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Lineares Wachstum und lineare Funktionen

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Martin Wabnik
Lineares Wachstum und lineare Funktionen
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Lineares Wachstum und lineare Funktionen

Eine Form des Wachstums ist das lineare Wachstum. Darüber soll nun auch – wie der Titel des Videos schon verrät – dieses Video hier handeln. Vielleicht kennst du den Begriff „linear“ ja bereits aus einem anderen Zusammenhang? Erinnerst du dich? Es gibt lineare Funktionen, deren Schaubild eine Gerade ist. Beide haben etwas gemein! Den Zusammenhang zwischen linearem Wachstum und linearen Funktionen werde ich dir deshalb im folgenden Video erklären. Lehn dich also zurück und schaue dir in Ruhe das Video an!

Transkript Lineares Wachstum und lineare Funktionen

Hallo, das, was lineares Wachstum ist, hab ich schon gezeigt, an einem elementaren Beispiel. Ein Esel geht eine Straße hinauf und er gewinnt an Höhe, die mathematische Größe Höhe des Esels wächst, sie wächst linear. Bei linear könnte es sein, dass dir was einfallt. Ja, du hast ja schon mal, lang ist's her, lineare Funktionen gemacht. Vielleicht erinnerst du dich. Funktionen, nicht wahr, Koordinatensystem, so ungefähr sieht das Koordinatensystem aus, ja, und da waren dann so Linien drin, in etwa ganz elementar gesprochen, ich benutz das hier eben Mal als Lineal, falls das klappt. Ja, halbwegs, egal. Also so ungefähr hat das ausgesehen. Ja, das hier, diese Schräge, das ist der Graph einer linearen Funktion. Und, ja, was hat das mit linearem Wachstum zu tun? Hat das was damit zu tun? Ja, es hat. Und zwar möchte ich das Mal hier so ganz plakativ vormachen. Wir haben also ein Koordinatensystem, den Graph einer linearen Funktion, und jetzt kommt das Beispiel, was ich schon gezeigt habe, das Beispiel des linearen Wachstums, ja, des Esels, der also diese Straße hinaufgeht. Und ich glaube, so kann man das ungefähr sehen. Die Straßensteigung oder die Straße, die ansteigt, verläuft wie eine lineare Funktion. Und deshalb hat auch dieses Wachstum der Höhe, wenn man diese Straße hinaufgeht, den Namen lineares Wachstum. Ja, man kann noch weiter gehen. Man könnte auch sagen, eine mathematische Größe wächst linear, wenn ihr Wachstumsverhalten durch eine lineare Funktion beschreibbar ist. Ja, einfach wegen dieser offensichtlichen Ähnlichkeit heißen die beiden Dinge dann auch gleich. Aber, was man noch zusätzlich sehen kann, wir hatten ja gesagt, eine Größe wächst dann linear, wenn sie in gleichen Abständen immer um den gleichen Wert zu- oder abnimmt. Das kann man hier an dieser linearen Funktion auch sehen. Denn, wenn ich hier zum Beispiel parallel zur x-Achse ein Stückchen nach rechts gehe, dann muss ich hier auch ein Stückchen nach oben gehen, um den Graph wieder zu erreichen. Diesen Teil hier nenne ich mal d, dieses kleine Stück hier. Dieses Stück, das soll d heißen. Wenn ich jetzt um die gleiche Strecke wieder parallel zur x-Achse nach rechts gehe, das ist nicht ganz parallel geworden, muss ich wieder um die gleiche Strecke nach oben gehen, um den Graphen wieder zu erreichen. Dieses Stück, das soll d heißen. Das kann ich hier ruhig noch mal machen, eine Strecke entlang der y-Achse, ach, parallel zur x-Achse und ein bestimmtes Stück nach oben. Und hier kannst du also sehen, in gleichen Abständen wächst also diese Funktion hier immer um den gleichen Wert, immer um das gleiche d. Es ist übrigens völlig egal, wo man anfängt. Diese Dreiecke hier müssen nicht nebeneinander sein, oder direkt hintereinander folgen. Ich kann auch irgendwo hierhin gehen, ein Stück parallel zur x-Achse gehen, das gleiche Stück wie hier, und dann muss ich auch das gleiche Stück wieder nach oben gehen. Auch hier gilt, gleiche Abstände haben ein gleiches Höhenwachstum zur Folge.   Ja, das zum Zusammenhang lineare Funktionen und lineares Wachstum. Viel Spaß damit und tschüss.

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Lineares Wachstum und lineare Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineares Wachstum und lineare Funktionen kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu linearem Wachstum.

    Tipps

    Wenn du jeden Monat $20~ €$ sparst, handelt es sich um lineares Wachstum.

