Exponentielles Wachstum und Verdopplungszeit – Übung

Exponentielles Wachstum und Verdopplungszeit – Übung Übung

• Berechne, wie lange es dauert, bis die Pilzkultur sich verdoppelt hat.

  Tipps

  Merke dir: Exponentialgleichungen werden mit dem Logarithmus gelöst.

  Beachte, dass $\ln(e^t)=t$ ist.

  Übrigens: Die Verdopplungszeit ist unabhängig von dem Anfangsbestand $a$:

  $a\cdot e^T=2a$.

  Division durch $a$ führt zu

  $e^T=2$.

  Lösung

  Durch diese Funktion wird das Wachstum einer Pilzkultur beschrieben. Wie viel Zeit vergeht, bis sich die anfängliche Fläche $2~mm^2$ verdoppelt hat?

  Es ist also nach der Zeit $T$ gefragt, für die $f(T)=4$ gilt.

  Verwendet man nun die nebenstehende Funktionsvorschrift, erhält man die Gleichung

  $2\cdot e^T=4$.

  Zunächst dividiert man durch $2$ und erhält

  $e^T=2$.

  Nun wendet man den Logarithmus naturalis an. Es gilt $\ln(e^T)=T$. Dies führt zu

  $T=\ln(2)\approx 0,69$.

  Also hat sich die Fläche der Pilzkultur nach ungefähr $0,69$ Zeiteinheiten verdoppelt.

  Übrigens: Die Verdopplungszeit ist unabhängig von dem Anfangsbestand $a$:

  $a\cdot e^T=2a$.

  Division durch $a$ führt zu

  $e^T=2$.

• Bestimme die Verdopplungszeit.

  Tipps

  Da du durch $a$ dividierst, musst du die anfängliche Anzahl nicht kennen.

  Beachte, dass $\ln(e^t)=t$ gilt.

  Du erhältst das Ergebnis in Minuten. Um die Anzahl der Sekunden zu berechnen, multiplizierst du mit $60$.

  Lösung

  Die Verdopplungszeit ist unabhängig vom Anfangswert. Daher kann sie auch bei unbekanntem $a$ berechnet werden:

  Gegeben: $f(t)=a\cdot e^{3t}$

  Gesucht: $t$

  • $f(T)=2a$ führt zu der Gleichung $a\cdot e^{3T}=2a$.
  • Division durch $a$ resultiert in der Gleichung $e^{3T}=2$.

  Nun ist der Anfangswert nicht mehr in der Gleichung vorhanden.

  Diese Gleichung wird mit dem Logarithmus naturalis gelöst:

  $\ln(e^{3T})=\ln(2)$.

  Es gilt $\ln(e^t)=t$. Somit erhält man

  $3T=\ln(2)$.

  Zuletzt wird durch $3$ dividiert zu $T=\frac{\ln(2)}{3}\approx0,23$.

  Nach $0,23$ Minuten, das sind ungefähr $14$ Sekunden, hat sich die Zahl der Bakterien verdoppelt.

• Ermittle zu jedem der Wachstumsprozesse die Verdoppelungszeit.

  Tipps

  Division durch $a$ führt bei der Gleichung $a\cdot e^{k\cdot T}=2a$ zu

  $e^{k\cdot T}=2$.

  Wenn du den Logarithmus naturalis bei der Gleichung $e^{k\cdot }=2$ anwendest, erhältst du

  $k\cdot T=\ln(2)$.

  Wenn du die Gleichung $k\cdot T=\ln(2)$ durch $2$ dividierst, kommst du zu der Verdoppelungszeit

  $T=\frac{\ln(2)}k$.

  Lösung

  Wenn man ganz allgemein die Funktion $f(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$ betrachtet, kann man für die Verdopplungszeit eine Formel herleiten:

  • Es muss die Gleichung $a\cdot e^{k\cdot T}=2a$ gelöst werden:
  • Zunächst dividiert man durch $a$ und erhält $e^{k\cdot T}=2$.
  • Dann logarithmiert man $k\cdot T=\ln(2)$.
  • Zuletzt wird durch $k$ dividiert: $T=\frac{\ln(2)}k$.

  Mit dieser Formel kann zu jeder der folgenden Funktionen die Verdopplungszeit berechnet werden:

  • $f(t)=40\cdot e^{0,02t}$ $\rightarrow$ $T=\frac{\ln(2)}{0,02}\approx 34,66$
  • $g(t)=200\cdot e^{0,3t}$ $\rightarrow$ $T=\frac{\ln(2)}{0,3}\approx 2,31$
  • $h(t)=15\cdot e^{0,01t}$ $\rightarrow$ $T=\frac{\ln(2)}{0,01}\approx 69,31$
  • $k(t)=125\cdot e^{0,15t}$ $\rightarrow$ $T=\frac{\ln(2)}{0,15}\approx 4,62$

• Gib die Exponentialfunktion an und ermittle die Verdopplungszeit.

  Tipps

  Verwende $e^{\ln(t)}=t$.

