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Eulerscher Polyedersatz

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Wolfgang Tews
Eulerscher Polyedersatz
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Eulerscher Polyedersatz

Inhalt

Was sagt der eulersche Polyedersatz? – Mathe

In diesem Text wird der eulersche Polyedersatz einfach erklärt. Dabei gehen wir zunächst auf den Begriff des Polyeders ein. Danach folgt eine Erklärung des eulerschen Polyedersatzes und die Anwendung an Beispielfiguren.

Was ist ein Polyeder? – Definition

Es gibt verschiedenste geometrische Körper. Diese werden immer von Flächen begrenzt. Dabei unterscheiden wir Körper mit ebenen Flächen von Körpern mit gekrümmten Flächen. Körper mit ebenen Flächen sind zum Beispiel Würfel, Pyramiden und Prismen. Zylinder und Kegel sind Beispiele für Körper mit gekrümmten Flächen. Die Definition für ein Polyeder lautet:

  • Ein Körper, der nur von ebenen Flächen begrenzt wird, heißt Polyeder oder Vielflächner.

Würfel, Pyramiden und Prismen sind also Beispiele für Polyeder.

Wie lautet der eulersche Polyedersatz?

Wie viele Ecken hat nun ein Polyeder? An den Beispielen wird klar, dass Polyeder sich in ihrer Anzahl an Flächen, Kanten und Ecken unterscheiden. Betrachten wir die folgenden beiden Prismen:

Prismen Polyeder Geometrie

Das linke Prisma besitzt $6$ Ecken, $5$ Flächen und $9$ Kanten. Rechnen wir nun die Anzahl der Ecken $e$ plus die Anzahl der Flächen $f$ minus die Anzahl an Kanten $k$, so erhalten wir:

$e + f - k = 6 + 5 - 9 = 2$

Wiederholen wir die gleiche Rechnung mit dem rechten Prisma. Dieses besitzt $12$ Ecken, $8$ Flächen und $18$ Kanten. Wir rechnen:

$e + f - k = 12 + 8 - 18 = 2$

Wir erhalten wieder $2$.

Leonard Euler fiel auf, dass die Anzahl der Ecken plus die Anzahl der Flächen minus die Anzahl der Kanten immer zwei ergibt. Der eulersche Polyedersatz besagt demnach:

$e + f - k = 2$
oder: $e + f = k + 2$

Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der Ecken $e$, Flächen $f$ und Kanten $k$ der fünf platonischen Körper. Wie an der Anzahl an Ecken, Flächen und Kanten erkennbar, gilt der eulersche Polyedersatz für die platonischen Körper ebenfalls.

Platonischer Körper Ecken $e$ Flächen $f$ Kanten $k$
Tetraeder
4
4
6
Würfel
8
6
12
Oktaeder
6
8
12
Dodekaeder
20
12
30
Ikosaeder
12
20
30

Aus der Geschichte des eulerschen Polyedersatzes wird deutlich, dass Euler bereits einen Beweis entwickelte. In diesem ist jedoch nach heutigem Wissen ein Fehler enthalten. Adrien-Marie Legendre veröffentlichte $1794$ den ersten strengen Beweis. Mittlerweile sind viele unterschiedliche Beweise bekannt.

Eulerscher Polyedersatz – Anwendung

Betrachten wir den eulerschen Polyedersatz an einigen Beispielen. Prüfen wir ihn zunächst an einem Würfel. Dieser besitzt 8 Ecken, 6 Flächen und 12 Kanten. Es gilt also:

$e + f - k = 8 + 6 - 12 = 2$

Für einen Würfel trifft der Satz demnach zu. Schauen wir uns als Nächstes die folgende Figur an:

Eulerscher Polyedersatz Beispiel

Diese Figur besitzt 10 Ecken, 9 Flächen und 17 Kanten. Es gilt also:

$ e + f - k = 10 + 9 - 17 = 2$

Als letztes Beispiel betrachten wir nun eine vierseitige Pyramide. Diese besitzt 5 Ecken, 5 Flächen und 8 Kanten. Auch hier gilt der eulersche Polyedersatz:

$e + f - k = 5 + 5 - 8 = 2$

Für Zylinder und Kegel trifft der eulersche Polyedersatz nicht zu, da beide gekrümmte Flächen haben. Wichtig ist, dass dieser Satz nur für Körper mit ebenen Flächen angewandt werden kann, da es sich nur bei diesen Körpern um Polyeder handelt.

