Terme aufstellen, umformen und berechnen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist ein Term?
  • Beispiele
  • Merkhilfe
• Was sind ergebnisgleiche Terme?
• Aufstellen von Termen
  • Paul und seine Schwester
  • Der Umfang eines Rechtecks

Was ist ein Term?

Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck, in welchem

• Zahlen,
• Variablen,
• Rechenzeichen und
• Klammern vorkommen.

In einem Term kommen KEINE

• Gleichheitszeichen ($=$) oder
• Relationszeichen ($>$, $\ge$, $<$, $\le$) vor.

Was bedeutet „sinnvoll“? Wenn du für die Variablen Zahlen einsetzt, kannst du den Wert des Terms berechnen.

Beispiele

• Eine Zahl oder eine Variable können durchaus alleine stehen. Sie sind dann auch ein Term, z.B. $x$ oder $5$. Ein Rechenzeichen allein ist kein Term.
• Du kannst ein Rechenzeichen auch als Vorzeichen, zum Beispiel $-3$ für eine negative Zahl, verwenden. Auch dies ist ein Term.
• Umgekehrt, also $3-$, liegt kein Term vor.
• $x+1$ ist ein Term. Er besteht aus der Variablen $x$, dem Rechenzeichen $+$ und der Zahl $1$. Wenn du zum Beispiel für $x=3$ einsetzt, erhältst du $3+1=4$.
• Terme können auch durchaus etwas umfangreicher sein: $3x\cdot (5-y)+(2+x)\cdot(-x+3)$ ist auch ein Term.
• Übrigens: $3x$ ist die abkürzende Schreibweise für $3\cdot x$. Da hier klar ist, dass multipliziert werden muss, lässt man häufig das $\cdot$-Zeichen weg. Dies darfst du allerdings nicht bei einem Produkt von Zahlen machen: $2\cdot 4\neq 24$.

Merkhilfe

In der folgenden Abbildung siehst du, wie „Term-Plätzchen“ gebacken werden. Auf der rechten Seite wurde sich scheinbar nicht an das Rezept gehalten, was du unten im Bild erkennen kannst.

Was sind ergebnisgleiche Terme?

Man spricht von ergebnisgleichen Termen, wenn die Terme, egal welche Werte für die Variablen eingesetzt werden, immer das gleiche Ergebnis haben.

Ergebnisgleiche Terme sind:

• $x+0$ und $x$, da die Addition von $0$ nichts an einem Term ändert. Du schreibst dann $x+0=x$.
• Auch $x+1$ und $1+x$ sind ergebnisgleich. Du weißt sicher, dass du beim Addieren die Reihenfolge der Summanden vertauschen darfst. Das bezeichnet man als das Kommutativgesetz der Addition. Auch hier schreibst du $x+1=1+x$.
• $3-x$ und $2-x+1$ sind ergebnisgleich, da die beiden Zahlen im rechten Term zu $3$ addiert werden können.

Nicht ergebnisgleich sind die folgenden Terme:

• $x-1$ und $1-x$, denn bei der Subtraktion darfst du Reihenfolge nicht vertauschen. Nehmen wir einmal an, die beiden Terme wären ergebnisgleich, dann kannst du für $x$ eine beliebige Zahl einsetzen und beide Terme haben den gleichen Wert. Probieren wir das doch einmal aus und setzen für $x=3$ ein: $3-1=2$ aber $1-3=-2$. Du siehst, die Ergebnisse stimmen nicht überein.
• $2x+2$ und $3x$ sind auch nicht ergebnisgleich. Zwar gilt für $x=2$, dass der linke Term $2\cdot 2+2=6$ und auch der rechte Term $3\cdot 2=6$ ergibt, jedoch sind die Ergebnisse für alle anderen Werte für $x$ nicht gleich. Zum Beispiel für $x=3$ ist $2\cdot 3+2=8$, aber $3\cdot 3=9$.

Aufstellen von Termen

Nachdem du nun weißt, was ein Term ist, lernst du nun, wie du einen solchen Term aufstellen kannst.

Das Aufstellen von Termen kannst du dir so vorstellen: Du hast eine Gegebenheit, welche du mit Hilfe von Zahlen und Variablen sowie Rechenzeichen und vielleicht auch Klammern darstellen sollst, ... also als Term.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Paul und seine Schwester

Paul ist $3$ Jahre älter als seine Schwester.

• Da das Alter von Pauls Schwester nicht bekannt ist, verwendest du die Variable $x$. Du hättest auch einen anderen Buchstaben verwenden können.
• Was bedeutet es nun, dass Paul $3$ Jahre älter ist als seine Schwester? Du musst zu dem Alter der Schwester, also $x$, die $3$ addieren.
• So kommst du zu dem Term $x+3$.

Wenn du nun das Alter von Pauls Schwester kennst, zum Beispiel $5$ Jahre, kannst du für $x=5$ einsetzen und erhältst für den Term den Wert $5+3=8$. Also ist Paul dann $8$ Jahre alt.

Der Umfang eines Rechtecks

Bei einem Rechteck ist bekannt, dass die längere Seite doppelt so lang ist wie die kürzere. Wir verwenden für die Länge der kürzeren Seite die Variable $x$.

Zunächst überlegen wir uns, was es bedeutet, dass die längere Seite doppelt so lang ist wie die kürzere. „Doppelt so lange“ entspricht der Multiplikation mit $2$. Also kann dies durch den Term $2x$ dargestellt werden.

Sowohl die Variable $x$ selbst als auch $2x$ sind jeweils Terme.

Den Umfang des Rechtecks kannst du nun so berechnen:

• Du gehst einmal die Seite der Länge $x$ entlang und dann die Seite der Länge $2x$. Wie weit bist du bereits gegangen? Richtig: $x+2x$. Auch dies ist ein Term.
• Gehe nun noch einmal die Seite der Länge $x$. So erhältst du den Term $x+2x+x$.
• Zuletzt gehst du die Seite der Länge $2x$ entlang.
• Zusammen beträgt der Umfang also $x+2x+x+2x$. Dies ist ebenfalls ein Term.

Wenn du zu einem $x$ zwei weitere $x$ dazutust und dann noch ein $x$ und noch einmal zwei $x$, dann sind das zusammen $6x$. Nun hast du wieder einen Term gefunden.

Die beiden Terme $x+2x+x+2x$ und $6x$ sind ergebnisgleich: $x+2x+x+2x=6x$.

Du kannst für $x$ jeden beliebigen Wert einsetzen. Du erhältst immer das gleiche Ergebnis. Wir probieren das einmal für einige Werte:

• Für $x=4$ erhältst du $4+2\cdot4+4+2\cdot 4=24=6\cdot 4$.
• Für $x=12$ erhältst du $12+2\cdot12+12+2\cdot 12=72=6\cdot 12$.
• Für $x=5$ erhältst du $5+2\cdot5+5+2\cdot 5=30=6\cdot 5$.
• ...

Die Ergebnisgleichheit kannst du natürlich nicht durch Einsetzen nachweisen, dafür müsstest du unendlich viele Werte für $x$ einsetzen. Zum Nachweis formst du den Term wie folgt um.

$\begin{array}{rclcl} x+2x+x+2x&=&6x \\ 3x+x+2x&=&6x \\ 4x+2x&=&6x \\ 6x&=&6x&&|\div 6 \\ x&=&x \end{array}$

Damit ist die Ergebnisgleicheit der Terme eindeutig bewiesen.