  Es ist

  $1,1^t=e^{\ln(1,1^t)}=e^{\ln(1,1)\cdot t}$.

  Für die Verdoppelungszeit der Funktion $f(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$ kannst du die folgende Formel verwenden

  $T=\frac{\ln(2)}k$.

  Lösung

  Die Wachstumsfunktion

  $f(t)=10\cdot 1,1^t$

  hat eine andere Basis als die Euler'sche Zahl $e$. Natürlich kann auch mit einer solchen Basis die Verdopplungszeit berechnet werden. In dieser Aufgabe wird die Funktion als Exponentialfunktion mit der Basis $e$ geschrieben werden.

  Hierfür verwendet man $e^{\ln(t)}=t$, also

  $1,1^t=e^{\ln(1,1^t)}$.

  Mit Hilfe des dritten Logarithmusgesetzes ist $\ln(1,1^t)=t\cdot \ln(1,1)=\ln(1,1)\cdot t$. Somit gilt

  $1,1^t=e^{\ln(1,1)\cdot t}\approx e^{0,0953\cdot t}$.

  Nun kann die obige Funktion als eine Exponentialfunktion zur Basis $e$ geschrieben werden:

  $f(t)=10\cdot 1,1^t\approx10\cdot e^{0,0953\cdot t}$.

  Zuletzt kann noch die Halbwertzeit mit der Formel

  $T=\frac{\ln(2)}k$ berechnet werden:

  $T=\frac{\ln(2)}{0,0953}\approx 7,3$.

  Das bedeutet, dass die Gesamtfläche sich nach ungefähr sieben Jahren und vier Monaten verdoppelt hat.

• Beschreibe die Bedeutung des Parameters $k$.

  Tipps

  Für $t=0$ erhältst du

  $f(0)=a\cdot e^{k\cdot 0}=a$,

  den sogenannten Anfangswert.

  Die Zinsrechnung ist ein schönes Beispiel für einen Wachstumsprozess.

  Sei zum Beispiel

  $K(t)=1000\cdot e^{0,015\cdot t}$.

  Bei der Zinsrechnung kannst du zum Beispiel berechnen, wie lange es dauert, bis dein Kapital sich verdoppelt hat.

  Lösung

  Dies ist eine Exponentialfunktion zur Basis $e=2,718...$, der Euler'schen Zahl.

  Der Parameter $a$ ist der Funktionswert für $t=0$: $f(0)=a\cdot e^{k\cdot 0}=a$. Dieser Parameter wird oftmals als Anfangswert bezeichnet.

  Welche Bedeutung hat nun der Parameter $k$ im Exponenten?

  • Wenn $k>0$ ist, liegt eine Wachstumsfunktion vor. Diese beschreibt einen Wachstumsprozess, zu welchem eine Verdopplungszeit berechnet werden kann.
  • Wenn $k<0$ ist, liegt eine Abnahme- oder Zerfallsfunktion vor. Diese beschreibt einen Abnahme- oder Zerfallsprozess, zu welchem eine Halbwertzeit berechnet werden kann.

• Stelle die Funktionsgleichung zu dem Wachstumsprozess auf und berechne die Verdopplungszeit $T$.

  Tipps

  In der Funktion $f(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$ gibt es zwei Parameter $a$ und $k$.

  Setze die bekannten Anzahlen zu den gegebenen Zeiten ein. So erhältst du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

  Es ist $f(3)=363$ und $f(5)=541$.

  Forme eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Parameter um und setze diesen dann in der anderen Gleichung ein.

  Die Wachstumsrate beträgt ungefähr $22\%$.

  Die Verdoppelungszeit ist

  $T=\frac{\ln(2)}{k}$.

  Lösung

  Es sind die Anzahlen der Menschen bekannt, die den Witz zu zwei verschiedenen Zeiten bereits kennen:

  • $f(3)=363$: Dies führt zu der Gleichung $a\cdot e^{3k}=363$.
  • $f(5)=541$: Dies führt zu der Gleichung $a\cdot e^{5k}=541$.

  Wenn man die obere Gleichung durch $e^{3k}$ dividiert, erhält man

  $a=\frac{363}{e^{3k}}$.

  Nun kann dieses $a$ in der unteren der beiden Gleichungen eingesetzt werden:

  $\frac{363}{e^{3k}}\cdot e^{5k}=541$.

  Division durch $363$ führt zu

  $e^{2k}=\frac{541}{363}$.

  Nun kann der Logarithmus naturalis angewendet werden:

  $2k=\ln\left(\frac{541}{363}\right)$

  und durch $2$ dividiert werden:

  $k=\frac{\ln\left(\frac{541}{363}\right)}2\approx0,2$.

  Damit kann auch der Anfangswert $a$ berechnet werden:

  $a=\frac{363}{e^{3\cdot 0,2}}\approx 199$.

  Zuletzt kann die Verdopplungszeit berechnet werden:

  $T=\frac{\ln(2)}{0,2}\approx3,5$.

  Nach ungefähr dreieinhalb Tagen kennen doppelt so viele Menschen wie am Anfang den Witz.