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Das Volumen

Was ist Volumen in der Physik? Das Volumen beschreibt den Raum, den ein Objekt einnimmt. Es wird durch die Platzbeanspruchung definiert. Wenn du mehr über Volumen erfahren möchtest und wie es berechnet wird, dann bist du hier genau richtig! All das und noch mehr ist im folgenden Text zu finden.

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Team Digital
Das Volumen
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Grundlagen zum Thema Das Volumen

Was ist das Volumen aus Sicht der Physik?

Das Volumen ist eine räumliche Eigenschaft und basiert auf der Länge. Jeder Körper besitzt ein Volumen. Aber was genau ist das Volumen? Im folgenden Text schauen wir uns genauer an, was das Volumen ist und wie man in der Physik das Volumen berechnet.

Volumen – Definition

Der Begriff Volumen kommt aus dem Lateinischen und kann mit räumliche Ausdehnung übersetzt werden. Die physikalische Definition des Volumens lautet:

  • Das Volumen ist die räumliche Ausdehnung von Gegenständen und Objekten. Es gibt deren Platzbedarf an.

Das Formelzeichen für das Volumen ist ein $V$. Das Volumen hat die SI-Einheit Kubikmeter $(\pu{m^{3})}$, wird bei Flüssigkeiten jedoch häufig in Litern $(\ell)$ angegeben. Dabei entspricht ein Kubikmeter $1 000$ Litern.

Nimmt ein Gegenstand mehr Raum ein, so besitzt er ein größeres Volumen. Die Erde hat zum Beispiel ein größeres Volumen als ein Hochhaus. Dieses wiederum hat ein größeres Volumen als ein Mensch. Aus dem Alltag kennt man das Volumen unter anderem als Angabe für Flüssigkeiten. So wird die Menge an Wasser, die in eine Trinkflasche passt, als Volumen in $\ell$ angegeben. Gleiches gilt für die Menge an Milch, die man zum Backen eines Kuchens benötigt.

Volumen – physikalische Einheiten umrechnen

Neben den Standardeinheiten (Kubikmeter und Liter) bietet es sich manchmal an, die Einheiten Kubikdezimeter $(\pu{dm^{3}})$, Kubikzentimeter $(\pu{cm^{3}})$ und Kubikmillimeter $(\pu{mm^{3}})$ zu wählen. Die Einheiten kannst du mit den folgenden Faktoren umrechnen:

$1\,\pu{m^{3}} = 1\,000\,\pu{dm^{3}} = 1\,000\,000\,\pu{cm^{3}} = 1\,000\,000\,000\,\pu{mm^{3}}$
$1\,\pu{dm^{3}} = 1\,000\,\pu{cm^{3}} = 1\,000\,000\,\pu{mm^{3}}$
$1\,\pu{cm^{3}} = 1\,000\,\pu{mm^{3}}$

Statt der Einheit Liter kann man auch die Einheit Milliliter $(\pu{ml})$ verwenden. Dabei gilt:

$1\,\ell = 1\,000\,\pu{ml}$

Es gibt noch deutlich mehr verwendete Einheiten für das Volumen. Dies sind jedoch die am häufigsten verwendeten.

Wie misst man in der Physik das Volumen?

Um das Volumen zu messen, gibt es verschiedene Methoden. Im Folgenden schauen wir uns zwei verschiedene Methoden an. Hierbei wird nicht direkt das Volumen des Körpers gemessen, sondern die Menge an Wasser, die er verdrängt. Das wiederum entspricht dem Volumen des Körpers. Schauen wir uns beide Methoden genauer an, indem wir das Volumen eines Gummibärchens herausfinden wollen.

Differenzmethode
Hierfür wird ein Messbecher mit Wasser gefüllt. Das Volumen des Wassers lässt sich am Messbecher ablesen. Nun muss das Gummibärchen vollständig ins Wasser getaucht werden. Dabei verdrängt es einen Teil des Wassers. Das am Messbecher angezeigte Volumen steigt an. Lesen wir dieses Volumen ab und subtrahieren dann das vorher gemessene Volumen, so erhalten wir das Volumen des Gummibärchens.

Messgerät Volumen Physik

Überflussmethode
Für diese Methode benötigen wir ein Gefäß, das am oberen Ende ein Röhrchen besitzt, das in einen zweiten Messbecher führt. Das Gefäß muss nun randvoll mit Wasser gefüllt werden. Legen wir das Gummibärchen vollständig ins Wasser, so verdrängt dieses wieder Flüssigkeit. Dieses verdrängte Wasser fließt über das Röhrchen in den zweiten Messbecher. Dort können wir das Volumen des übergelaufenen Wassers ablesen. Dieses entspricht dem Volumen des Gummibärchens.

