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Zyklotron

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Die Autor*innen
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Jakob Köbner
Zyklotron
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Zyklotron Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zyklotron kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere, was ein Zyklotron ist.

    Tipps

    Die Bahn der Teilchen verändert sich mit jedem Umlauf im Zyklotron.

    Es liegt eine Ionenquelle in der Mitte des Zyklotrons vor.

    Die Bewegung entsteht durch die Lorentz-Kraft.

    Lösung

    Das „Zyklotron" ist ein Kreisbeschleuniger, in dem Ionen wiederholt beschleunigt und durch ein Magnetfeld auf einer spiralen Bahn gehalten werden.

    Dass Zyklotron besteht aus den zwei „Duanten", an welche eine Wechselspannung angelegt wird. Zusätzlich sind die beiden Duanten von einem Magnetfeld durchsetzt. In der Mitte des Zyklotrons, zwischen den Duanten, befindet sich eine Ionenquelle. Hier kommen die geladenen Teilchen her.

    Es liegt hier also ein Magnetfeld und ein Strom (bewegte Ladung) vor. Als Resultat wirkt eine Kraft: die Lorentzkraft. Von dieser Kraft beschleunigt bewegen sich die Teilchen von der Ionenquelle ausgehend auf immer größer werdenden Kreisbahnen spiralförmig nach außen. So entsteht ein gerichteter Ionenstrahl, der zum Beispiel für medizinische Zwecke (Strahlentherapie) Anwendung findet.

  • Bestimme die zutreffenden Aussagen.

    Tipps

    $ f = \frac {1}{T} $

    Liegt die Spannung in der falschen Frequenz vor, bremst die Lorentzkraft, anstatt zu beschleunigen.

    $ v_{n} = \sqrt{\frac{2 \cdot Q \cdot n \cdot U_B}{m}} $

    Lösung

    Im Zyklotron finden wir eine Vielzahl von physikalischen Einflussgrößen. Zum einen müssen wir den Aufbau des Zyklotrons beachten, zum anderen die Eigenschaften der anliegenden Spannung und der beschleunigten eingebrachten Ionen. Das verhält sich so wie bei einem Katapult. Hier müssen wir ebenfalls die Eigenschaften des Wurfgeschosses (Masse, Luftwiderstand) und die Geometrie des Katapultes (Höhe, Schwungmasse) betrachten, um eine Vorhersage über Wurfweite und kinetische Energie machen zu können.

    Fangen wir mit der Umlaufdauer an : Diese gehorcht der Formel $ T = \frac{2 \cdot \pi \cdot m }{Q B} $. Also ist $ T $ eine Funktion von Masse $m$ , Ladung $Q$ und Magnetfeld $B$.

    Damit eine Beschleunigung der Ionen überhaupt stattfinden kann, muss die Umlaufdauer an die Frequenz der Wechselspannung angepasst werden. Sonst würde die Lorentzkraft in die falsche Richtung wirken und die Ionen ausbremsen. Die Frequenz $ f $ der Wechselspannung folgt dabei der Formel $ f = \frac {1}{T} $. Diese muss dem Kehrwert der Umlaufdauer entsprechen.

    Durch den Ansatz $ W_{el} = W_{kin} $ erhalten wir die Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit der beschleunigten Ionen : $ v_{n} = \sqrt{\frac{2 \cdot Q \cdot n \cdot U_B}{m}} $ . Hier siehst du, dass die Geschwindigkeit $v$ mit der Wurzel der Umläufe steigt. Sie nimmt also mit jedem Umlauf im Zyklotron immer weiter zu, aber um immer geringer werdende Beträge. Die Größen $m$,$Q$ und $U_B$ sind hier konstant.

    Erreicht die Geschwindigkeit ein Zehntel der Lichtgeschwindigkeit, so treten relativistische Effekte auf, die wir berücksichtigen müssen. Dazu nutzen wir die Formel $ m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c}}} $, wobei $m_0$ die Ausgangsmasse des betrachteten Teilchens ist, $c$ die Lichtgeschwindigkeit und $v$ die momentane Geschwindigkeit.

  • Bewerte die Aussagen.

    Tipps

    $ F_Z = F_L $

    $ r = \frac{m \cdot v^2}{Q \cdot v \cdot B}$

    $ T = \frac{2 \pi r}{\omega r v } $

    Lösung

    Um die Bahn eines Teilchens um die Ionenquelle des Zyklotrons zu beschreiben, bedienen wir uns eines einfachen Ansatzes :

    $ F_Z = F_L $.

    Die Lorentzkraft soll also genau der Zentripetalkraft entsprechen.

