Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Jacobi-Matrix und Hesse-Matrix

Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Jacobi-Matrix und Hesse-Matrix Übung

• Beschreibe die Eigenschaften der Hesse-Matrix.

  Tipps

  Weißt du noch, wie die Kriterien für lokale Extrema für Funktionen mit einer Veränderlichen lauten?

  • Es muss notwendigerweise gelten: $f'(x)=0$.
  • Zusätzlich muss hinreichend $f''(x)\neq 0$ gelten.

  Je nach Vorzeichen der zweiten Ableitung liegt ein lokales Minimum oder Maximum vor.

  Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind die partiellen Ableitungen (erster Ordnung) der partiellen Ableitungen erster Ordnung.

  Klingt merkwürdig, aber ist gar nicht kompliziert.

  Die Jacobi-Matrix entspricht einer ersten und die Hesse-Matrix einer zweiten Ableitung.

  Die Hesse-Matrix ist gegeben durch

  $H_f=\begin{pmatrix} f_{xx}&f_{xy} \\ f_{yx}&f_{yy} \end{pmatrix}$.

  Lösung

  Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen werden die Untersuchungen auf lokale Extrema ähnlich durchgeführt wie bei Funktionen mit einer Veränderlichen:

  Es muss notwendigerweise gelten: $f_x=0$ sowie $f_y=0$.

  Zusätzlich muss hinreichend die Determinante der Hesse-Matrix größer sein als $0$. Dann gilt:

  • Für $f_{xx}>0$ liegt ein lokales Minimum vor und
  • für $f_{xx}<0$ ein lokales Maximum.

  Das bedeutet, dass die Hesse-Matrix der zweiten Ableitung entspricht:

  Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind im Falle der abgebildeten Funktion

  • $f_x=2x-y-4$ sowie
  • $f_y=4y-x+9$.

  Wenn man jede dieser Ableitung noch einmal partiell ableitet, erhält man die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung. Diese werden in der Hesse-Matrix zusammengefasst:

  $H_f=\begin{pmatrix} f_{xx}&f_{xy} \\ f_{yx}&f_{yy} \end{pmatrix}$

  Also gilt für unsere Funktion $H_f=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ -1&4 \end{pmatrix}$.

• Bestimme die Art und Lage des lokalen Extremums von $f(x;y)=x^2+2y^2-xy-4x+9y$.

  Tipps

  Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind

  • $f_x=2x-y-4$ sowie
  • $f_y=4y-x+9$.

  Die Hesse-Matrix dieser Funktion lautet $H_f=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ -1&4 \end{pmatrix}$.

  Du erhältst die Determinante einer $[2\times 2]$-Matrix, indem du von dem Produkt der Hauptdiagonalelemente (von oben links nach unten rechts) das der Nebendiagonalelemente (von unten links nach oben rechts) subtrahierst.

  Die z-Koordinate des Minimums ist $f(1;-2)$.

  Lösung

  Um die Funktion $f(x;y)=x^2+2y^2-xy-4x+9y$ auf Extrema zu untersuchen, benötigt man die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung. Hier sehen wir die Ableitungen erster Ordnung:

  • $f_x=2x-y-4$ sowie
  • $f_y=4y-x+9$.

  Die Ableitungen zweiter Ordnung sind die Ableitungen der ersten Ableitungen. Sie werden in der Hesse-Matrix zusammengefasst:

  $H_f=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ -1&4 \end{pmatrix}$

  Nun können die Kriterien für lokale Extrema untersucht werden. Es muss notwendigerweise gelten: $fx=0$ sowie $f_y=0$.

  Zusätzlich muss hinreichend die Determinante der Hesse-Matrix größer sein als $0$. Dann gilt:

  • Für $f_{xx}>0$ liegt ein lokales Minimum vor und
  • für $f_{xx}<0$ ein lokales Maximum.

  Notwendiges Kriterium

  Es muss also gelten: $2x-y-4=0$ und $4y-x+9=0$. Daraus lässt sich dieses lineare Gleichungssystem herleiten:

  \begin{align} & \text{I} & 2x-y & =4\\ & \text{II} & -x+4y &=-9 \end{align}.

