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Inkreis und Umkreis von Dreiecken konstruieren

Inkreis, Umkreis, Radius, Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Höhen, Seitenhalbierende, Schwerpunkt

Dreiecke: Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Hier siehst du ein Dreieck.

3032_Dreieck_allgemein.jpg

Jedes Dreieck hat

  • drei Seiten. Zu jeder der Seiten gehört eine Mittelsenkrechte.
  • drei Winkel. Der Strahl (die Halbgerade), welcher einen solchen Winkel halbiert, wird Winkelhalbierende genannt.

Mit den Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden eines Dreiecks kannst du dessen Umkreis und Inkreis konstruieren.

Konstruktion des Umkreises eines Dreiecks

Zur Konstruktion des Umkreises eines Dreiecks benötigst du die drei Mittelsenkrechten dieses Dreiecks.

Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist eine Gerade. Diese Gerade steht zum einen senkrecht zu dieser Strecke und verläuft zum anderen durch deren Mittelpunkt. Das bedeutet insbesondere, dass jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten zu den beiden Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand besitzt.

Hier siehst du im Überblick die einzelnen Schritte bei der Konstruktion einer Mittelsenkrechten.

3015_Dreieck_Mittelsenkrechte-GIF5sec.gif

Wenn du genau hinschaust, kannst du sehen, dass die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks sich in einem Punkt schneiden. Das ist immer so. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks. Insbesondere kannst du so auch den Mittelpunkt zwischen drei Orten ermitteln.

Wie gehst du nun Schritt für Schritt vor?

  1. Zeichne um zwei Eckpunkte eines Dreiecks jeweils einen Kreis mit dem gleichen Radius. Dieser muss allerdings größer sein als die Hälfte der Länge der Strecke, welche die beiden Punkte verbindet.
  2. So erhältst du zwei Kreise, welche sich in zwei Punkten schneiden.
  3. Verbinde diese beiden Punkte. Du erhältst eine Gerade. Diese schneidet die Seite des Dreiecks in ihrem Mittelpunkt und steht senkrecht zu dieser Seite.

Du hast also eine Mittelsenkrechte gefunden. Ebenso konstruierst du die Mittelsenkrechten der beiden verbleibenden Seiten.

3029_Mittelsenkrechte_5.jpg

Warum ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten tatsächlich der Mittelpunkt des Umkreises?

Wie oben bereits beschrieben, hat jeder Punkt auf einer Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten der Strecke. Somit ist schließlich der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks von jedem der drei Eckpunkte dieses Dreiecks gleich weit entfernt.

Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass jeder Eckpunkt des Dreiecks auf einem Kreis um den Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten liegt. Der Radius dieses Kreises ist gerade der gemeinsame Abstand.

Fast fertig: Du zeichnest nun einen Kreis um den gefunden Schnittpunkt. Der Radius ist der gemeinsame Abstand. Dieser Kreis ist der Umkreis des Dreiecks.

Konstruktion des Inkreises eines Dreiecks

Zur Konstruktion des Inkreises eines Dreiecks benötigst du die drei Winkelhalbierenden dieses Dreiecks.

Eine Winkelhalbierende ist ein Strahl, welcher von einem Scheitelpunkt $S$ ausgeht und den Winkel, welcher in diesem Scheitelpunkt von zwei Schenkeln eingeschlossen wird, halbiert. Insbesondere hat die Winkelhalbierende zu beiden Schenkeln den gleichen Abstand.

Die Konstruktion einer Winkelhalbierenden siehst du hier am Beispiel eines Dreiecks:

3015_Dreieck_Mittel-GIF5sec.gif

Du kannst erkennen, dass die drei Winkelhalbierenden sich in einem Punkt schneiden. Dies ist, ebenso wie bei den Mittelsenkrechten, bei jedem Dreieck so. Da der Schnittpunkt schließlich zu allen drei Seiten den gleichen Abstand besitzt, ist er der Mittelpunkt des Inkreises dieses Dreiecks. Dieser berührt nämlich jede Seite des Dreiecks. Deshalb ist die Konstruktion der Winkelhalbierenden so wichtig.

Wir schauen uns nun die Konstruktion einer Winkelhalbierenden Schritt für Schritt an:

  1. Zeichne um einen Eckpunkt bzw. Scheitelpunkt einen Kreis. Der Radius dieses Kreises muss kleiner sein als die kürzere der beiden Längen der Seiten, welche an dem Punkt anliegen. So erhältst du einen Kreis, welcher jede der beiden Seiten je in einem Punkt schneidet.
  2. Konstruiere jetzt, wie bei der Mittelsenkrechten, den Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten.
  3. Verbinde schließlich den Scheitelpunkt mit diesem Mittelpunkt.

Du hast damit die Winkelhalbierende des Winkels $\alpha$ konstruiert. Gehe bei den beiden anderen Winkeln genauso vor.

Zuletzt zeichnest du einen Kreis um den Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Der Radius dieses Kreises ist gerade der gemeinsame Abstand des Schnittpunktes zu den drei Dreiecksseiten. Fertig ist der Inkreis des Dreiecks.

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Inkreis und Umkreis von Dreiecken konstruieren (1 Arbeitsblatt)