    Umgeformt nach dem Radius $r$ erhalten wir:

    $ r = \frac{m \cdot v^2}{Q \cdot v \cdot B}$.

    Der Radius ist also abhängig von Masse $m$ , Bahngeschwindigkeit $v$, Ladung $Q$ und Magnetfeld $B$.

    Hier sehen wir bereits, dass der Radius **direkt proportional zu $m$ und $v$ und umgekehrt proportional zu $ Q$ und B$ ist.

    Die Umlaufdauer stellen wir mit $ T = \frac{2 \pi r}{\omega r v } $ dar. ( mit $ f = \frac{1}{T}$ folgt also $ f = \frac{\omega r v }{2 \pi r} $ )

    Hier siehst du, dass die Umlaufdauer $T$ umgekehrt proportional von der Winkel- $\omega$ und der Bahngeschwindigkeit $v$ abhängt. (Umgekehrt gilt dieser Zusammenhang für $f$ )

  • Berechne die anzulegende Frequenz der Wechselspannung.

    Tipps

    Die Lorentzkraft muss in Bewegungsrichtung wirken.

    Frequenz und Umlaufdauer stehen in einem wohldefinierten Verhältnis.

    $ f =\frac {1}{T} $

    Lösung

    Frequenz und Schwingung stehen in einem festdefinierten Verhältnis: Die Frequenz entspricht genau dem Kehrwert der Umlaufdauer $ f = \frac{1}{T} $. Damit die Umlaufdauer des beschleunigten Ions mit der Polung der Wechselspannung übereinstimmt, muss also die Frequenz angepasst sein. (Der Grund dafür ist, dass die Lorentzkraft immer in Beschleunigungsrichtung wirken muss, damit das Ion nicht gebremst wird.)

    Wir müssen also die Richtung der Lorentzkraft auf die Bewegungsrichtung der Teilchen abstimmen. (Die Richtung der Lorentzkraft hängt ja von der Richtung des Stromes ab, also der Polung der Spannung.)

    Wie bereits erklärt, funktioniert das mithilfe der Frequenz der Wechselspannung.

    Ein Beispiel :

    ** Die Umlaufdauer betrage $ T = 0,01s $. Bilden wir den Kehrwert, ergibt sich nach $ f =\frac {1}{T} = \frac{1}{0,01s} = 100 s^{-1} = 100 Hz $. Die passende Frequenz beträgt hier 100 Hertz. **

  • Benenne den Entwickler des Zyklotrons.

    Tipps

    Der Erfinder ist ein US-Amerikaner.

    Er wirkte an der Entwicklung der Atombombe mit.

    Das 103. Element des Periodensystems ist nach ihm benannt.

    Lösung

    Der Erfinder des Zyklotrons ist der US-amerikanische Atomphysiker Ernest Lawrence. Er erhielt für die Entwicklung des Zyklotrons und die damit erzielten Ergebnisse im Jahre 1939 den Physik-Nobelpreis.

    Außerdem wurde das Element Lawrencium, welches an Stelle 103 des Periodensystems zu finden ist, nach ihm benannt.

    Er arbeitete maßgeblich an der Erfindung der ersten Atombombe während des Zweiten Weltkriegs mit.

    Heute wird das Zyklotron weniger für die Erzeugung künstlicher Elemente verwendet (man hat mittlerweile bessere Technik dafür entwickelt), dafür umso mehr in der Medizin bei der Strahlentherapie.

  • Errechne die relativistische Masse.

    Tipps

    $c = 299792458 \frac{m}{s} $

    Relativistische Effekte treten erst auf, wenn ein Teilchen auf eine Geschwindigkeit von $v_t = 0,1 \cdot c $ beschleunigt wurde.

    Lösung

    Die relativistische Masse errechnet sich nach der Formel $ m_{rel} = \frac{m_0}{ \sqrt {1- \frac{v^2}{c}}}$ . Darin ist $m_0$ die Masse des ruhenden Teilchens, $v2$ die Geschwindigkeit des beschleunigten Teilchen und $c$ die Lichtgeschwindigkeit mit $c = 299792458 \frac{m}{s} $.

    Ganz wichtig ist es, die Massen in $kg$ und die Geschwindigkeiten in $ \frac{m}{s} $ anzugeben. Sonst entstehen Rechenfehler aufgrund der falschen Einheiten.

    Relativistische Effekte treten erst auf, wenn ein Teilchen auf eine Geschwindigkeit von $v_t = 0,1 \cdot c $ beschleunigt wurde. Bei kleineren Geschwindigkeiten sind diese Effekte sehr klein.

    Mit diesen Angaben zur relativistischen Masse konntest du Albert hoffentlich weiterhelfen !

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