Lineare Abbildungen durch Matrizen – Zentrische Streckung

in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Grundlagen zum Thema Lineare Abbildungen durch Matrizen – Zentrische Streckung
Hallo! Wie kann man die zentrische Streckung durch eine Matrix beschreiben? Ist die zentrische Streckung eine lineare Abbildung? In diesem Video lernst du, wie man die zentrische Streckung durch eine Abbildungsmatrix beschreiben kann. Dazu wiederholen wir den Begriff der linearen Abbildung. Wir leiten anhand einer Skizze diese Abbildungsmatrix her. Zum Schluss strecken wir ein Dreick mit Hilfe der errechneten Abbildungsmatrix. Viel Spaß beim Lernen!
Lineare Abbildungen durch Matrizen – Zentrische Streckung Übung
-
Stelle die Koordinaten des Bildpunktes $P'$ in Abhängigkeit der Koordinaten des Punktes $P$ dar.
TippsVerwende diese Skizze.
Nach den Strahlensätzen gilt
$\frac{y'}{y}=\frac{x'}{x}=k$.
LösungHier sind der Punkt $P(x|y)$ sowie der Bildpunkt $P'(x'|y')$ zu sehen. Der Bildpunkt entsteht aus dem Punkt durch zentrische Streckung mit dem Koordinatenursprung als Streckzentrum.
Dabei entstehen die folgenden beiden rechtwinkligen Dreiecke:
- Das eine (blaue) hat die Katheten $x$ und $y$ sowie die Hypotenuse $r$ und
- das andere (rote) die Katheten $x'$ und $y'$ sowie der Hypotenuse $k\cdot r$.
$\frac{y'}{y}=\frac{x'}{x}=r$.
Diese Gleichungen können nun umgeformt werden:
$\begin{array}{rclll} \frac{y'}{y}&=&r&|&\cdot y\\\ y'&=&r\cdot y \end{array}$
und ebenso
$\begin{array}{rclll} \frac{x'}{x}&=&r&|&\cdot x\\\ x'&=&r\cdot x \end{array}$.
-
Gib die Matrix an, welche die zentrische Streckung mit dem Koordinatenursprung als Streckzentrum beschreibt.
Tipps$x'= k\cdot x$ ist eine verkürzte Schreibweise. Du kannst ebenso $x'= k\cdot x + 0 \cdot y$ schreiben. Vielleicht hilft dir dies beim Aufstellen einer Abbildungsmatrix.
Du multiplizierst eine Matrix mit einem Vektor, indem du jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multiplizierst.
Die Matrix ist eine Diagonalmatrix.
LösungHier ist die Beziehung der Koordinaten des Bildpunktes $P'(x'|y')$ zu denen des Punktes $P(x|y)$ zu sehen.
Wenn diese Streckung sich als eine lineare Abbildung darstellen lässt, muss es eine $[2\times 2]$-Matrix $A$ geben, so dass
$\vec{x'}=A\cdot \vec x$
gilt. Dabei sind $\vec x$ und $\vec{x'}$ die Ortsvektoren von $P$ und $P'$.
Die ausführliche Schreibweise verdeutlicht, wie die Matrix ermittelt werden kann:
$\begin{align} x' & = \textbf{k}\cdot x + \textbf{0} \cdot y\\ y' & = \textbf{0}\cdot x + \textbf{k} \cdot y \end{align}$
Die Matrix lautet also
$A=\begin{pmatrix} \textbf{k}&\textbf{0}\\ \textbf{0}&\textbf{k} \end{pmatrix}$.
-
Prüfe, welche der Matrizen eine Spiegelung am Koordinatenursprung beschreiben.
TippsHier siehst du die allgemeine Abbildungsmatrix einer zentrischen Streckung mit dem Koordinatenursprung als Streckzentrum und dem Streckfaktor $k\neq 0$.
Wenn ein Punkt am Koordinatenursprung gespiegelt wird, ändern sich bei beiden Koordinaten die Vorzeichen.
LösungJede Matrix der Gestalt $\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$ für $k\neq 0$ steht für eine zentrische Streckung mit dem Faktor $k$ und dem Koordinatenursprung als Streckzentrum.
Solche Matrizen heißen Diagonalmatrizen. Das bedeutet, dass außerhalb der Hauptdiagonalen (von oben links nach unten rechts) nur Nullen stehen.
Die Diagonalelemente sind identisch. Das bedeutet insbesondere, dass sie das gleiche Vorzeichen haben. Wenn die Diagonalelemente ein negatives Vorzeichen haben, wird der Punkt (zusätzlich) am Koordinatenursprung gespiegelt.
Eine Spiegelung am Koordinatenursprung findet also für $k \in \{-1, -3, -4\}$ statt.
-
Bestimme die Abbildungsmatrix.
TippsBeachte:
- $x'=x$ und
- $y'=3\cdot y$.
Prüfe die Abbildung, indem du die Matrix $A$ mit dem Ortsvektor des Punktes $P$ multiplizierst.