  Zunächst wird das Zweifache der unteren Gleichung zu der oberen addiert. Dies führt zu $7y=-14$. Division durch $7$ führt zu $y=-2$. Dieser Wert kann (zum Beispiel in der oberen der beiden Gleichungen) eingesetzt werden: $2x+2=4$. Nun wird $2$ subtrahiert und anschließend durch $2$ dividiert. Dies führt zu $x=1$.

  Hinreichendes Kriterium

  Nun muss die Determinante der Hesse-Matrix bestimmt werden:

  $\det(H_f)=2\cdot 4-(-1)\cdot (-1)=8-1=7>0$.

  Wir sehen, dass $f_{xx}=2>0$. Das bedeutet, dass ein lokales Minimum vorliegt. Dieses liegt bei Min$(1;-2;f(1;-2))$. Wir berechnen noch die z-Koordinate:

  $f(1;-2)=1^2+2(-2)^2-1\cdot(-2) -4\cdot 1+9\cdot (-2)=-11$.

  Also haben wir ein Minimum bei Min$(1;-2;-11)$.

• Ermittle die Ableitungen der Funktion $f(x;y)=-x^2-y^2-xy$.

  Tipps

  Beachte, dass $f_{xy}=f_{yx}$ ist.

  In diesem Beispiel ist auch $f_{xx}=f_{yy}$. Dies ist jedoch nicht immer so.

  Du leitest wie folgt partiell ab:

  Halte eine Variable konstant und leite nach der anderen mit den bekannten Regeln ab.

  $f_{xx}$ ist die partielle Ableitung von $f_x$ nach $x$.

  Ebenso lassen sich die übrigen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung erklären.

  Die Matrix

  $H_f=\begin{pmatrix} f_{xx}&f_{xy} \\ f_{yx}&f_{yy} \end{pmatrix}$

  hat nur Konstanten als Einträge.

  Lösung

  Wir untersuchen die Funktion $f(x;y)=-x^2-y^2-xy$. Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind

  • $\frac{\delta f}{\delta x}=f_x=-2x-y$ sowie
  • $\frac{\delta f}{\delta y}=f_x=-2y-x$.

  Wenn man diese partiellen Ableitungen nochmals partiell ableitet, erhält man die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:

  • $f_{xx}=\frac{\delta f_x}{x}=-2$,
  • $f_{xy}=\frac{\delta f_x}{y}=-1$,
  • $f_{yx}=\frac{\delta f_y}{x}=-1$ und
  • $f_{yy}=\frac{\delta f_y}{y}=-2$.

  Diese Ableitungen werden in der Hesse-Matrix aufgeschrieben:

  $H_f=\begin{pmatrix} -2&-1 \\ -1&-2 \end{pmatrix}$.

• Untersuche die Funktion $f(x;y)=-x^2-y^2-xy$ auf Extrema.

  Tipps

  Die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion sind

  • $\frac{\delta f}{\delta x}=f_x=-2x-y$ sowie
  • $\frac{\delta f}{\delta y}=f_x=-2y-x$.

  Die Hesse-Matrix dieser Funktion, also die Matrix der zweiten Ableitungen, lautet

  $H_f=\begin{pmatrix} -2&-1 \\ -1&-2 \end{pmatrix}$.

  Es muss notwendigerweise $f_x=$ sowie $f_y=0$ gelten.

  Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem.

  Die letzte Koordinate des Extremums ist der Funktionswert.

  Lösung

  Die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion $f(x;y)=-x^2-y^2-xy$ sind

  • $\frac{\delta f}{\delta x}=f_x=-2x-y$ sowie
  • $\frac{\delta f}{\delta y}=f_x=-2y-x$.

  Wenn man noch einmal partiell ableitet, erhält man die Hesse-Matrix

  $H_f=\begin{pmatrix} -2&-1 \\ -1&-2 \end{pmatrix}$.

