Komplexe Zahlen – Rechenbeispiele zur Polardarstellung und Exponentialform

Komplexe Zahlen – Rechenbeispiele zur Polardarstellung und Exponentialform Übung

• Gib die komplexe Zahl in Normalform an.

  Tipps

  Forme die Gleichung

  $\cos\phi = {a}/{r}$

  nach dem gesuchten Realteil um und setze die gegebenen Werte ein.

  Welche Formel kann man verwenden, um den Imaginärteil zu berechnen?

  Für die Berechnung des Imaginärteils von z formen wir die Formel $\sin {b/r}$ nach b und setzen anschließend die gegebenen Werte ein.

  Lösung

  Gegeben ist eine komplexe Zahl z in Exponentialform. Unser Ziel ist es z in Normalform umzurechnen. Dafür berechnen wir den Realteil a und den Imaginärteil b von z mit Hilfe der Umformung der beiden Gleichungen:

  $\cos \phi = {a}/{r} \qquad \Leftrightarrow a= r\cdot \cos \phi $

  $\sin \phi = {b}/{r} \qquad \Leftrightarrow b= r\cdot \sin\phi $

  Man kann nun die entsprechenden Werte für r und $\phi$ durch Ablesen aus der gegebenen Exponentialform

  $z=r\cdot e^{i\cdot \phi}$

  ablesen und a und b berechnen, um die komplexe Zahl z in Normalform

  $z=a+bi$

  anzugeben.

• Bestimme die Lösungen der Multiplikation und Division der komplexen Zahlen in Exponentialform.

  Tipps

  Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen in Exponentialform multipliziert man die Beträge und addiert die Potenzen.

  Bei der Division von komplexen Zahlen in Exponentialform werden die Beträge dividiert und die Exponenten subtrahiert.

  Lösung

  Um komplexe Zahlen, welche in der Exponentialform gegeben sind, zu multiplizieren bzw. zu dividieren, wenden wir Potenzgesetze an:

  $z_1 \cdot z_2 = (r_1 \cdot e^{i\cdot \phi_1})\cdot (r_2 \cdot e^{i\cdot \phi_2}) = (r_1 \cdot r_2) \cdot e^{i\cdot (\phi_1 + \phi_2)}$

  $\frac{z_1}{z_2} = (r_1 \cdot e^{i\cdot \phi_1}) : (r_2 \cdot e^{i\cdot \phi_2}) = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i\cdot (\phi_1 - \phi_2)}$

  Wir können unsere gegebenen Werte für $r_1$, $\phi_1$, $r_2$ und $\phi_2$ in die Formeln einsetzen und erhalten somit die jeweilige Lösung.

• Gib die korrekte Umwandlung der gegebenen komplexen Zahlen an.

  Tipps

  Man berechnet den Realteil mit $a = r\cdot \cos(\phi)$

  und den Imaginärteil von z mit $b=r\cdot \sin(\phi)$.

  Man erhält den Winkel $\phi$ durch die Umformung der Gleichung $\cos(\phi) = \frac{a}{r}$ oder der Gleichung $\sin(\phi) = \frac{b}{r}$.

  Lösung

  Möchte man eine komplexe Zahl wie

  $z= 8\cdot e^{i \cdot 45°}$

  von der Exponentialform in die Normalform umrechnen, so berechnet man den Realteil durch

  $a=r\cdot \cos(\phi)= 8 \cdot \cos(45°) = 4\sqrt 2 $

  und den Imaginärteil von z durch

  $b= r\cdot \sin(\phi) = 8 \cdot \sin(45°) = 4\sqrt 2 $.

  Die ermittelten Werte für a und b setzt man anschließend in die allgemeine Normalform mit

  $z=a+ib = 4\sqrt 2 + i \cdot 4\sqrt 2$

  ein.

  Für die Umrechnung von der Normalform in die Exponentialform ermittelt man als erstes r, indem man den Betrag von z berechnet:

  $r= |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{10^2+6^2} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} $.

  Anschließend erhalten wir den Winkel $\phi$ durch die Umformung der Gleichung

  $\cos(\phi) = \frac{10}{2\sqrt{34}} \qquad \Leftrightarrow \qquad \phi \approx 31°$.

  Die komplexe Zahl in Exponentialform lautet dann:

  $z= 2 \sqrt{34} \cdot e^{i \cdot 31°}$.

• Berechne die Produkte und Quotienten der komplexen Zahlen.

  Tipps

  Berechne die Aufgaben, indem du die Potenzgesetze anwendest. Vergleiche deine Ergebnisse anschließend mit den gegebenen.

  Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen in Exponentialform multipliziert man die Beträge und addiert die Potenzen.

  Bei der Division von komplexen Zahlen in Exponentialform werden die Beträge dividiert und die Exponenten subtrahiert.

  Lösung

  Um das Produkt von zwei komplexen Zahlen in Exponentialform zu berechnen, multipliziert man die Beträge $r_1$ und $r_2$ und addiert die Exponenten $\phi_1$ und $\phi_2$:

  $r_1 e^{i\cdot \phi_1} \cdot r_2 e^{i\cdot \phi_2} = (r_1 \cdot r_2) \cdot e^{i(\phi_1 + \phi_2)}$.

