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Spiegelung, Drehung und Translation

Spiegelung, Drehung, zentrische Streckung, Projektion, orthogonale Matrix

Abbildungen in der Ebene und im Raum

Mit Matrizen kannst du verschiedene Zusammenhänge in der Mathematik beschreiben. Wir betrachten im Folgenden lineare Abbildungen in der Ebene ($\mathbb{R}^{2}$) sowie im Raum ($\mathbb{R}^{3}$). Um von einer linearen Abbildung $f$ sprechen zu können, müssen Bedingungen erfüllt sein. Für Vektoren $\vec x$ sowie $\vec y$ aus dem betreffenden Vektorraum sowie eine Zahl $k\in\mathbb{R}$ muss gelten:

  • $f\left(\vec x+\vec y\right)=f\left(\vec x\right)+f\left(\vec y\right)$
  • $f\left(k\cdot \vec x\right)=k\cdot f\left(\vec x\right)$

Insbesondere gilt dann:

  • Für $f:~\mathbb{R}^{2}~\rightarrow~\mathbb{R}^{2}$ existiert eine $(2\times 2)$-Matrix $A$, so dass $f\left(\vec x\right)=A\cdot \vec x$ ist,
  • und für $f:~\mathbb{R}^{3}~\rightarrow~\mathbb{R}^{3}$ existiert eine $(3\times 3)$-Matrix $A$, so dass $f\left(\vec x\right)=A\cdot \vec x$ ist.

Nun schauen wir uns einzelne lineare Abbildungen an. Dabei beschränken wir uns auf Abbildungen $f:~\mathbb{R}^{2}~\rightarrow~\mathbb{R}^{2}$. Die resultierenden Matrizen sehen für den $\mathbb{R}^{3}$ ähnlich aus.

Kongruenzabbildungen

Unter Kongruenzabbildungen versteht man solche Abbildungen, bei denen eine geometrische Figur und deren Bildfigur zueinander kongruent (deckungsgleich) sind.

Spiegelung

Du kannst Punkte oder andere beliebige geometrische Figuren durch Spiegelung, zum Beispiel an den Koordinatenachsen oder -ebenen in andere Punkte oder geometrische Figuren abbilden. Betrachte den Punkt $P(3|4)$ im zweidimensionalen Koordinatensystem. Durch Spiegelung an der $x$-Achse erhältst du den Bildpunkt $P'(3|{-4})$. Du siehst, die $y$-Koordinate hat nun ein umgekehrtes Vorzeichen. Die zugehörige Spiegelungsmatrix $A$ ist gegeben durch:

$A=\begin{pmatrix} 1&0 \\\ 0&-1 \end{pmatrix}$

Drehung

Möchtest du ein geometrisches Element drehen, benötigst du ein Drehzentrum sowie einen Drehwinkel $\alpha$. Auch eine solche Drehung kannst du mit Hilfe einer Matrix, der sogenannten Drehmatrix, angeben. Im Folgenden sei der Koordinatenursprung das Drehzentrum:

$A=\begin{pmatrix} \cos(\alpha)&-\sin(\alpha) \\\ \sin(\alpha)&\cos(\alpha) \end{pmatrix}$

Hier siehst du eine Drehung im zwiedimensionalen Koordinatensystem:

1185_Drehung.jpg

Orthogonale Matrizen

Die oben angegebenen Matrizen sind orthogonale Matrizen: Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren paarweise orthonormal zueinander sind.

Nun müssen wir natürlich noch klären, was orthonormal bedeutet.

  • In diesem Wort steckt zum einen ortho: Das bedeutet, dass die Vektoren paarweise senkrecht zueinander sein müssen.
  • Zum anderen kommt normal darin vor: Die Vektoren müssen jeweils normiert sein, das bedeutet, dass sie die Länge $1$ haben.

Jede lineare Abbildung, deren Abbildungsmatrix eine orthogonale Matrix ist, ist eine Kongruenzabbildung.

Eine weitere Kongruenzabbildung ist die Parallelverschiebung.

Weitere lineare Abbildungen

Die nun folgenden linearen Abbildungen sind keine Kongruenzabbildungen.

Zentrische Streckung

Für eine zentrische Streckung benötigst du ein Streckzentrum sowie einen Streckfaktor $k$.

Übrigens: Da bei einer linearen Abbildung insbesondere für den Koordinatenursprung gilt, dass dieser immer auf sich selbst abgebildet wird, ist das Streckzentrum der Koordinatenursprung. Aus diesem Grund ist auch das Drehzentrum bei der Drehung der Koordinatenursprung.

Die zugehörige Matrix sieht dann so aus:

$A=\begin{pmatrix} k&0 \\\ 0&k \end{pmatrix}$

Das blaue Viereck $ABCD$ wird gestreckt. So entsteht das grüne Bildviereck $A'B'C'D'$:

1185_Streckung.jpg

Wenn zum Beispiel $k=-1$ ist, erhältst du die Spiegelung am Koordinatenursprung oder auch eine Drehung um $180^\circ$.

Projektion

Du kannst Projektionen auf Koordinatenachsen oder Koordinatenebenen durchführen. Wenn du den Punkt $P(3|4)$ auf die $x$-Achse projizierst, erhältst du den Bildpunkt $P'(3|0)$.

Dies erreichst du durch die Projektionsmatrix:

$A=\begin{pmatrix} 1&0 \\\ 0&0 \end{pmatrix}$

Orthogonale Affinitäten

Zu guter Letzt betrachten wir noch orthogonale Affinitäten: Eine orthogonale Affinität ist eine senkrechte Achsenstreckung. Dabei wird ein Punkt $P(x|y)$ auf $P(x'|y')$ abgebildet. Betrachte zum Beispiel die orthogonale Affinität zur $x$-Achse: $P(3|4)~\rightarrow~P'(3|2\cdot 4)=P'(3|8)$.

Die zugehörige Abbildungsmatrix sieht dann so aus:

$A=\begin{pmatrix} 1&0 \\\ 0&2 \end{pmatrix}$ oder allgemein $A=\begin{pmatrix} 1&0 \\\ 0&k \end{pmatrix}$