Überlaufmethode Physik

Wie berechnet man in der Physik das Volumen?

Sind Körper regelmäßig geformt, so lässt sich deren Volumen nicht nur messen, sondern auch berechnen. Dabei ist es wichtig, die Kantenlängen der Körper auszumessen. Je nach Form des Körpers gibt es Formeln, um das Volumen zu berechnen.

Beim Würfel sind alle Kantenlängen gleich lang. Die Länge der Kanten bezeichnen wir als $a$. Das Volumen eines Würfels lässt sich berechnen mit:

$V_W = a \cdot a \cdot a$

Da die Kanten beim Quader verschieden lang sind, müssen wir die Länge $a$, die Breite $b$ und die Höhe $c$ messen und multiplizieren. Hier gilt:

$V_Q = a \cdot b \cdot c$

Die Formeln zur Berechnung des Volumens weiterer geometrischer Körper findest du in der Formelsammlung.

Das Volumen kann jedoch auch mithilfe der Dichte $\rho$ und der Masse $m$ berechnet werden. Sind beide Größen gegeben, so können wir das Volumen berechnen mit:

$V =\frac{m}{\rho}$

Volumen von Körpern in der Physik – Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zum Thema Volumen zusammen.

  • Jeder Körper hat ein Volumen.
  • Das Volumen gibt die räumliche Ausdehnung von Körpern an.
  • Es hat das Formelzeichen $V$ und die SI-Einheit $\pu{m^{3}}$.
  • Das Volumen kann mithilfe der Differenz- oder Überflussmethode gemessen werden.
  • Berechnet werden kann das Volumen von regelmäßigen Körpern oder mithilfe der Masse und Dichte eines Körpers.

Zusätzlich zum Text und dem Video gibt es hier auf der Seite Übungen und Arbeitsblätter mit Aufgaben zum Thema Volumen berechnen in der Physik.

