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Kugelgleichungen und gegenseitige Lage Punkt-Kugel

Vektorgleichung, Koordinatengleichung, 4 Punkte, Punktprobe, relative Lage eines Punktes zu einer Kugel

Eine Kugel: Verschiedene Darstellungen

Vielleicht weißt du bereits, dass du für einen Kreis einen Mittelpunkt $M$ sowie einen Radius $r$ benötigst. Auf dem Kreis, genauer dem Kreisrand, befinden sich alle Punkte $P$, die zum Mittelpunkt den Abstand $r$ haben.

Nun ist eine Kugel im dreidimensionalen Raum nichts anderes, als ein Kreis im zweidimensionalen Raum. Doch wie kann nun der Abstand zwischen dem Kugelmittelpunkt und einem Punkt auf dem Kugelrand berechnet werden?

Im Folgenden sei $\vec{m}$ der Ortsvektor des Mittelpunktes $M\left(m_{1}|m_{2}|m_{3}\right)$ einer Kugel und $\vec{x}$ der Ortsvektor eines beliebigen Punktes $P\left(x_{1}|x_{2}|x_{3}\right)$ auf dem Kugelrand. Der Abstand von $M$ und $P$ ist dann wie folgt gegeben:

$\sqrt{\left(\vec{x}-\vec{m}\right)^{2}}$

Damit kann die folgende Beziehung für den Kugelradius $r$ aufgestellt werden:

$K: \sqrt{\left(\vec{x}-\vec{m}\right)^{2}}=r$

Wenn du diese Gleichung auf beiden Seiten quadrierst, gelangst du zu der vektoriellen Kugelgleichung:

$K: \left(\vec{x}-\vec{m}\right)^{2}=r^{2}$

Schließlich kannst du das Skalarprodukt des Vektors $\vec{x}-\vec{m}$ mit sich selbst noch ausrechnen. Dieser Rechenschritt führt zu der sogenannten Koordinatengleichung der Kugel:

$K: \left(x_1-m_1\right)^{2}+\left(x_2-m_2\right)^{2}+\left(x_3-m_3\right)^{2}=r^{2}$

Bestimmung einer Kugelgleichung

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Kugelgleichung herzuleiten. Diese richten sich jeweils nach den gegebenen Ausgangsgrößen. Man unterscheidet dabei die folgenden beiden Varianten:

  • Mittelpunkt und Radius
  • Mittelpunkt und Punkt auf dem Kreisrand

Gegeben: Mittelpunkt $M$ und Radius $r$

Sei $M(2|2|4)$ und $r=3$ gegeben, so erhältst du die folgende Kugelgleichung:

$\left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\right)^{2}=9$

  • Bildest du das Skalarprodukt, so erhältst du die Gleichung $\left(x_{1}-2\right)^{2}+\left(x_{2}-2\right)^{2}+\left(x_{3}-4\right)^{2}=9$.
  • Hier hilft dir die 2. binomische Formel weiter: $x_{1}^{2}-4x_{1}+4+x_{2}^{2}-4x_{2}+4+x_{3}^{2}-8x_{3}+16=9$
  • Dies kannst du noch weiter umformen zu $x_{1}^{2}-4x_{1}+x_{2}^{2}-4x_{2}+x_{3}^{2}-8x_{3}=-15$.

Umgekehrt kannst du durch quadratische Ergänzung dieser Gleichung zum einen überprüfen, ob es sich tatsächlich um eine Kugelgleichung handelt, und zum anderen, wie der Mittelpunkt und der Radius gegeben sind.

Gegeben: Mittelpunkt $M$ und Punkt $P$ auf dem Kugelrand

Berechne den Radius als den Abstand der beiden Punkte. Hierfür verwendest du die Abstandsberechung zweier Punkte im Raum. Nun kannst du mit dem Mittelpunkt sowie dem Radius die Kugelgleichung angeben.

Gegeben: Punkte auf dem Kugelrand

Wie viele Punkte auf dem Rand der Kugel musst du mindestens kennen, um eine Kugelgleichung aufstellen zu können? Wir können uns ja langsam herantasten:

  • Ein Punkt reicht sicher nicht. Es sei denn, es handelt sich um den Mittelpunkt und du kennst den Radius. Hier betrachten wir aber nur Punkte auf dem Kugelrand, also kann es nicht der Kugelmittelpunkt sein.
  • Zwei Punkte auf dem Kreisrand sind zu wenig, um einen Kreis zu beschreiben. Sie können also auch nicht für eine Kugel reichen.
  • Drei Punkte benötigst du mindestens, um einen Kreis eindeutig zu beschreiben. Die Punkte müssen ein Dreieck bilden. Der gesuchte Kreis ist dann der Umkreis dieses Dreiecks. Genügen drei Punkte ebenfalls für die Beschreibung einer Kugel? Stelle dir Folgendes vor: Du hast einen Kreis aus einer Holzplatte ausgesägt. Gibt es nur eine Kugel, in welche dieser Kreis hineinpasst? Nein! Es gibt unendlich viele solcher Kugeln. Dieser Kreis würde nämlich in alle Kugeln passen, deren Radien größer oder gleich dem Kreisradius sind. Ist der Kugelradius gleich dem Kreisradius, so handelt es sich hierbei um den größtmöglichen Kreis auf der Kugeloberfläche. Andernfalls handelt es sich um einen Kreis auf der Kugeloberfläche, dessen Ebene nicht den Kugelmittelpunkt enthält.
  • Vier Punkte musst du mindestens kennen, um eine Kugel eindeutig beschreiben zu können. Dabei müssen drei der vier Punkte ein Dreieck bilden und der vierte Punkt darf nicht in der gleichen Ebene liegen wie das Dreieck.

So, das wäre geschafft.

Kennst du nun vier Punkte, so kannst du deren Koordinaten jeweils für $x_{1}$, $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatengleichung einsetzen. Du erhältst dann für jeden Punkt je eine Gleichung, also insgesamt $4$ Gleichungen und $4$ Unbekannte, nämlich $m_{1}$, $m_{2}$ und $m_{3}$ sowie den Radius $r$. Dieses Gleichungssystem kannst du nun lösen.

Die relative Lage eines Punktes zu einer Kugel

Um die relative Lage eines Punktes zu einer Kugel zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:

  1. Berechne den Abstand $d$ des Punktes zu dem Mittelpunkt $M$ der Kugel.
  2. Vergleiche nun diesen Abstand mit dem Radius $r$. Man unterscheidet die folgenden $3$ Fälle:

1178_relative_Lage_Punkt_Kugel.jpg

  • $d\gt r$: Der Punkt (hier $A$) liegt außerhalb der Kugel.
  • $d=r$: Der Punkt (hier $B$) liegt auf dem Kugelrand.
  • $d\lt r$: Der Punkt (hier $C$) liegt innerhalb der Kugel.

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