern und möchte noch $2$ Meter an Tiefe gewinnen. Das drückt er aus durch:

    $-3+(-2)$“

    • Hier bist du im negativen Bereich und möchtest einen negativen Betrag addieren.
    „Hier addiert er eine negative Zahl. Das ist dasselbe, wie diese Zahl zu subtrahieren. Er bewegt sich also auf dem Zahlenstrahl $2$ Schritte nach links.

    Das Ergebnis lautet dann:

    $-3-2=-5$“

    • Hast du bei Strichrechnungen zwei unterschiedliche direkt hintereinanderstehende Vorzeichen, ergibt sich ein Minuszeichen ($-$).
    „Um Luft zu holen, möchte er von $5$ Meter Tiefe $6$ Meter Tiefe verlieren. Das drückt er aus durch:

    $-5-(-6)$“

    • Du befindest dich im negativen Bereich und möchtest einen negativen Betrag abziehen.
    „Hier subtrahiert er eine negative Zahl. Das ist das selbe, wie die Zahl zu addieren. Er bewegt sich also auf dem Zahlenstrahl $6$ Schritte nach rechts.

    Das Ergebnis lautet dann:

    $-5+6=1$“

    • Hast du bei Strichrechnungen zwei gleiche direkt hintereinanderstehende Vorzeichen, ergibt sich ein Pluszeichen ($+$).
  • Bestimme die Ergebnisse der Rechnungen mit negativen Zahlen.

    Tipps

    Ziehst du von einer negativen Zahl etwas Negatives ab, wird das Ergebnis positiver.

    Haben die Bestandteile einer Multiplikation oder Division gleiche Vorzeichen, ist das Ergebnis immer positiv.

    Lösung

    Führst du die Rechnungen durch, kannst du die Ergebnisse der Größe nach sortieren. Dann erhältst du:

    $3 \cdot (-3)=-9$

    • Hier multiplizierst du eine positive Zahl mit einer negativen. Das Ergebnis ist negativ.
    $-4+(-1)=-5$

    • Hier fügst du einer negativen Zahl etwas Negatives hinzu. Das Ergebnis wird also noch negativer.
    $-4-(-1)=-3$

    • Hier ziehst du einer negativen Zahl etwas Negatives ab. Das Ergebnis wird also positiver.
    $6:(-3)=-2$

    • Haben die Bestandteile einer Multiplikation oder Division unterschiedliche Vorzeichen, ist das Ergebnis immer negativ.
    $-4-(-6)=2$

    $3 \cdot 3=9$

  • Erschließe die Lösungen der Rechnungen.

    Tipps

    Bei Strichrechnungen gilt Folgendes: Zwei gleiche hintereinanderstehende Vorzeichen werden zu $+$ und zwei unterschiedliche hintereinanderstehende Vorzeichen werden zu $-$.

    Diese Rechnung wurde korrekt durchgeführt:

    $3 \cdot (-5)=-3 \cdot 5=-15$

    Lösung

    Mit den Regeln für das Rechnen mit negativen Zahlen kannst du die Lösungen bestimmen. Bei Strichrechnungen gilt Folgendes: Zwei gleiche hintereinanderstehende Vorzeichen werden zu $+$ und zwei unterschiedliche hintereinanderstehende Vorzeichen werden zu $-$.

    $3-(-5)=3+5=8$

    $-1+(-3)=-1-3=-4$

    Hast du bei Punktrechnungen zwei unterschiedliche Vorzeichen, wird das Ergebnis negativ, ansonsten positiv.

    $4 \cdot (-2)=-4 \cdot 2=-8$

    $12:(-4)=-12:4=-3$

  • Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen.

    Tipps

    Hast du bei Punktrechnungen zwei unterschiedliche Vorzeichen, wird das Ergebnis negativ, ansonsten positiv.

    Diese Rechnung wurde korrekt durchgeführt:

    $-4+(-4)=-4-4=-8$

    Lösung

    Mit den Regeln für das Rechnen mit negativen Zahlen kannst du die Lösungen bestimmen. Bei Strichrechnungen gilt Folgendes: Zwei gleiche hintereinanderstehende Vorzeichen werden zu $+$ und zwei unterschiedliche hintereinanderstehende Vorzeichen werden zu $-$.

    Hast du bei Punktrechnungen zwei unterschiedliche Vorzeichen, wird das Ergebnis negativ, ansonsten positiv. Damit erhältst du folgende Lösungen:

    $-4-5=-9$

    $-3 \cdot (-5)=15$

    $-3+6=3$

    $-12 : (-3)=4$

    $3 \cdot (-8)=-24$

    $-4+(-3)=-7$

    $3+(-6)=-3$

    $14:(-7)=-2$

    $-5-(+8)=-13$

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Rechnen mit negativen Zahlen.

    Tipps

    Addierst du zwei negative Zahlen, fügst du etwas Negativem noch etwas Negatives hinzu.

    Sind bei einer Multiplikation und Division die Vorzeichen gleich, wird das Ergebnis immer positiv. Sind sie unterschiedlich, wird das Ergebnis negativ.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Bei einem Pluszeichen ($+$) musst du in die positive Richtung auf dem Zahlenstrahl wandern, also nach links.“

    „Bewegst du dich auf dem Zahlenstrahl nach rechts, entspricht das einer Subtraktion.“

    • Bei einer Addition, wenn du also ein Pluszeichen ($+$) verwendest, bewegst du dich auf dem Zahlenstrahl nach rechts. Bei einer Subtraktion ist das umgekehrt.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Da in der Mathematik keine zwei Rechenzeichen hintereinanderstehen können, benötigt man beim Rechnen mit negativen Zahlen oft eine Klammer.“

    „Addierst du zwei negative Zahlen, ist das Ergebnis stets negativ.“

    • Hier fügst du etwas Negativem etwas Negatives hinzu. Also muss das Ergebnis negativ sein.
    „Minus mal Minus ist Plus.“

    • Sind bei einer Multiplikation und Division die Vorzeichen gleich, wird das Ergebnis immer positiv. Sind sie unterschiedlich, wird das Ergebnis negativ.
  • Erschließe, welche Rechnungen korrekt durchgeführt wurden.

    Tipps

    Hier musst du beachten, dass Punktrechnungen immer vor Strichrechnungen durchgeführt werden.

    Lösung

    Wende auch hier die Regeln zum Rechnen mit negativen Zahlen an:

    • Bei Strichrechnungen werden zwei gleiche hintereinanderstehende Vorzeichen zu $+$, während zwei unterschiedliche hintereinanderstehende Vorzeichen zu $-$ werden.
    • Hast du bei Punktrechnungen zwei unterschiedliche Vorzeichen, wird das Ergebnis negativ, ansonsten positiv.
    • Außerdem musst du beachten, dass Punktrechnungen immer vor Strichrechnungen durchgeführt werden.
    Mit diesen Regeln kannst du die Aussagen wie folgt bewerten.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    „$-4-(-3)+5-3 \cdot (-4) \neq 18$“

    • Es gilt nämlich: $-4-(-3)+5-3 \cdot (-4) =-4+3+5+12=16$
    „$-3 \cdot 6 + 4-(-3):(-1) \neq -15$“
    • Es gilt nämlich: $-3 \cdot 6 + 4-(-3):(-1)=-18 +4 -3= -17$
    Folgende Rechnungen wurden korrekt durchgeführt:

    „$4 \cdot (-3) - 8 \cdot 2=-12 -16= -28$“

    „$2 \cdot (-5) - (-9):(-3)=-10-3= -13$“

    „$16:(-8) \cdot 2 +(-4)=-2 \cdot 2 -4 =-8$“

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