Konstruktion des Inkreises

Konstruktion des Inkreises Übung

• Schildere das allgemeine Vorgehen zur Konstruktion des Inkreises eines Dreiecks.

  Tipps

  Hier siehst du eine Winkelhalbierende, die Halbgerade von $A$ aus über $R$ hinaus, des Dreiecks.

  Du benötigst noch eine weitere Winkelhalbierende. Der Schnittpunkt der beiden Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises.

  Der Mittelpunkt des Inkreises hat zu jeder Seite des Dreiecks den gleichen Abstand. Dieser Abstand ist der Radius des Inkreises.

  Lösung

  In diesem Bild siehst du die beiden Winkelhalbierenden der Winkel $\angle BAC$ sowie $\angle ABC$.

  Der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden ist der gesuchte Mittelpunkt des Inkreises. Zunächst müssen wir also diese beiden Winkelhalbierenden konstruieren.

  Der Schnittpunkt dieser Winkelhalbierenden hat zu jeder der Dreiecksseiten den gleichen Abstand. Dies ist der Radius des Inkreises.

  Du fällst also ein Lot von $M$ auf eine der Dreiecksseiten, hier in dem Bild auf $\overline{AB}$. Der Lotfußpunkt sei der Punkt $D$. Die Länge der Strecke $\overline{MD}$ ist der Radius $r$ des Inkreises.

  Zuletzt zeichnest du einen Kreis um den Mittelpunkt $M$ mit dem Radius $r$.

  Fertig ist der Inkreis.

• Beschreibe die Konstruktion einer Winkelhalbierenden.

  Tipps

  Die beiden Schenkel des Winkels $\angle ABC$ gehen vom Punkt $B$ aus.

  Dies erkennst du am mittleren Buchstaben: $B$ liegt in der Notation $\angle ABC$ zwischen $A$ und $C$.

  Jeder Punkt einer Winkelhalbierenden hat den gleichen Abstand zu den beiden Schenkeln, die den zu halbierenden Winkel einschließen.

  Eine Strecke besitzt einen Anfangs- und einen Endpunkt.

  Alle Punkte auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ haben den gleichen Abstand zum Mittelpunkt: nämlich den Radius $r$.

  Lösung

  Was ist eine Winkelhalbierende?

  Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, welche von den beiden Schenkeln, die den zu halbierenden Winkel einschließen, den gleichen Abstand hat.

  Eine solche Winkelhalbierende konstruierst du wie folgt:

  • Zeichne einen Kreis, dessen Radius kleiner ist als die kürzere der beiden Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$, um den Punkt $A$.
  • Dieser Kreis schneidet die beiden Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ jeweils in einem Punkt. Diese werden mit $P$ und $Q$ bezeichnet.
  • Zeichne nun um jeden der beiden Punkte $P$ und $Q$ einen Kreis mit dem gleichen Radius.
  • Der Schnittpunkt der beiden Kreise sei $R$.
  • Zuletzt verbindest du den Punkt $A$ mit diesem Schnittpunkt $R$ und zeichnest eine Halbgerade über diesen Punkt hinaus.

  Fertig ist die Winkelhalbierende.

  Jeder Punkt auf dieser Winkelhalbierenden hat zu den beiden Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ den gleichen Abstand.

• Untersuche, in welchem Schritt Paul den Fehler bei der Konstruktion der Winkelhalbierenden gemacht hat.

  Tipps

  Gesucht ist nur das Bild, in welchem der Fehler gemacht wurde. Alle folgenden Bilder sind dann auch nicht richtig. Der Fehler wurde allerdings nicht in diesen Bildern gemacht.

  Hier siehst du noch einmal die einzelnen Schritte der Konstruktion:

  • Zeichne einen Kreis, dessen Radius kleiner ist als die kürzere der beiden Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$, um den Punkt $A$.
  • Dieser Kreis schneidet die beiden Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ jeweils in einem Punkt. Diese werden mit $P$ und $Q$ bezeichnet.
  • Zeichne nun um jeden der beiden Punkte $P$ und $Q$ einen Kreis mit dem gleichen Radius.
  • Der Schnittpunkt der beiden Kreise sei $R$.
  • Zuletzt verbindest du den Punkt $A$ mit diesem Schnittpunkt und zeichnest eine Halbgerade über diesen Punkt hinaus.

  Beachte, dass die Kreise um die beiden Punkte $P$ und $Q$ den gleichen Radius haben müssen. Damit ist sichergestellt, dass der Schnittpunkt dieser Kreise den gleichen Abstand zu $P$ wie zu $Q$ hat.

  Lösung

  Was hat Paul da nur falsch gemacht? Schauen wir uns jeden einzelnen Schritt der Konstruktion an, um den Fehler zu entdecken:

  • Zeichne einen Kreis, dessen Radius kleiner ist als die kürzere der beiden Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$, um den Punkt $A$. ✓ Das hat Paul toll gemacht.
  • Dieser Kreis schneidet die beiden Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ jeweils in einem Punkt. Diese werden mit $P$ und $Q$ bezeichnet. ✓
  • Zeichne einen Kreis um $P$. ✓
  • Zeichne nun einen Kreis mit dem gleichen Radius um $Q$. Oh, hier ist der Fehler: Der Kreis um $Q$ hat einen deutlich kleineren Radius als der um $P$. Das bedeutet, der Schnittpunkt der beiden Kreise $R$ hat sicher nicht den gleichen Abstand zu $P$ und zu $Q$.

  Von hier an ist die Konstruktion falsch.