Die gesuchte Matrix ist eine Diagonalmatrix.
LösungZunächst macht man sich klar, wie sich die Koordinaten des Bildpunktes $P'(x'|y')$ in Abhängigkeit der Koordinaten des Punktes $P(x|y)$ darstellen lassen.
- Die x-Koordinate bleibt erhalten: $x'=x$ und
- die y-Koordinate wird mit dem Faktor $k\neq 0$ multipliziert: $y'=k\cdot y$.
Diese Matrix ist $A=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&3 \end{pmatrix}$.
Eine solche Abbildung wird als orthogonale Affinität bezeichnet.
-
Bestimme für den Streckfaktor $k=3$ den Bildpunkt von $E(2|1,5)$.
TippsEs ist
- $x'=k\cdot x$ und
- $y'=k\cdot y$.
Multipliziere jede Koordinate des Punktes $P$ mit dem Streckfaktor.
LösungWenn man einen Punkt mit dem Streckfaktor $k=3$ und dem Koordinatenzentrum als Streckzentrum strecken möchte, kann man den zugehörigen Ortsvektor mit der Matrix $A$ multiplizieren.
Damit ist
$\vec{x'}=\begin{pmatrix} 3&0\\ 0&3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1,5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ 4,5 \end{pmatrix}$.
Das bedeutet, dass $E'(6|4,5)$ der Bildpunkt ist.
-
Entscheide, welche Abbildung vorliegt.
TippsBerechne jeweils für einen Punkt die Koordinaten des Bildpunktes. Der Punkt sollte auf keiner der Koordinatenachsen liegen.
Zeichne den Punkt und den zugehörigen Bildpunkt in ein Koordinatensystem.
Bei einer Spiegelung an der x-Achse wird der Punkt $P(x|y)$ abgebildet auf $P'(x|-y)$.
Bei einer Projektion auf die x-Achse wird der Punkt $P(x|y)$ abgebildet auf $P'(x|0)$.
LösungMan kann sich bei jedem der Beispiele die lineare Abbildung am Beispiel eines Punktes $P(x|y)$ klarmachen:
$A$ ist die Abbildungsmatrix einer zentrischen Streckung. Bei $B$ wird noch zusätzlich an dem Koordinatenursprung gespiegelt.
- $C\cdot\vec x$ führt zu dem Bildpunkt $P'(2x|-2y)$. Dies ist eine Streckung sowie eine Spiegelung an der x-Achse.
- $D\cdot\vec x$ führt zu dem Bildpunkt $P'(-2x|2y)$. Dies ist eine Streckung sowie eine Spiegelung an der y-Achse.
- $E\cdot\vec x$ führt zu dem Bildpunkt $P'(2x|0)$. Dies ist eine Streckung sowie eine Projektion auf die x-Achse.
- $F\cdot\vec x$ führt zu dem Bildpunkt $P'(0|2y)$. Dies ist eine Streckung sowie eine Projektion auf die y-Achse.

Drehung im Koordinatensystem – Anleitung

Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Orthogonale Spiegelung an der x-Achse

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Drehung um den Ursprung

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Zentrische Streckung

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Projektion auf eine Gerade

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Kombination von Abbildungen

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Abbildungen im Raum

Parallelverschiebung von Polynomen im Koordinatensystem

Orthogonale Affinität
6.399
sofaheld-Level
6.573
vorgefertigte
Vokabeln
8.510
Lernvideos
37.559
Übungen
34.073
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrer*
innen

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Rechteck
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Was ist eine Viertelstunde
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Grundrechenarten Begriffe
- Dreiecksarten
- Quader
- Satz des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Erste binomische Formel
- Kreis
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Volumen Kugel
- Zahlen in Worten schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich multiplizieren
- Brüche multiplizieren
- Potenzgesetze
- Distributivgesetz
- Flächeninhalt Dreieck
- Rationale Zahlen
- Volumen berechnen
- Brüche addieren
- Kongruenz
- Exponentialfunktion
- Scheitelpunktform
- Logarithmus
- Erwartungswert
- Skalarprodukt
- Primfaktorzerlegung
- Quadratische Ergänzung
- Zinseszins
- Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen
- Sinusfunktion