Eulerscher Polyedersatz – Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zum eulerschen Polyedersatz zusammen:

  • Körper, welche nur von ebenen Flächen begrenzt sind, werden als Polyeder bezeichnet.
  • Der eulersche Polyedersatz besagt, dass die Anzahl der Ecken plus die Anzahl der Flächen minus die Anzahl der Kanten eines Polyeders immer zwei ergibt.
  • Die Formel des eulerschen Polyedersatzes lautet: $e + f - k = 2$

Zusätzlich zum Video findest du hier auf der Seite noch Übungen und Aufgaben zum eulerschen Polyedersatz.

Transkript Eulerscher Polyedersatz

Hallo! Wir wollen uns heute mit dem Eulerschen Polyedersatz beschäftigen. Was hinter diesem Satz steckt und was der mit geometrischen Körpern zu tun hat, das sollst du in diesem Video erfahren. Du solltest dazu Kenntnisse über geometrische Körper und Eigenschaften ihrer Oberfläche haben. Wir lernen heute, was ein Polyeder ist, wie ein Polyeder zu beschreiben ist, wie der Eulersche Polyedersatz lautet und Beispiele dazu kennen. Geometrische Körper kennst du sicher. Hier zeige ich dir einige Beispiele für solche Körper: ein Würfel, eine Pyramide, ein Kegel, ein Zylinder und hier zwei Prismen. Wir sehen ganz unterschiedliche Körper. Alle Körper werden durch Flächen begrenzt. Wir unterscheiden dabei Körper mit ebenen Flächen, wie Würfel, Pyramiden und Prismen, und solche mit gekrümmten Flächen, wie Kegel und Zylinder. Die Mathematiker haben nun für die Körper, die nur von ebenen Flächen begrenzt werden, den Begriff „Polyeder‟ oder den etwas sperrigen Begriff „Vielflächner‟ eingeführt. Beispiele für Polyeder sind also Würfel, Pyramide und Prisma. Bei den Polyedern fällt dir sicher auf, dass sie unterschiedliche Anzahlen von Ecken, Kanten und Flächen haben. Schauen wir uns einmal dieses Prisma an: Es hat unten drei und oben drei Ecken, also e=6 Ecken. Dann zählen wir die Flächen: unten eine, oben eine und der Rand wird aus drei Flächen gebildet. Insgesamt haben wir f=5 Flächen. Und für die Kanten gilt: k=9 Kanten. Du kannst sie nachzählen. Und nun rechnen wir mal Ecken e plus Flächen f minus Kanten k und erhalten 6+5-9=2. Nun machen wir dasselbe bei dem anderen Prisma. Wir zählen oben sechs Ecken und unten sechs Ecken, macht zusammen e=12 Ecken. Dann zählen wir als Randflächen sechs und Grund- und Deckfläche je eins, ergibt zusammen acht Flächen. Und nun brauchen wir noch die Kanten. Oben sechs, unten sechs und am Rand ebenfalls sechs, macht zusammen k=18. Nun rechnen wir wieder e+f-k=12+8-18, und das ist wieder gleich zwei. Genau dies fiel Leonhard Euler, der von 1707 bis 1783 lebte, bei seiner Beschäftigung mit Polyedern auf. Er formulierte den Zusammenhang zwischen der Zahl der Eckpunkte, Kanten und Flächen in einem Satz, der nach ihm Eulerscher Polyedersatz genannt wird: e+f-k=2, oder manchmal auch in der Form e+f=k+2. Schauen wir uns die Gültigkeit des Satzes bei einigen Beispielen an. Diese kannst du auch sicher in deiner Umgebung finden. Da ist zunächst ein einfacher Würfel, kennst du ja sicher vom Mensch-ärgere-dich-nicht. Prüfen wir die Zahl der Ecken, wir zählen e=8 und die Flächenanzahl ist f=6, da brauchen wir nicht lange nachzudenken. Und die Zahl der Kanten ist k=12. Damit ergibt sich nach dem Eulerschen Polyedersatz: e+f-k=8+6-12=2, stimmt also. Nun zu einem Haus mit einem sogenannten Walmdach. Als Eckenzahl ermitteln wir e=10, für die Flächen folgt f=9 und die Anzahl der Kanten ergibt unten vier, an den Seiten vier, oberhalb des Quaders noch einmal vier und am Dach zählen wir fünf, macht zusammen k=17. Und mit dem Polyedersatz folgt: e+f-k=10+9-17=2, stimmt also wieder. Und als letztes Beispiel sehen wir uns eine Pyramide an. Du kennst eine solche Figur sicher als die Cheops-Pyramide. Sie hat unten vier und oben eine, also e=5 Ecken. Die Flächenanzahl ist leicht als f=5 zu ermitteln. Und die Anzahl der Kanten ergibt sich zu unten vier und am Rand ebenfalls vier, macht zusammen k=8. Und nun wieder der Polyedersatz: e+f-k=5+5-8=2. Damit stimmt für die Pyramide ebenfalls der Eulersche Polyedersatz. Schau mal, ob du in deiner Umgebung noch weitere Beispiele findest. Wir fassen nun kurz zusammen, was wir heute gelernt haben: Polyeder sind geometrische Körper, die nur von ebenen Flächen f begrenzt sind sowie Ecken e und Kanten k besitzen. Der Eulersche Polyedersatz lautet: e+f-k=2 beziehungsweise e+f=k+2. Das war's für heute. Ich hoffe, dir hat es etwas Spaß gemacht und du hast alles verstanden. Bis zum nächsten Mal.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. ps. Hallo