  Also hat Paul auch nicht die Winkelhalbierende von $\gamma$ konstruiert. Deshalb schneiden die drei Halbgeraden sich nicht in einem Punkt.

• Skizziere, wie du den Inkreis eines Dreiecks $\Delta ABC$ konstruieren kannst.

  Tipps

  Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden.

  Der Radius des Inkreises ist der Abstand des Mittelpunktes zu einer Seite des Dreiecks. Welche Seite du wählst, ist nicht wichtig.

  Wenn du das Lot des Mittelpunktes auf eine Seite fällst, erhältst du einen Lotfußpunkt. Der Abstand der beiden Punkte zueinander ist der gesuchte Radius.

  Lösung

  Um den Inkreis eines Dreiecks zu konstruieren, gehst du wie folgt vor.

  • Zunächst zeichnest du zwei Winkelhalbierenden ein.
  • Der Schnittpunkt dieser Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt $M$ des Inkreises.
  • Fälle nun ein Lot von dem Mittelpunkt $M$ auf eine der Seiten, hier die Seite $c$.
  • Der Lotfußpunkt wird mit $D$ bezeichnet.
  • Der Radius $r$ des Inkreises ist der Abstand des Mittelpunktes zu dem Lotfußpunkt $D$.
  • Zuletzt zeichnest du einen Kreis um den Mittelpunkt $M$ mit dem Radius $r$.

  So gelangst du zu dem Inkreis.

• Gib an, wie der Mittelpunkt des Inkreises bestimmt wird.

  Tipps

  Hier siehst du, wie du zu dem Mittelpunkt des Inkreises kommt.

  Der Mittelpunkt des Inkreises hat zu jeder Seite des Dreiecks den gleichen Abstand.

  Wenn du den Winkel zwischen zwei Schenkeln halbierst, erhältst du eine Halbgerade. Jeder Punkt auf dieser Halbgeraden hat den gleichen Abstand zu jedem der beiden Schenkel.

  Die (drei!) Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

  Zur Bestimmung des Schnittpunktes der Winkelhalbierenden genügen auch zwei der drei Winkelhalbierenden.

  Übrigens: Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich auch in einem Punkt. Dies ist der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks.

  Lösung

  Die beiden Halbgeraden von $A$ und von $B$ ausgehend schneiden sich in dem Mittelpunkt $M$ des Inkreises des Dreiecks $\Delta ABC$. Diese Halbgeraden sind Winkelhalbierenden.

  Dieser Mittelpunkt hat den gleichen Abstand zu jeder Seite des Dreiecks.

  Wenn du beispielsweise den Winkel $\angle BAC$ halbierst, erhältst du eine Halbgerade von $A$ ausgehend: die sogenannte Winkelhalbierende dieses Winkels. Jeder Punkt auf dieser Halbgeraden hat den gleichen Abstand zu den Seiten $\overline{AC}$ sowie $\overline{AB}$ des Dreiecks.

  Somit hat der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden den gleichen Abstand zu jeder der drei Seiten. Es genügen auch bereits zwei Winkelhalbierenden zur Bestimmung dieses Schnittpunktes.

  Das bedeutet, dass der Schnittpunkt der (drei!) Winkelhalbierenden oder von zwei der drei Winkelhalbierenden der Mittelpunkt des Inkreises ist.

  Übrigens: Auch die Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt, nämlich dem Mittelpunkt des Umkreises.

• Untersuche die Winkelhalbierenden in einem gleichseitigen Dreieck.

  Tipps

  Hier kannst du die Winkelhalbierenden sowie den Inkreis eines gleichseitigen Dreiecks sehen.

  Beachte, dass jeder Punkt auf einer Winkelhalbierenden zu jedem der beiden Schenkel, die den zu halbierenden Winkel einschließen, den gleichen Abstand hat. Das bedeutet, dass der Schnittpunkt zweier Winkelhalbierender der Mittelpunkt des Inkreises ist.

  Jeder Punkt auf einer Mittelsenkrechten einer Strecke hat zu jedem Eckpunkt der Strecke den gleichen Abstand. Das bedeutet, dass der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten der Mittelpunkt des Umkreises ist.

  Der Winkelsummensatz besagt, dass in jedem Dreieck die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$ beträgt.

  Lösung

  Hier kannst du die Winkelhalbierenden sowie den Inkreis eines gleichseitigen Dreiecks sehen. Was ist das Besondere daran?

  Schauen wir uns eimal die Grundseite $a=\overline{AB}$ an und die Winkelhalbierende des Winkels $\alpha=\angle ACB$. Durch die Winkelhalbierende wird das Dreieck $\Delta ABC$ in zwei Dreiecke geteilt.

  Wir untersuchen nun das rechte der beiden Dreiecke. Der Winkel bei $C$ beträgt $60^\circ:2=30^\circ$ und der bei $B$ $60^\circ$. Also muss der verbleibende Winkel ein rechter Winkel sein (Winkelsummensatz).

  Da das linke Dreieck in allen drei Winkeln und auch noch in zwei Seiten mit dem rechten Dreieck übereinstimmt, sind die beiden Dreiecke kongruent. Insbesondere bedeutet dies, dass die Seite $\overline{AB}$ durch die Winkelhalbierende halbiert wird.

  Die Winkelhalbierende in einem gleichseitigen Dreiecke ist also auch noch die Mittelsenkrechte und die Seitenhalbierende.

  Somit ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Mittelpunkt des Inkreises und gleichzeitig der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, also der Mittelpunkt des Umkreises.