    Wenn dein Geld auf der Bank liegt und verzinst wird, dann ändert sich der Betrag des gesparten Geldes in verschiedenem Maße. Dies ist kein lineares Wachstum.

    Man kann auch lineare Abnahme definieren.

    Du musst dann nur „zunimmt“ durch „abnimmt“ ersetzen.

    Lösung

    Was bedeutet lineares Wachstum?

    • Eine Größe wächst linear, wenn sie immer in gleichen Abständen um den gleichen Wert zunimmt.
    Ähnlich kann auch lineare Abnahme definiert werden.

    • Eine Größe nimmt linear ab, wenn sie immer in gleichen Abständen um den gleichen Wert abnimmt.
  • Gib an, ob lineares Wachstum vorliegt.

    Tipps

    Woher kennst du den Begriff „linear“ noch?

    Richtig: lineare Funktionen.

    Der Verlauf einer linearen Funktion ist eine Gerade.

    Lösung

    Was bedeutet lineares Wachstum?

    Eine Größe wächst linear, wenn sie immer in gleichen Abständen um den gleichen Wert zunimmt.

    Der Begriff „linear“ kommt auch bei linearen Funktionen vor. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Eigenschaft, dass eine mathematische Größe in immer gleichen Abständen um jeweils den gleichen Wert zunimmt, kann man sich anhand von Steigungsdreiecken klarmachen. Solche sind hier entlang der Gerade eingezeichnet.

    Für den immer gleichen Abstand auf der x-Achse – hier sind es $2$ Einheiten – nimmt die Größe immer um den gleichen Wert $d$ zu.

    Der einzige Graph, der dies erfüllt, ist der mit der steigenden Gerade. Übrigens würde eine fallende Gerade zu linearer Abnahme passen.

  • Entscheide, ob lineares Wachstum vorliegt.

    Tipps

    Bei linearem Wachstum wächst eine mathematische Größe in gleichen Abständen immer um den gleichen Wert.

    Wenn der Wachstumswert sich verändert, kann es sich nicht um lineares Wachstum handeln.

    Bei linearem Wachstum ist es so ähnlich wie bei proportionalen Zuordnungen: Je mehr, desto mehr.

    Lösung

    Nimmt eine mathematische Größe in immer gleichen Abständen um den gleichen Wert zu, so spricht man von linearem Wachstum.

    • Wenn Paul jeden Monat verschiedene Beträge erhält, kann kein lineares Wachstum vorliegen.
    • Anna spart jeden Monat den gleichen Betrag. Die Höhe des gesparten Geldes wird immer um diesen (gleichen!) Betrag größer; es liegt also lineares Wachstum vor.
    • Auch Emma möchte sparen. Wenn sie $5 ~\%$ Zinsen auf $200~ €$ erhält, sind dies $10~ €$. Nun befinden sich $210~ €$ auf dem Sparbuch, welche wieder verzinst werden mit $5 ~\%$. Also sind das jetzt $10,50 ~€$. Die Beträge ändern sich also. Es liegt kein lineares Wachstum vor.
    • Da Gina für jede Stunde den gleichen Betrag nimmt, liegt auch hier lineares Wachstum vor.
    • Bei Paul, Anna, Emma und Gina liegt ein Beispiel für umgekehrte Proportionalität – „Je mehr, desto weniger“ – vor. Es liegt also kein lineares Wachstum vor.
  • Stelle die lineare Funktionsgleichung zu dem linearen Wachstum auf.

    Tipps

    Lineares Wachstum kann durch einen linearen Funktionsterm dargestellt werden:

    $y=mx+b$.

    Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt.

    Bei linearem Wachstum wächst eine mathematische Größe in immer gleichen Abständen um den immer gleichen Wert.

    Der gleiche Wert, um den die Größe wächst, ist die Steigung.

    Mache dir das folgende Beispiel klar:

    Camille hat $50~ €$. Ihr Vater gibt ihr pro Monat $5 ~€$ dazu. Dies ein Beispiel für lineares Wachstum.

    Wie viel Geld hat Camille

    • nach einem Monat? Das sind $55~ €$.
    • nach zwei Monaten? $60~ €$.
    • nach drei Monaten? $65~ €$.
    • ...
    Die zugehörige Gleichung lautet $y=5x+50$.

    Überprüfe diese mit den obigen Angaben.

    Lösung

    Wenn eine mathematische Größe linear wächst, so kann man sie als linearen Funktionsterm darstellen. Wie kann man diese Gleichung aufstellen?

    Zunächst stellten wir fest, dass eine lineare Funktionsgleichung durch $y=mx+b$ ausgedrückt wird.

    Dabei ist $m$ die Steigung, die konstante Änderung der mathematischen Größe, und $b$ der y-Achsenabschnitt, der Wert, welcher am Anfang bei $x=0$ vorliegt.