  Das notwendige Kriterium

  Es muss $f_x=$ sowie $f_y=0$ gelten. Es ist also das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen:

  \begin{align} & \text{I} & -2x+y & =0\\ & \text{II} & x-2y & =0 \end{align}

  Die erste Zeile ist äquivalent zu $y=2x$. Wenn man $y=2x$ in die untere Gleichung einsetzt, erhält man $x-4x=-3x=0$. Dies ist äquivalent zu $x=0$. Damit folgt auch, dass $y=0$ ist.

  Das hinreichende Kriterium

  Zunächst wird die Determinante der Hesse-Matrix berechnet. Diese ist

  $\det(H_f)=(-2)\cdot(-2)-(-1)\cdot(-1)=4-1=3>0$.

  Nun muss noch $f_{xx}$ betrachtet werden: Es ist $f_{xx}=-2<0$. Das bedeutet, dass ein lokales Maximum vorliegt. Der Funktionswert ist $f(0;0)=-0^2-0^2-0\cdot 0=0$, also ist Max$(0;0;0)$.

• Gib die Jacobi-Matrix der Funktion an.

  Tipps

  Leite jede Zeile der Funktion partiell nach den beiden Veränderlichen ab.

  In der ersten Zeile der Jacobi-Matrix stehen die partiellen Ableitung der ersten Zeile nach $x$ und dann nach $y$.

  Analog gehst du in der zweiten Zeile vor.

  Zum Beispiel ist die partielle Ableitung der zweiten Zeile nach $x$ gegeben durch $y+2$.

  Lösung

  Die Jacobi-Matrix einer Funktion $f(x;y)$ wie sie hier zu sehen ist, ist nicht zu verwechseln mit der Hesse-Matrix.

  Während die Jacobi-Matrix die „erste Ableitung“ einer Funktion ist, ist die Hesse-Matrix die „zweite Ableitung“.

  Wenn man jede Koordinate von $f(x;y)$ partiell ableitet, erhält man in jeder Zeile zwei partielle Ableitung. Die Jacobi-Matrix ist somit eine $[2\times 2]$-Matrix:

  $J_f(x;y)=\begin{pmatrix} 2x&2y \\ y+2&x \end{pmatrix}$.

• Prüfe, ob die Funktion $f(x;y)=x^2+2x+2y^2$ ein lokales Extremum besitzt.

  Tipps

  Hier siehst du die partiellen Ableitungen erster Ordnung:

  • $f_x=2x+2$
  • $f_y=4y$.

  Die Determinante der Hesse-Matrix ist $8$ und damit ungleich $0$. Da diese größer als $0$ ist, muss noch das Element $f_{xx}$ untersucht werden.

  Ist dieses größer (kleiner) als $0$, liegt ein lokales Minimum (Maximum) vor.

  Die dritte Koordinate des Extremums ist der Funktionswert $z=f(x;y)$.

  Lösung

  Wir untersuchen die Funktion $f(x;y)=x^2+2x+2y^2$. Zunächst werden die (beiden) partiellen Ableitungen erster Ordnung bestimmt:

  • $f_x=2x+2$
  • $f_y=4y$

  Beide müssen notwendigerweise gleich $0$ sein. $f_x=0$ führt zu $x=-1$ und $f_y=0$ zu $y=0$.

  Ob tatsächlich ein Extremum vorliegt und welches, kann mit dem hinreichenden Kriterium geprüft werden:

  Hierfür benötigt man die Hesse-Matrix

  $H_f=\begin{pmatrix} 2&0 \\ 0&4 \end{pmatrix}$

  sowie deren Determinante. Diese ist $8$. Da zusätzlich $f_{xx}=2>0$ ist, weiß man, dass ein lokales Minimum vorliegt. Dieses ist

  Min$(-1;0;-1)$.

  Die $z$-Koordinate des Minimums ist der Funktionswert $z=f(-1;0)=(-1)^2+2\cdot (-1)+2\cdot 0^2=-1$.