- Mathematik
- Lineare Algebra und Analytische Geometrie
- Spiegelung, Drehung und Translation
- Lineare Abbildungen durch Matrizen – Orthogonale Spiegelung an der x-Achse
Lineare Abbildungen durch Matrizen – Orthogonale Spiegelung an der x-Achse
![](https://images.cdn.sofatutor.net/videos/pictures/19703/normal/19703_Lineare_Abbildungen_Orthogonale_Spiegelung_an_der_X_achse.00_06_01_03.Standbild001.jpg?1415108799)
![](https://assets.production.cdn.sofatutor.net/assets/application/videos/visitors/exercise_placeholder-2279025c5a365b2fc86f14ce8c60de0ce869070b8a1ca85af57c38d7343ff7ef.png)
Starte dafür schnell & einfach deine kostenlose Testphase
und verbessere mit Spaß deine Noten!
-
Lernvideos für alle Klassen und Fächer, die den Schulstoff kurz und prägnant erklären.
-
steigere dein Selbstvertrauen im Unterricht, indem du vor Tests und Schularbeiten mit unseren unterhaltsamen interaktiven Übungen lernst.
-
lerne unterwegs mit den Arbeitsblättern zum Ausdrucken – zusammen mit den dazugehörigen Videos ermöglichen diese Arbeitsblätter eine komplette Lerneinheit.
-
24h-Hilfe von Lehrer*innen, die immer helfen, wenn du es brauchst.
![](https://assets.production.cdn.sofatutor.net/assets/application/conversion_logos/93_badge-854e19f678dfa6554e6bd830cddf09697be9479b5645bd887649dbfd7f2f6002.png)
Testphase jederzeit online beenden
Sie sind Lehrkraft? Hier entlang!
in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Das Lineare Abbildung Matrix Quiz besiegt 60% der Teilnehmer! Kannst du es schaffen?
Quiz startenDu musst eingeloggt sein, um bewerten zu können.
Wow, Danke!
Gib uns doch auch deine Bewertung bei Google! Wir freuen uns!
![Avatar](https://images.cdn.sofatutor.net/users/avatars/default/small_polaroid/default.png)
Grundlagen zum Thema Lineare Abbildungen durch Matrizen – Orthogonale Spiegelung an der x-Achse
Hallo! Wie kann man die orthogonale Spiegelung an der x-Achse durch eine Matrix beschreiben? Dazu wiederholen wir den Begriff der linearen Abbildung. Danach leiten wir am Beispiel eines gespiegelten Dreiecks die entsprechende Abbildungsmatrix her. Zum Schluss überprüfen wir diese Abbildungsmatrix an einem weiteren Beispiel: Wir spiegeln ein Viereck orthogonal an der x-Achse. Viel Spaß beim Lernen!
Lineare Abbildungen durch Matrizen – Orthogonale Spiegelung an der x-Achse Übung
-
Ergänze die Erklärung zu linearen Abbildungen.
TippsZum Beispiel ist die Spiegelung an der x-Achse eine lineare Abbildung.
Sei $P(3|3)$, dann ist $P(3|-3)$ der an der x-Achse gespiegelte Punkt $P$.
Es gilt
$\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}$
Hier siehst du eine $(2\times 2)$-Matrix. Gesprochen: „Zwei kreuz zwei“.
Diese Matrix hat zwei Zeilen und zwei Spalten.
LösungWas ist eine lineare Abbildung?
Eine Zuordnung $f$, die den Raum $\mathbb{R}^n$ auf den Raum $\mathbb{R}^m$ abbildet, also
$f:~\mathbb{R}^n~\rightarrow~\mathbb{R}^m$,
heißt lineare Abbildung, wenn sie jedem Punkt $P$ aus $\mathbb{R}^n$ einen Bildpunkt $P'$ aus $\mathbb{R}^m$ zuordnet und eine $(m\times n)$-Matrix $A$ existiert, so dass gilt
$\vec{x'}=A\cdot \vec x$.