    Von Mauricio F., vor mehr als 6 Jahren
  2. Geile Aufgaben

    Von Mauricio F., vor mehr als 6 Jahren
  3. Hallo

    Von Holobit, vor mehr als 6 Jahren
  4. danke!

    Von Minh Thanh T., vor fast 7 Jahren

Eulerscher Polyedersatz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Eulerscher Polyedersatz kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne den Eulerschen Polyedersatz.

    Tipps

    Schau dir einen Würfel an.

    • Zähle die Ecken,
    • die Flächen und
    • die Kanten.

    Beim Würfel ist $e=8$, $f=6$ und $k=12$.

    Hast du einen Karton, zum Beispiel einen Müslikarton, zur Hand? Zähle die Ecken, die Flächen und die Kanten.

    Lösung

    Der Eulersche Polyedersatz besagt, dass

    • $e+f-k=2$ oder äquivalent dazu
    • $e+f=k+2$ gilt,
    wobei
    • $e$ die Anzahl der Ecken,
    • $f$ die Anzahl der Flächen und
    • $k$ die Anzahl der Kanten des Polyeders sind.
    Also, in Worten, die Summe der Ecken- und Flächenzahl reduziert um die Kantenzahl ist immer $2$.

  • Weise den Eulerschen Polyedersatz bei verschieden Körpern nach.

    Tipps

    Der Eulersche Polyedersatz besagt, dass bei jedem Polyeder die Summer der Ecken- und Flächenzahl reduziert um die Kantenzahl immer $2$ sein muss.

    Übertrage die Schrägbilder in dein Heft und markiere die bereits gezählten Ecken, Flächen oder Kanten.

    Lösung

    Dies sind zwei Beispiele zum Eulerschen Polyedersatz, welcher besagt, dass in einem beliebigen Polyeder die Summe der Ecken- und Flächenzahl verringert um die Kantenzahl immer gleich ist, nämlich $2$.

    1. Prisma mit sechseckiger Grundfläche:

    • die Grund- und Deckfläche haben jeweils sechs Ecken, also insgesamt $e=12$,
    • Grund- und Deckfläche sind zwei Flächen, hinzu kommen sechs Seitenflächen, das sind gesamt $k=8$ und
    • sowohl die Grund- als auch Deckfläche haben sechs Kanten, zwischen jeweils zwei Seitenflächen liegt eine Kante, also auch wieder sechs. Somit ist $k=18$.
    • Es gilt $e+f-k=12+8-18=2$ $\surd$.
    2. Pyramide mit quadratischer Grundfläche:
    • die Grundfläche hat vier Ecken, dazu kommt die Spitze, also insgesamt $e=5$,
    • eine Grundfläche und vier Seitenflächen sind insgesamt $k=5$ und
    • die Grundfläche hat vier Kanten, zwischen jeweils zwei Seitenflächen liegt eine Kante, also auch wieder vier. Somit ist $k=8$.
    • Es gilt $e+f-k=5+5-8=2$ $\surd$.

  • Berechne die fehlende Anzahl an Kanten, Flächen oder Ecken.

    Tipps

    Du kannst den Eulerschen Polyedersatz nach jeder der drei Größen umstellen.

    Der Eulersche Polyedersatz besagt, dass $e+f-k=2$ gilt, wobei $e$ die Anzahl der Ecken, $f$ die Anzahl der Flächen und $k$ die Anzahl der Kanten sind.

    Lösung

    Manches Mal kann es einfacher sein,

    • die Ecken und Kanten oder
    • die Ecken und Flächen oder
    • die Flächen und Kanten zu zählen.
    Dann kann die fehlende Größe mit dem Eulerschen Polyedersatz berechnet werden, indem dieser umgestellt wird:

    Es gilt: $e+f-k=2$. Dies ist äquivalent zu

    • $e=k-f+2$ oder
    • $f=k-e+2$ oder
    • $k=e+f-2$.
    1. Ein Polyeder mit $5$ Flächen und $9$ Ecken muss demnach $k=9+5-2=12$ Kanten haben. Ein Beispiel für ein solches Polyeder ist ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche.
    2. Ein Polyeder mit $12$ Kanten und $6$ Flächen muss $f=12-6+2=8$ Ecken haben. Ein Beispiel hierfür wäre ein Quader oder ein Würfel.
    3. Ein Polyeder mit $4$ Ecken und $4$ Flächen muss $k=4+4-2=6$ Kanten haben. Ein Beispiel hierfür ist das Tetraeder, welches in dem Bild zu sehen ist.
    4. Ein Polyeder mit $10$ Ecken und $15$ Kanten hat $f=15-10+2=7$ Flächen. Ein Beispiel hierfür ist ein Prisma mit fünfeckiger Grundfläche.