  Angewendet auf ein Beispiel ergibt das:

  $(5\cdot e^{i\cdot 30°})\cdot (4\cdot e^{i\cdot 15°}) = (5\cdot 4)\cdot e^{i\cdot (30°+15°)} = 20\cdot e^{i\cdot 45°}$.

  Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen in Exponentialform zu berechnen, dividiert man die Beträge $r_1$ und $r_2$ und subtrahiert die Exponenten $\phi_1$ und $\phi_2$:

  $r_1 e^{i\cdot \phi_1} : r_2 e^{i\cdot \phi_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\phi_1 - \phi_2)}$

  Angewendet auf ein Beispiel ergibt das:

  $\frac{14\cdot e^{i\cdot 42°}}{7\cdot e^{i\cdot 15°}} = (\frac{14}{7}) \cdot e^{i\cdot (42° - 15°)} = 2\cdot e^{i\cdot 27°} $.

• Formuliere die Gesetze zur Umrechnung sowie zur Multiplikation und Division von komplexen Zahlen.

  Tipps

  Formuliere die Formel zur Multiplikation und zur Division von komplexen Zahlen in Exponentialform mit Worten.

  Lösung

  Komplexe Zahlen können in verschiedenen Formen dargestellt werden. Wir kennen die Normalform mit $z=a+ib$,

  die Polarform mit $z=r\cdot (\cos(\phi) + i\cdot \sin(\phi))$

  und die Exponentialform mit $z= r\cdot e^{i \cdot \phi}$.

  Möchte man nun eine komplexe Zahl von der Exponentialform in die Normalform umrechnen, so berechnet man den Realteil durch $a=r\cdot \cos(\phi)$ und den Imaginärteil von z durch

  $b= r\cdot \sin(\phi)$.

  Die Werte für r und $\phi$ entnimmt man aus der Exponentialform. Die ermittelten Werte für a und b setzt man anschließend in die allgemeine Normalform mit $z=a+ib$ ein.

  Für die Umrechnung von der Normalform in die Exponentialform ermittelt man als erstes r, indem man den Betrag von z berechnet:

  $r= |z| = \sqrt{a^2+b^2}$.

  Anschließend erhalten wir den Winkel $\phi$ durch die Umformung der Gleichung

  $\cos(\phi) = \frac{a}{r}$

  oder der Gleichung $\sin(\phi) = \frac{b}{r}$.

  Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen in Exponentialform wendet man das Potenzgesetz

  $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ an.

  Somit multiplizieren wir die Beträge und addieren die Winkel:

  $r_1 e^{i\cdot \phi_1} \cdot r_2 e^{i\cdot \phi_2} = (r_1 \cdot r_2) \cdot e^{i(\phi_1 + \phi_2)}$.

  Bei der Division von komplexen Zahlen in Exponentialform wendet man das Potenzgesetz

  $\frac{x^m}{x^n}= x^{m-n}$ an.

  Man dividiert also die Beträge und subtrahiert die Winkel:

  $r_1 e^{i\cdot \phi_1} \div r_2 e^{i\cdot \phi_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\phi_1 - \phi_2)}$.

• Bestimme die fehlenden komplexen Zahlen in Exponentialform in den Rechnungen.

  Tipps

  Ermittle die Zahlen durch Umkehraufgaben.

  Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen in Exponentialform multipliziert man die Beträge $r_1$ und $r_2$ und addiert die Potenzen $\phi_1$ und $\phi_2$.

  Bei der Division von komplexen Zahlen in Exponentialform werden die Beträge $r_1$ und $r_2$ dividiert und die Exponenten $\phi_1$ und $\phi_2$ subtrahiert.

  Lösung

  Wir bilden die Umkehraufgaben und die gesuchten komplexen Zahlen zu finden.

  Wir wissen, dass man das Produkt zweier komplexen Zahlen berechnet durch:

  $r_1 e^{i\cdot \phi_1} \cdot r_2 e^{i\cdot \phi_2} = (r_1 \cdot r_2) \cdot e^{i(\phi_1 + \phi_2)} = r_3 \cdot e^{i \cdot \phi_3}$

  Seit nun $r_1 e^{i\cdot \phi_1}$ nicht gegeben, so erhalten wir $r_1$ und $\phi_1$ durch die Umformung der Gleichungen:

  $r_1 \cdot r_2 = r_3 \qquad \Leftrightarrow \qquad r_1 = \frac{r_3}{r_2} $

  $\phi_1 + \phi_2 = \phi_3 \qquad \Leftrightarrow \qquad \phi_1 = \phi_3 - \phi_2$.

  Wenn $ r_2 e^{i\cdot \phi_2} $ gesucht ist, so erhalten wir $r_2$ und $\phi_2$ durch folgende Umformungen:

  $r_1 \cdot r_2 = r_3 \qquad \Leftrightarrow \qquad r_2 = \frac{r_3}{r_1} $

  $\phi_1 + \phi_2 = \phi_3 \qquad \Leftrightarrow \qquad \phi_2 = \phi_3 - \phi_1$.

  Damit lassen sich alle gesuchten Beträge und Winkel berechnen.