Dabei ist
- $\vec{x'}$ der Ortsvektor von $P'$ und
- $\vec x$ der Ortsvektor von $P$.
-
Gib die Matrix an, welche die orthogonale Spiegelung an der x-Achse beschreibt.
TippsBeachte die Definition einer linearen Abbildung:
Eine Zuordnung $f$, die den Raum $\mathbb{R}^n$ auf den Raum $\mathbb{R}^m$ abbildet, also
$f:~\mathbb{R}^n~\rightarrow~\mathbb{R}^m$,
heißt lineare Abbildung, wenn sie jedem Punkt $P$ aus $\mathbb{R}^n$ einen Bildpunkt $P'$ aus $\mathbb{R}^m$ zuordnet und eine $(m\times n)$-Matrix $A$ existiert, so dass gilt:
$\vec{x'}=A\cdot \vec x$.
Der Bildpunkt von $E(3|4)$ ist $E'(3|-4)$ und der von $F(5|2)$ ist $F'(5|-2)$.
Berechne an weiteren Beispielen das Produkt „Matrix mal Vektor“: Multipliziere hierfür jede Zeile der Matrix mit dem Vektor.
LösungWenn man das Dreieck $\Delta_{DEF}$ an der x-Achse spiegeln möchte, kann man jeden Eckpunkt des Dreiecks einzeln an der x-Achse spiegeln. Wenn man am Schluss die gespiegelten Punkte wieder miteinander verbindet, erhält man das gespiegelte Dreieck.
Diese Spiegelung sei hier einmal exemplarisch für den Punkt $D$ gezeigt.
- Man zeichnet eine Hilfslinie von $D$ ausgehend orthogonal zur x-Achse.
- Nun misst man die Länge der Strecke bis zur x-Achse und trägt diese Länge auf der anderen Seite der x-Achse ab.
- Der Bildpunkt von $D$ hat die gleiche $x$-Koordinate. Nur die $y$-Koordinate ändert sich: Das Vorzeichen wird vertauscht.
- Der Bildpunkt von $D(1|1)$ ist $D'(1|-1)$.
- $E'(3|-4)$ der Bildpunkt von $E(3|4)$ und
- $F'(5|-2)$ der Bildpunkt von $F(5|2)$
Hierzu betrachtet man einen beliebigen Punkt $P(x|y)$ und den zugehörigen Bildpunkt $P'(x'|y')$. An den Beispielen kann man erkennen, dass die $x$-Koordinate gleich bleibt und bei der $y$-Koordinate das Vorzeichen vertauscht wird. Also gilt
- $x'=x$ sowie
- $y'=-y$.
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot x+0\cdot y \\ 0\cdot x+(-1)\cdot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
Das bedeutet, dass die Matrix
$A=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}$
die gesuchte Matrix aus der Definition der linearen Abbildung ist.
-
Leite die Matrix $A$ für die orthogonale Spiegelung an der y-Achse her.
TippsDurch diese Matrix ist die orthogonale Spiegelung an der x-Achse gegeben.
Bei der orthogonalen Spiegelung an der y-Achse änderst du bei der $x$-Koordinate das Vorzeichen und behältst die $y$-Koordinate bei.
Hier siehst du, wie du die Matrix bestimmen kannst.
LösungDie orthogonale Spiegelung an der y-Achse bewirkt, dass bei der $x$-Koordinate das Vorzeichen vertauscht wird. Die $y$-Koordinate ändert sich nicht.
Sei also $P(x|y)$ ein beliebiger Punkt und $P'(x'|y')=P'(-x|y)$ der zugehörige Bildpunkt, dann gilt
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (-1)\cdot x+0\cdot y \\ 0\cdot x+1\cdot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
Das bedeutet, dass die Matrix
$A=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{pmatrix}$
die Matrix ist, die die orthogonale Spiegelung an der y-Achse beschreibt.
-
Bestimme die zur der Punktspiegelung gehörige Matrix.