  • Weise den Eulerschen Polyedersatz an dem zusammengesetzten Polyeder nach.

    Tipps

    Du könntest auch nur die Ecken und Flächen zählen und die Anzahl der Flächen mit dem Eulerschen Polyedersatz bestimmen.

    Es gilt $e+f-k=2$.

    Zähle die Ecken von unten nach oben:

    • Wie viele Ecken hat die Grundfläche?
    Es handelt sich hier um einen zusammengesetzten Körper aus
    • Pyramidenstumpf und
    • Pyramide.
    Zähle die Anzahl deren Ecken. Die Pyramide hat eine Spitze.

    Die Deckfläche des Pyramidenstumpfs, die gleichzeitig Grundfläche der oberen Pyramide ist, ist keine Fläche des Körpers.

    Lösung

    Nach dem Eulerschen Polyedersatz gilt

    $e+f-k=2$ oder $e+f=k+2$.

    Bei diesem Polyeder ist

    • die Anzahl der Ecken $e=9$,
    • die Anzahl der Flächen $f=9$ und
    • die der Kanten $k=16$.
    Nun kann der Eulersche Polyedersatz überprüft werden:

    $e+f-k=9+9-16=2$ $\surd$.

  • Bestimme die Polyeder.

    Tipps

    Polyeder werden auch Vielflächner genannt.

    Beim Polyeder sind alle begrenzenden Flächen eben und nicht gekrümmt.

    Lösung

    Der Name des Polyeders kommt aus dem Griechischen für Vielfläche. Es handelt sich also um einen geometrischen Körper, welcher nur von ebenen Flächen und nicht von gekrümmten Flächen begrenzt wird.

    Dies ist bei dem Würfel, der Pyramide und dem Prisma der Fall, allerdings nicht bei einem Kegel oder einem Zylinder.

  • Bestimme die Anzahl der Flächen, Kanten und Ecken dem zusammengesetzten Körper.

    Tipps

    Mach dir eine dreidimensionale Skizze und zähle alle (!) Ecken und Flächen. Die Kanten sind schwierig zu erkennen.

    Verwende den Eulerschen Polyedersatz, nachdem du die Ecken und Flächen gezählt hast $e+f-k=2$.

    Eine Pyramide hat fünf Ecken und besteht aus fünf Flächen. Ein Quader hat acht Ecken und besteht aus sechs Flächen. Die Denkfläche des Quaders ist geteilt und besteht aus drei Flächen.

    Lösung

    Man kann den Eulerschen Polyedersatz verwenden. Hierfür kann man die Ecken und Flächen zählen, falls dies einfacher zu sein scheint als das Zählen der Kanten:

    Ecken:

    • jede Pyramide hat $5$ Ecken, das sind gesamt $10$ Ecken,
    • der Quader hat $8$ Ecken.
    • Da die Pyramiden und der Quader keine gemeinsamen Ecken haben, gilt $e=10+8=18$.
    Flächen:
    • Quader: Die Grundfläche und die Seitenflächen sind zusammen fünf Flächen. Die Deckfläche mit den Pyramiden ist etwas kniffliger.
    • Pyramide: Eine Pyramide besteht aus vier Seitenflächen. Damit sind es zusammen acht.
    • Die Deckfläche ist durch die zwei Pyramiden in drei Flächen unterteilt worden.
    • Zusammen ergibt das dann $f=5+8+3=16$ Flächen.
    Nun kann der Polyedersatz nach Euler angewendet werden:

    $e+f=k+2$:

    $\begin{align*} 18+16&=k+2&|&-2\\ 32&=k. \end{align*}$

    Wir erhalten also insgesamt $e=18$, $f=16$ und $k=32$.

    Du kannst du die Kanten auch zählen. Das ist möglich, aber auch schwieriger als die erste Methode.

    Kanten:

    • Jede Pyramide hat $8$ Kanten. Hinzu kommen
    • die $4$ Kanten der Grundfläche und $4$ der Seitenflächen des Quaders. Die Deckfläche ist etwas komplizierter: dort befinden sich zusätzlich zu den Kanten der Pyramiden noch $8$ Kanten.
    • Gesamt sind dies: $k=16+16=32$.

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