    Gucken wir uns Pauls Finanzen an:

    • Er hat am Anfang $150~ €$ und
    • erhält jeweils $10~ €$ dazu.
    • $y=10x+150$
    Wie sieht es bei Emma aus?
    • Wenn Emma startet, hat sie noch keinen Weg zurückgelegt, also $b=0$,
    • pro Stunde legt sie $5$ Kilometer zurück. Dies ist die Steigung.
    • $y=5x$
    Nun untersuchen wir Ginas Schokokäferpopulation:
    • Zu den bereits vorhandenen $b=15$ Schokokäfern
    • kommen jeweils $m=2$ dazu.
    • $y=2x+15$
    Dieses Beispiel ist sicher etwas an den Haaren herbeigezogen: Wer hortet schon Schokokäfer, ohne sie zu essen? Allerdings würde in einer realistischeren Variante nicht mehr unbedingt lineares Wachstum vorliegen.

    Da passen Annas Aufkleber schon besser ins Bild:

    • Zu den anfänglichen $b=7$ Aufklebern
    • kommen pro Woche $m=3$ dazu.
    • $y=3x+7$

  • Beschreibe, wie man lineares Wachstum auch erklären kann.

    Tipps

    Hier siehst du eine Darstellung eines linearen Wachstums: In immer gleichen Abständen wächst die Größe um den immer gleichen Wert.

    Eine lineare Funktion ist gegeben durch $y=mx+b$. Wenn die Steigung $m$ positiv ist, so ist die Funktion steigend, andernfalls fallend.

    Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

    Hier siehst du den Verlauf einer Exponentialfunktion.

    Lösung

    Man kann lineares Wachstum auch wie folgt definieren:

    Eine mathematische Größe wächst linear, wenn ihr Wachstumsverhalten durch eine lineare Funktion beschreibbar ist.

    Dies kann man sich auch mit der folgenden Definition klarmachen:

    Eine mathematische Größe wächst (fällt) linear, wenn sie in immer gleichen Abständen um den immer gleichen Wert zunimmt (abnimmt).

    Dies ist in dem nebenstehenden Koordinatensystem anhand der Dreiecke angedeutet.

  • Ermittle jeweils die lineare Funktionsgleichung.

    Tipps

    Die Gleichung einer linearen Funktion lautet $y=mx+b$.

    Dabei ist

    • $m$ (der Faktor vor dem $x$) die Steigung und
    • $b$ der y-Achsenabschnitt.

    Schaue dir jeweils zunächst den y-Achsenabschnitt an. Dies ist die Stelle, an welcher die Gerade die y-Achse schneidet.

    Die Steigung kannst du dir mithilfe eines Steigungsdreiecks klarmachen:

    Betrachte das Verhältnis der Schritte in positiver x-Achsenrichtung zu denen in y-Achsenrichtung. Geht die Entwicklung nach oben (unten), bedeutet dies eine positive (negative) Steigung.

    Lösung

    Wenn man zu einer Geraden eine Funktionsgleichung ermitteln will, kann man sich zunächst den y-Achsenabschnitt anschauen: Dort schneidet die Gerade die y-Achse. Die Steigung erhält man mithilfe eines Steigungsdreiecks.

    • Die blaue Gerade schneidet die y-Achse bei $2$. Wenn man von dort zwei Schritte nach rechts geht, geht man einen Schritt nach unten. Dies führt zu der Steigung $m=-\frac12=-0,5$. Gesamt lautet die Gleichung $y=-0,5x+2$. Dies wäre eine lineare Abnahme: Paul besitzt $2~ €$ und gibt jeden Tag $0,50 ~€$ aus. Nach vier Tagen ist Paul pleite. Dies ist auch an dem Graphen zu sehen. Für $x=4$ ist $y=0$.
    • Die grüne Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung. Die Steigung ist $m=2$. Also ist $y=2x$. Dies ist ein lineares Wachstum. Paul hat sein ganzes Geld ausgegeben und fängt an zu sparen: Er legt jede Woche $2~ €$ zur Seite.
    • Die gelbe Gerade hat die gleiche Steigung wie die grüne, jedoch den y-Achsenabschnitt $4$. Somit lautet die Gleichung $y=2x+4$. Dies ist wiederum lineares Wachstum. Paul hat schon $4 ~€$ gespart und legt weiterhin jede Woche $2~ €$ auf die hohe Kante.
    • Die rote Gerade zeigt lineare Abnahme. Der y-Achsenabschnitt ist $2$ und die Steigung $m=-2$. Die zugehörige Gleichung lautet $y=-2x+2$. Wenn Paul am Anfang $2~ €$ besitzt und pro Tag $2 ~€$ ausgibt, dann ist er bereits nach einem Tag pleite. Danach müsste er sich Geld leihen. Das ist allerdings keine wirklich gute Idee.
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