TippsBei beiden Koordinaten ändert sich zwar das Vorzeichen, der Absolutbetrag bleibt jedoch gleich.
Durch diese Matrix ist die orthogonale Spiegelung an der x-Achse gegeben.
Wenn du bei beiden Diagonaleinträgen das Vorzeichen vertauschst, erhältst du die Matrix zu der Spiegelung an der y-Achse.
Wenn du einmal an der x-Achse und dann an der y-Achse spiegelst, hast du insgesamt eine Punktspiegelung am Koordinatenursprung durchgeführt.
Berechne das Produkt der Matrizen
$\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$
LösungWenn ein Punkt an dem Koordinatenursprung gespiegelt wird, ändert sich bei beiden Koordinaten das Vorzeichen.
Sei $P(x|y)$ ein beliebiger Punkt und $P'(x'|y')=P'(-x|-y)$ dessen Bildpunkt. Dann kann die zu diesem Bildpunkt gehörige Matrix wie folgt ermittelt werden:
$\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} (-1)\cdot x+0\cdot y \\ 0\cdot x+(-1)\cdot y \end{pmatrix}\\ & =\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}$
Mit dieser Matrix $A=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}$ wird die Punktspiegelung am Koordinatenursprung beschrieben.
-
Ermittle zu jedem Punkt den an der x-Achse gespiegelten Punkt.
TippsTrage die Punkte in ein Koordinatensystem ein.
- Zeichne von jedem Punkt eine Hilfslinie orthogonal zur x-Achse.
- Nun kannst du die Länge der Strecke bis zur x-Achse messen.
- Trage diese Länge auf der anderen Seite der x-Achse ab.
- So erhältst du den Bildpunkt.
Fällt dir etwas auf?
- Die $x$-Koordinate bleibt erhalten und
- in der $y$-Koordinate ändert sich das Vorzeichen.
Beachte: Die erste (zweite) Koordinate eines Punktes ist die $x$ ($y$)-Koordinate dieses Punktes.
LösungDie orthogonale Spiegelung an der x-Achse ist eine lineare Abbildung. Diese kann auch so dargestellt werden:
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
Für den Punkt $G(0,5|1)$ bedeutet dies
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0,5 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot 0,5+ 0\cdot 1 \\ 0\cdot 0,5 +(-1)\cdot 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5 \\ -1 \end{pmatrix}$
So können die übrigen Bildpunkte berechnet werden. Man kann sich dies auch so klarmachen: Man behält die $x$-Koordinate bei und tauscht bei der $y$-Koordinate das Vorzeichen.
- $H(5|2)~\rightarrow~H'(5|-2)$
- $I(4|4)~\rightarrow~I'(4|-4)$
- $J(1|2,5)~\rightarrow~J'(1|-2,5)$
-
Prüfe, welche lineare Abbildungen durch die gegebenen Matrizen beschrieben werden.
TippsMache dir jeweils an einem Beispiel klar, wie der Bildpunkt aussieht.
Multipliziere hierfür den Ortsvektor des Punktes mit der Matrix.
Hier siehst du ein Beispiel für die Matrix $E$.
Rechne die jeweiligen Koordinaten noch aus.
Wenn du eine Nullzeile einer Matrix mit einem Vektor multiplizierst, erhältst du $0$.
Wenn der Punkt $P(x|y)$ auf die x-Achse projiziert wird, erhält man $P'(x|0)$.
LösungMan kann sich jeweils an einem Beispiel oder auch ganz allgemein klarmachen, wie die Multiplikation mit der entsprechenden Matrix sich auswirkt:
Die Matrix $A$
$\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot x+0\cdot y \\ 0\cdot x+0\cdot y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$
Dies ist eine orthogonale Projektion auf die x-Achse.
Die Matrix $B$ beschreibt eine orthogonale Projektion auf die y-Achse.
