Lineare Abbildungen durch Matrizen – Zentrische Streckung

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Zentrische Streckung Übung

• Stelle die Koordinaten des Bildpunktes $P'$ in Abhängigkeit der Koordinaten des Punktes $P$ dar.

  Tipps

  Verwende diese Skizze.

  Nach den Strahlensätzen gilt

  $\frac{y'}{y}=\frac{x'}{x}=k$.

  Lösung

  Hier sind der Punkt $P(x|y)$ sowie der Bildpunkt $P'(x'|y')$ zu sehen. Der Bildpunkt entsteht aus dem Punkt durch zentrische Streckung mit dem Koordinatenursprung als Streckzentrum.

  Dabei entstehen die folgenden beiden rechtwinkligen Dreiecke:

  • Das eine (blaue) hat die Katheten $x$ und $y$ sowie die Hypotenuse $r$ und
  • das andere (rote) die Katheten $x'$ und $y'$ sowie der Hypotenuse $k\cdot r$.

  Die beiden Dreiecke sind ähnlich. Deshalb gilt

  $\frac{y'}{y}=\frac{x'}{x}=r$.

  Diese Gleichungen können nun umgeformt werden:

  $\begin{array}{rclll} \frac{y'}{y}&=&r&|&\cdot y\\\ y'&=&r\cdot y \end{array}$

  und ebenso

  $\begin{array}{rclll} \frac{x'}{x}&=&r&|&\cdot x\\\ x'&=&r\cdot x \end{array}$.

• Gib die Matrix an, welche die zentrische Streckung mit dem Koordinatenursprung als Streckzentrum beschreibt.

  Tipps

  $x'= k\cdot x$ ist eine verkürzte Schreibweise. Du kannst ebenso $x'= k\cdot x + 0 \cdot y$ schreiben. Vielleicht hilft dir dies beim Aufstellen einer Abbildungsmatrix.

  Du multiplizierst eine Matrix mit einem Vektor, indem du jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multiplizierst.

  Die Matrix ist eine Diagonalmatrix.

  Lösung

  Hier ist die Beziehung der Koordinaten des Bildpunktes $P'(x'|y')$ zu denen des Punktes $P(x|y)$ zu sehen.

  Wenn diese Streckung sich als eine lineare Abbildung darstellen lässt, muss es eine $[2\times 2]$-Matrix $A$ geben, so dass

  $\vec{x'}=A\cdot \vec x$

  gilt. Dabei sind $\vec x$ und $\vec{x'}$ die Ortsvektoren von $P$ und $P'$.

  Die ausführliche Schreibweise verdeutlicht, wie die Matrix ermittelt werden kann:

  $\begin{aligned} x' & = \textbf{k}\cdot x + \textbf{0} \cdot y\\ y' & = \textbf{0}\cdot x + \textbf{k} \cdot y \end{aligned}$

  Die Matrix lautet also

  $A=\begin{pmatrix} \textbf{k}&\textbf{0}\\ \textbf{0}&\textbf{k} \end{pmatrix}$.

• Prüfe, welche der Matrizen eine Spiegelung am Koordinatenursprung beschreiben.

  Tipps

  Hier siehst du die allgemeine Abbildungsmatrix einer zentrischen Streckung mit dem Koordinatenursprung als Streckzentrum und dem Streckfaktor $k\neq 0$.

  Wenn ein Punkt am Koordinatenursprung gespiegelt wird, ändern sich bei beiden Koordinaten die Vorzeichen.

  Lösung

  Jede Matrix der Gestalt $\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$ für $k\neq 0$ steht für eine zentrische Streckung mit dem Faktor $k$ und dem Koordinatenursprung als Streckzentrum.

  Solche Matrizen heißen Diagonalmatrizen. Das bedeutet, dass außerhalb der Hauptdiagonalen (von oben links nach unten rechts) nur Nullen stehen.

  Die Diagonalelemente sind identisch. Das bedeutet insbesondere, dass sie das gleiche Vorzeichen haben. Wenn die Diagonalelemente ein negatives Vorzeichen haben, wird der Punkt (zusätzlich) am Koordinatenursprung gespiegelt.

  Eine Spiegelung am Koordinatenursprung findet also für $k \in \{-1, -3, -4\}$ statt.

• Bestimme die Abbildungsmatrix.

  Tipps

  Beachte:

  • $x'=x$ und
  • $y'=3\cdot y$.

  Prüfe die Abbildung, indem du die Matrix $A$ mit dem Ortsvektor des Punktes $P$ multiplizierst.

  Die gesuchte Matrix ist eine Diagonalmatrix.

  Lösung

  Zunächst macht man sich klar, wie sich die Koordinaten des Bildpunktes $P'(x'|y')$ in Abhängigkeit der Koordinaten des Punktes $P(x|y)$ darstellen lassen.

  • Die x-Koordinate bleibt erhalten: $x'=x$ und
  • die y-Koordinate wird mit dem Faktor $k\neq 0$ multipliziert: $y'=k\cdot y$.

  Gesucht ist also eine Matrix $A$, so dass $\vec{x'}=A\cdot \vec x$.

  Diese Matrix ist $A=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&3 \end{pmatrix}$.

  Eine solche Abbildung wird als orthogonale Affinität bezeichnet.

• Bestimme für den Streckfaktor $k=3$ den Bildpunkt von $E(2|1,5)$.

  Tipps

  Es ist

  • $x'=k\cdot x$ und
  • $y'=k\cdot y$.

  Multipliziere jede Koordinate des Punktes $P$ mit dem Streckfaktor.

  Lösung

  Wenn man einen Punkt mit dem Streckfaktor $k=3$ und dem Koordinatenzentrum als Streckzentrum strecken möchte, kann man den zugehörigen Ortsvektor mit der Matrix $A$ multiplizieren.

  Damit ist

  $\vec{x'}=\begin{pmatrix} 3&0\\ 0&3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1,5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ 4,5 \end{pmatrix}$.

  Das bedeutet, dass $E'(6|4,5)$ der Bildpunkt ist.

• Entscheide, welche Abbildung vorliegt.

  Tipps

  Berechne jeweils für einen Punkt die Koordinaten des Bildpunktes. Der Punkt sollte auf keiner der Koordinatenachsen liegen.

  Zeichne den Punkt und den zugehörigen Bildpunkt in ein Koordinatensystem.

  Bei einer Spiegelung an der x-Achse wird der Punkt $P(x|y)$ abgebildet auf $P'(x|-y)$.

  Bei einer Projektion auf die x-Achse wird der Punkt $P(x|y)$ abgebildet auf $P'(x|0)$.

  Lösung

  Man kann sich bei jedem der Beispiele die lineare Abbildung am Beispiel eines Punktes $P(x|y)$ klarmachen:

  $A$ ist die Abbildungsmatrix einer zentrischen Streckung. Bei $B$ wird noch zusätzlich an dem Koordinatenursprung gespiegelt.

  • $C\cdot\vec x$ führt zu dem Bildpunkt $P'(2x|-2y)$. Dies ist eine Streckung sowie eine Spiegelung an der x-Achse.
  • $D\cdot\vec x$ führt zu dem Bildpunkt $P'(-2x|2y)$. Dies ist eine Streckung sowie eine Spiegelung an der y-Achse.
  • $E\cdot\vec x$ führt zu dem Bildpunkt $P'(2x|0)$. Dies ist eine Streckung sowie eine Projektion auf die x-Achse.
  • $F\cdot\vec x$ führt zu dem Bildpunkt $P'(0|2y)$. Dies ist eine Streckung sowie eine Projektion auf die y-Achse.