Halleffekt – technische Anwendungen

Hallo, hier ist wieder Doktor Psi. Unser heutiges Thema ist der Hall-Effekt und einige seiner Anwendungen. Du erinnerst dich sicher an den Hall-Effekt und wie er funktioniert. Hier ist noch einmal eine Animation, mit deren Hilfe wir den Effekt kurz wiederholen. Eine dünne Metallfolie der Breite b enthält als Ladungsträger Elektronen, die sich zunächst regellos bewegen. Wird der Quader an einer Spannungsquelle angeschlossen, so fließt ein Gleichstrom I. Die Elektronen fließen natürlich als negative Ladungsträger in Richtung Pluspol. Nun wird ein Magnetfeld der Stärke B so eingeschaltet, dass die Feldrichtung senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen verläuft. Infolge der Bewegung der Elektronen im Magnetfeld wirkt auf diese die Lorentz-Kraft, Vektor FL, und wenden wir jetzt die Drei-Finger-Regel der linken Hand an, so ergibt sich Folgendes: Die Elektronen werden nach unten abgelenkt, dort unten sammeln sich somit Elektronen, am oberen Rand häufen sich entsprechend positive Ladungen an. Und bei der dargestellten Anordnung misst man zwischen den gegenüberliegenden Randpunkten der Folie die Hall-Spannung U mit dem Index H, und zwar mit der angegebenen Polarität. Nun wollen wir die Spannung, und zwar die Hall-Spannung, einmal theoretisch bestimmen. Wir haben ja die Ladungstrennung in unserer Animation gesehen. Wir haben oben in unserem Quader eine Plusanordnung von positiven Ladungsträgern und unten finden wir die Elektronen. Zwischen diesen beiden Ladungsarten bildet sich ein elektrisches Feld aus; wir sehen das in der Zeichnung, in der Abbildung, als Vektor E. Dieser Vektor E zeigt von der positiven Anhäufung von Ladungen zu der negativen Anhäufung von Ladungen. Wenn wir jetzt dieses elektrische Feld betrachten, dann können wir die Feldstärke als Betrag notieren mit E Index H, für Hall-Effekt, gleich der Spannung UH geteilt durch b, wobei b die Breite unseres Quaders ist. Nun bewegen sich ja die Elektronen in diesem Feld und einmal greift an, nehmen wir mal ein Elektron heraus, einmal greift die Lorentz-Kraft an, nach unten, und einmal greift die Kraft des elektrischen Feldes an, und diese zeigt in unserem Fall nach oben; und wenn wir einen Gleichgewichtszustand haben, dann müssen die beiden Feldvektoren gleich sein. Also muss gelten Vektor FL, für Lorentz-Kraft, ist gleich minus Vektor der elektrischen Kraft, die nach oben zeigt. Für die Beträge gilt in diesem Fall, dass die Beträge gleich groß sein müssen. Also muss gelten FL=Felektrisch. Ja, nun müssen wir wieder ein paar Formeln uns vergegenwärtigen. Die Lorentz-Kraft finden wir wieder in einer Formelsammlung, diese Lorenz-Kraft können wir notieren als E, für Elementarladung, mal v,Geschwindigkeit der Elektronen, mal Feldstärke des Magnetfeldes. Die elektrische Kraft ist e mal EH, und das haben wir ja gerade hier notiert, das ist gleich UH/b. Ja, nun können wir mal diese beiden Terme hier betrachten und uns die Formeln anschauen. Hier haben wir noch vergessen, dass ein e da zu stehen hat. Wenn wir das hier einander gleichsetzen und nach UH auflösen, gewinnen wir die Formel für die Hall-Spannung: UH gleich, e kürzt sich weg, es bleibt übrig v, das b kommt auf die andere Seite, mal B. Das ist unsere erste wichtige Formel und die wollen wir auch mal übernehmen als Merkformel: UH=vbB. Ja, nun haben wir schon einiges erreicht. Die Hall-Spannung hängt also mit dem Magnetfeld direkt proportional zusammen, die Breite b unseres Quaders ist auch leicht aus geometrischen Gründen abzumessen, aber hier kommt die Größe v drin vor. Und diese Geschwindigkeit, die hängt von mehreren anderen Größen in unserem Quader - wir können auch diesen Quader als Hall-Sonde bezeichnen, wir werden später noch darauf zurückkommen - von bestimmten Größen ab und wir wollen uns genau dieser Geschwindigkeit der Ladungsträger etwas intensiver widmen und dafür versuchen, eine Formel abzuleiten, die diese Geschwindigkeit in dieser Formel ersetzt. Das wollen wir in unserem nächsten Schritt tun. Ja, wir haben hier noch einmal unsere Formel für die Hall-Spannung notiert: UH=1neIdB. Wir führen jetzt für diesen Term 1ne eine neue Größe ein, das ist die Hall-Konstante R mit dem Index H, sei gleich 1ne. Und wenn wir das da einsetzen, na klar, erhalten wir als Endformel für unseren Hall-Effekt die Hall-Spannung UH ist gleich RH mal I/d mal Magnetfeldstärke B. Das ist unsere wichtige Formel, die übernehmen wir mal hier auf unsere Seite: UH=RHIdB, mit der Hall-Konstanten RH=1ne. Ja, und wenn wir uns diese Formel angucken, stellen wir fest - und uns interessieren natürlich die Anwendungen des Hall-Effektes - wenn diese Größe RH bekannt ist, dann kann man aus Stromstärke und Dicke unserer Folie und der Messung der Hall-Spannung die Magnetfeldstärke bestimmen, und zwar auf eine relativ einfache Art und Weise. Um