Bei den beiden Matrizen $C$ und $D$ ist noch dazu - im Vergleich zu $A$ und $B$ - das Vorzeichen vertauscht:
Die Matrix $C$ bewirkt eine orthogonale Projektion auf die x-Achse sowie Spiegelung an der y-Achse.
Die Matrix $D$ bewirkt eine orthogonale Projektion auf die y-Achse sowie Spiegelung an der x-Achse.
Die Matrix $E$ vertauscht die x- mit der y-Koordinate:
$\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\cdot x+1\cdot y \\ 1\cdot x + 0\cdot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$
![video image](https://images.cdn.sofatutor.net/videos/screenshots/19713/normal/2d31f0ebb9d74ca3bca6cbf95b6b3a2c_1.jpg?1540459151)
Drehung im Koordinatensystem – Anleitung
![video image](https://images.cdn.sofatutor.net/videos/pictures/19714/normal/19714_Zentrische_Streckung_im_Koordinatensystem_Anleitung.jpg?1430317845)
Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung
![video image](https://images.cdn.sofatutor.net/videos/pictures/19703/normal/19703_Lineare_Abbildungen_Orthogonale_Spiegelung_an_der_X_achse.00_06_01_03.Standbild001.jpg?1415108799)
Lineare Abbildungen durch Matrizen – Orthogonale Spiegelung an der x-Achse
![video image](https://images.cdn.sofatutor.net/videos/pictures/19715/normal/19715_Lineare_Abbildungen_durch_Matrizen_Drehung_um_den_Ursprung.Standbild002.jpg?1411715110)
Lineare Abbildungen durch Matrizen – Drehung um den Ursprung
![video image](https://images.cdn.sofatutor.net/videos/pictures/19716/normal/19716_Lineare_Abbilgunden_durch_Matrizen_Zentrische_Steckung.Standbild002.jpg?1411715964)
Lineare Abbildungen durch Matrizen – Zentrische Streckung
![video image](https://images.cdn.sofatutor.net/videos/screenshots/19717/normal/ce93a1bcc98c2c47814715d0c6ace794_1.jpg?1417193731)
Lineare Abbildungen durch Matrizen – Projektion auf eine Gerade
![video image](https://images.cdn.sofatutor.net/videos/pictures/19722/normal/19722_Lineare_Abbildungen_durch_Matrizen_Kombination_von_Abbildungen_Titelbild.jpg?1413362204)
Lineare Abbildungen durch Matrizen – Kombination von Abbildungen
![video image](https://images.cdn.sofatutor.net/videos/pictures/19726/normal/19726_Lineare_Abbildungen_durch_Matrizen_Abbildungen_im_Raum.00_03_49_04.Standbild001.jpg?1417439790)
Lineare Abbildungen durch Matrizen – Abbildungen im Raum
![video image](https://images.cdn.sofatutor.net/videos/pictures/19712/normal/19712_Parallelverschiebung_von_Polynomen_im_Koordinatensystem.jpg?1426069194)
Parallelverschiebung von Polynomen im Koordinatensystem
![video image](https://images.cdn.sofatutor.net/videos/pictures/19805/normal/19805_Orthogonale_Affinit%C3%A4t.jpg?1428571777)
Orthogonale Affinität
8.431
sofaheld-Level
6.601
vorgefertigte
Vokabeln
7.472
Lernvideos
35.639
Übungen
33.175
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften
![laufender Yeti](https://assets.production.cdn.sofatutor.net/assets/application/characters/yeti-e81619c0ae94d5c18b832b3929d8f982c8e78dc51ed04635e04a8a35b9c17788.png)
Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Satz Des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Volumen Kugel
- Zahlen In Worten Schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich Multiplizieren
- Brüche gleichnamig machen
- Brüche Multiplizieren
- Potenzgesetze
- Distributivgesetz
- Flächeninhalt Dreieck
- Rationale Zahlen
- Volumen Berechnen
- Brüche Addieren
- Kongruenz
- Exponentialfunktion
- Exponentialfunktion Beispiel