Trigonometrie – Anwendungsaufgaben

Sinus, Cosinus und Tangens

In rechtwinkligen Dreiecken haben die Seiten folgende Bezeichnungen:

Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Aus dem Einheitskreis können drei trigonometrische Formeln abgeleitet werden.

$\begin{array}{lllcllr} \sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} &&& \cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} &&& \tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \end{array}$

Diese werden in Sachzusammenhängen eingesetzt, um Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu bestimmen.

Anwendungsaufgaben

Beispiel 1: Freiheitsstatue

Die Höhe $h$ der Freiheitsstatue soll bestimmt werden, wenn der Sichttwinkel $\alpha = 10,5^\circ$ und der Abstand zum Ufer $a = 500\ \text{m}$ bekannt sind.

Es geht hier also um eine Höhenmessung aus der Entfernung. Da die Hypotenuse unbekannt und auch nicht von Belang ist, wird mit dem Tangens gerechnet:

$\begin{array}{llll} \tan(10,5^\circ) &=& \frac{h}{500\ \text{m}} & \vert \cdot 500\ \text{m}\\ 92,67\ \text{m} &=& h & \end{array}$

Beispiel 2: Turm

Auch hier soll eine Höhe bestimmt werden. Die Turmhöhe kann aber erst berechnet werden, wenn man zunächst Länge $a$ über die Tangensformel bestimmt:

$\begin{array}{llll} \tan(32^\circ) &=& \frac{a}{50\ \text{m}} &\vert \cdot 50\ \text{m} \\ 31,24\ \text{m} &=& a &\\ \end{array}$

Schließlich berechnet sich die gesuchte Turmhöhe wie folgt:

$h = 31,24\ \text{m} + 1,80\ \text{m} = 33,04\ \text{m}$

Beispiel 3: Höhe im gleichseitigen Dreieck

Die Dreieckshöhe $g$ kann mit allen drei Formeln bestimmt werden, da sowohl alle Winkel ($\alpha=60^\circ $) als auch alle Seiten ($a$) bekannt sind.

Hier soll gezeigt werden, dass mit allen drei Formeln gerechnet werden kann und diese dasselbe Ergebnis für $g$ liefern:

$\begin{array}{llll} \sin(60^\circ) &=& \frac{g}{a} & \\ 0,866 &=& \frac{g}{a} & \vert \cdot a\\ 0,866\cdot a &=& g & \end{array}$

$\begin{array}{llll} \cos(30^\circ) &=& \frac{g}{a} & \\ 0,866 &=& \frac{g}{a} & \vert \cdot a \\ 0,866\cdot a &=& g & \end{array}$

$\begin{array}{llll} \tan(60^\circ) &=& \frac{g}{\frac{a}{2}} & \\ 1,73 &=& g\cdot \frac{2}{a} & \vert \cdot a \\ 1,73\cdot a &=& 2g & \vert : 2 \\ 0,866\cdot a &=& g & \end{array}$