mal eine Vorstellung von der Größe der Hall-Konstante zu geben, seien mal drei Werte genannt: Als erstes ist R mit dem Index H von Kupfer gleich -5,310-11 m³ durch Coulomb, RH von Cadmium ist gleich 6,010-11 m³/C und für den Halbleiter Indiumarsenid ist RH = -1,010-4 m³/C. Du siehst schon, die Werte für Metall und Halbleiter unterscheiden sich um eine Größenordnung von 6, das spiegelt sich natürlich hier wieder. Je größer der Wert von RH ist, desto größer ist die Hall-Spannung, die man bei diesen Größen, wenn sie denn konstant blieben, messen kann. Auf noch etwas möchte ich aufmerksam machen: Wir sehen ja hier unterschiedliche Vorzeichen und diese Vorzeichen geben uns eine weitere Anwendung des Hall-Effekts, nämlich die Art des Ladungsträgers kann bestimmt werden. Wir haben ja von unserer Animation noch vielleicht im Kopf, dass wir die Hall-Spannung dort ablesen können; und wenn wir jetzt mit einem geeigneten Material, von dem wir wissen, welche Ladungsträger dort fließen, wie zum Beispiel bei Kupfer, sagen, der Ausschlag unseres Spannungsmessgerätes ist nach einer Seite - wir nennen dann diesen, oder können diesen Ausschlag mit einem Minuszeichen versehen - wenn wir dann einen anderen Stoff nehmen, wie zum Beispiel Cadmium, dort haben wir positive Ladungsträger als Träger des elektrischen Stroms, dann schlägt das Messgerät zur anderen Seite aus, dann haben wir ein positives Zeichen und haben damit die Möglichkeit, die Art der Ladungsträger zu bestimmen. Also können wir in etwa mal notieren, was wir bisher an Anwendungen des Hall-Effektes haben - muss hier noch mal kurz korrigieren - Anwendungen unseres Hall-Effektes: Was hatten wir eben, gut, Vorzeichenbestimmung der Ladungsträger; dann hatten wir die Ladungsträgerdichte - gucken wir nochmal auf unsere Formel, wenn das Magnetfeld bekannt ist, die Stromstärke und d hier ist eine Konstante und die Hall-Spannung gemessen wird, können wir hier rüber die Ladungsdichte bestimmen - ja, und dann eines der wichtigsten Anwendungen, die Bestimmung des Magnetfelds bei konstanter und bekannter Hall-Konstante und einer Messung von Stromspannung und der Dicke, das liefert uns das Magnetfeld in einer relativ einfachen Form. Aber zu diesem Letzten möchte ich noch ein paar Dinge sagen: Wenn wir die Magnetfeldstärke bestimmen und die Hall-Spannung messen, dann steht ja an keiner Stelle irgendwo, dass das Magnetfeld sich ändern muss. Nein, die Hall-Spannung wird gemessen, wenn das Magnetfeld ganz normal konstant da ist, zum Beispiel bei einem Permanentmagneten. Dies eröffnet eine Reihe von Anwendungsmöglichkeiten; also beispielsweise in der Autoindustrie, du kennst sicherlich den Sicherheitsgurt, dort könnte man einen kontaktlosen Schalter einbauen, indem man ein Magnetfeld dort einbaut, man bringt den Gurt in das Schloss, dann wird eine Hall-Spannung erzeugt, die löst einen Impuls aus und signalisiert dem Auto "Hallo, Sicherheitsgurt ist eingerastet". Das wäre eine Variante. Eine andere Variante ist noch die, wenn wir schon ein Magnetfeld, ein konstantes zum Beispiel, haben und wir haben ein rotierendes Teil und wir bringen an diesem rotierenden Teil eine Hall-Sonde an; und wenn diese Hall-Sonde an dem, meinetwegen an dem Pol eines Permanentmagneten, vorbei sich dreht, wird ein Spannungsimpuls ausgelöst, der sich wiederholt, wenn eine Drehung vollendet ist. Damit kann man also zum Beispiel die Drehzahl bestimmen; im Auto findet man einen Drehzahlmesser. Und über weitere geometrische Daten kann man letzten Endes einen Geschwindigkeitsmesser, einen Tachometer, bauen. Also, es gibt eine Menge Anwendungen, die letzten Endes mit dieser Magnetfeldstärke zusammenhängen und natürlich der Entstehung einer Hall-Spannung. Ja, damit wären wir am Ende unseres Themas und wir können nochmal ganz knapp zusammenfassen, was eigentlich in diesem Video abgelaufen ist: Wir haben mit recht einfachen Methoden, Kenntnis von elektrischem Feld und der Lorentz-Kraft, die Grundformel der Hall-Spannung als Formel bB hergeleitet, sind dann über eine eher mikroskopische Betrachtung unserer Hall-Sonde auf diese Formel hier gekommen mit der Ladungsträgerdichte und der Stromstärke dividiert durch die Dicke unserer Folie multipliziert mit der Magnetfeldstärke B. Dann haben wir für diesen Term 1n*e eine neue Konstante definiert, das ist die Hall-Konstante, die wir uns für verschiedene Werte mal angeschaut haben, und als Endformel haben wir dann diese wichtige Formel hergeleitet; und aus dieser Betrachtung der Formel folgen einige Anwendungen, wir haben natürlich nicht alle hier aufzählen können, einige Anwendungen der Hall-Spannung, der Messung der Hall-Spannung, und insgesamt des Hall-Effektes abgeleitet. Ja, das war wieder mal ein Video von Doktor Psi. Ich hoffe, wir sehen uns bald wieder, und ich hoffe vor allen Dingen, du hast alles verstanden. Auf Wiedersehen!