Transkript Das Volumen

Das ist Nolan, Majas besserwisserischer kleiner Bruder. Er behauptet, in seinen Murmelwürfel passen zehntausend Murmeln und der Würfel wird dann so schwer, dass er ihn nicht mehr anheben kann. Nolan hat natürlich keine zehntausend Murmeln, kann also viel behaupten. Aber den kleinen Angeber einfach damit durchkommen lassen, geht auch nicht. Es geht bei dem Problem ja um den Raumbedarf von zehntausend Murmeln und den Raum, den der Würfel zu bieten hat. Kurz gesagt: um “Das Volumen”. Das Volumen eines Körpers gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt, wie groß also sein Raumbedarf ist. Das Formelzeichen für das Volumen ist ein großes V. Bei festen und flüssigen Körpern ist das eine nahezu unveränderliche Größe, Gase nehmen hingegen das Volumen ihres Aufbewahrungsgefäßes an. Zurück zum Murmelproblem. Wie bestimmt man überhaupt das Volumen einer Kugel oder eines Würfels? Wie viel Rauminhalt ein gegebener Würfel hat, können wir austesten. Mit einem kleineren Würfel. Wir schauen mal, wie viele Würfel der "Kantenlänge ein Zentimeter" in einen Würfel der "Kantenlänge zehn Zentimeter" passen. Wir fangen mit einer Reihe unten an. In diese passen zehn von den kleinen Würfeln. In die nächste Reihe dahinter passen wieder zehn Würfel. Die untere Lage füllen wir auf diese Weise mit zehn mal zehn Würfeln, also einhundert Würfeln. Um den ganzen, großen Würfel zu füllen, brauchen wir zehn dieser Lagen, also "zehn mal zehn mal zehn" Würfel, also eintausend kleine Würfel. Der Rauminhalt des großen Würfels entspricht also eintausend kleinen Würfeln. Wir haben die Anzahl der kleinen Würfel in der Länge mit der Anzahl der kleinen Würfel in der Breite mit der Anzahl der kleinen Würfel in der Höhe multipliziert. Für das Volumen des Würfels gilt offensichtlich: Volumen gleich Länge mal Breite mal Höhe. Und da alle diese drei Größen gleich groß sind, nämlich gleich der KANTENLÄNGE a, ist V gleich a hoch drei. Nun gibt man ja das Volumen nicht in “kleinen Würfeln” an, sondern in einer Volumeneinheit. Unser kleiner Modellwürfel STEHT schon für eine Volumeneinheit. Sein Volumen ist V gleich ein Zentimeter hoch drei, gleich ein Kubikzentimeter. Kubik ist die Vorsilbe, die man für "hoch drei" benutzt. Unser großer Würfel steht für eine andere Volumeneinheit. Zehn Zentimeter sind ein Dezimeter. Das Volumen des Würfels mit der Länge ein Dezimeter ist ein Kubikdezimeter. Für Kubikdezimeter kennst du noch einen anderen Namen: Liter. Damit haben wir gleichzeitig noch einen anderen Zusammenhang kennengelernt. Ein tausendstel Liter ist ein Milliliter. Und das ist offenbar derselbe Rauminhalt wie ein Kubikzentimeter. Schauen wir uns noch eine letzte Einheit an, den Kubikmeter. Ein Kubikmeter sind eintausend Kubikdezimeter also eintausend Liter, Das sind eine MILLION Kubikzentimeter. Wow. Das ist viel. Vielleicht ist Nolan ja doch kein Angeber. Betrachten wir Nolans Murmelwürfel. Er hat eine Seitenlänge von vierzig Zentimetern. Sein Volumen beträgt also "vierzig Zentimeter mal vierzig Zentimeter mal vierzig Zentimeter", also "vierzig Zentimeter in Klammern hoch drei".Das sind vierundsechzigtausend KUBIKzentimeter. Kann das stimmen? Ja. Es passen tatsächlich vierundsechzigtausend Würfelchen "mit dem Volumen ein Kubikzentimeter" hinein! Jetzt müssen wir nur noch herausbekommen, welches Volumen so eine Murmel von Nolan hat. Der Durchmesser einer Murmel beträgt zwei Zentimeter. Wäre die Murmel ein Würfel, dann wäre dies also ihre Kantenlänge a. Ihr Volumen wäre dann acht Kubikzentimeter. Nun ist eine Kugel kein Würfel, aber sie passt hinein in einen Würfel mit ihrem Durchmesser als Kantenlänge. Mit dem Würfelvolumen könnten wir also abschätzen, wie viele Murmeln mindestens in den Murmelwürfel passen, indem wir das Volumen des Murmelwürfels durch das Volumen einer würfelförmigen Murmel teilen. Es sieht so aus, als ob Nolan Recht haben könnte. Und wie bestimmen wir nun das exakte Volumen? Wir könnten die Formel nachschauen. Aber wir können auch ein Experiment machen. Die sogenannte Verdrängungsmethode. Du benötigst einen Messzylinder, der breit genug ist, dass die Murmel hineinpasst, und der eine Skala besitzt. Fülle ihn so hoch mit Wasser, dass die Kugel ganz untergehen kann, und markiere den Wasserstand. Dann lass die Murmel ins Wasser. Du wirst feststellen, dass der Wasserspiegel steigt. Die Murmel verdrängt Wasser – und zwar genau die Menge, die ihrem Volumen entspricht. Du musst also nur den neuen Wasserstand markieren und den Unterschied der beiden Wasserstände berechnen. Wir lesen ab: Wasserstand unten: zehn Milliliter Wasserstand oben: vierzehn komma zwei Milliliter. Das Volumen der Kugel ist also V gleich vier komma zwei Milliliter. Was ist das in Kubikzentimetern? Mach ruhig nochmal eine Pause. Genau: Vier komma zwei Milliliter sind vier komma zwei Kubikzentimeter. Erstaunlich, dass das Volumen einer Kugel nur ein bisschen mehr als halb so groß ist wie das Volumen des Würfels, in den sie gerade reinpasst! Jetzt können wir ausrechnen, wie viele Murmeln in den Murmelwürfel passen würden, wenn man sie OHNE Zwischenräume reinbekäme, was natürlich NICHT geht. Wir dividieren dazu das Murmelwürfelvolumen durch das Murmelvolumen. Das bedeutet wohl, dass Nolan tatsächlich recht haben könnte! Achttausend Murmeln würden reinpassen, wenn die Murmeln Würfel wären, "fünfzehntausend zweihundertachtunddreißig", wenn man die Murmeln ohne Zwischenräume verstauen könnte, wenn sie also zum Beispiel aus Knete wären. FUN FACT: Weil die Murmeln verrutschen und Lücken füllen, passen TATSÄCHLICH ungefähr ZEHNTAUSEND Murmeln in einen solchen Würfel! Jetzt noch kurz zur Frage, wie schwer der mit zehntausend Murmeln gefüllte Würfel wohl wäre. Eine Murmel hat eine Masse von vier Gramm. Zehntausend mal vier Gramm sind vierzigtausend Gramm oder vierzig Kilogramm. Damit könnte Nolan wirklich an seine Grenzen kommen. Und wir kommen zur Zusammenfassung. Wir können das Volumen eines beliebigen Würfels der Kantenlänge a bestimmen, indem wir zählen, wie viele kleine Würfel eines bekannten Volumens, zum Beispiel eines Kubikzentimeters, in ihn hineinpassen. Berechnen können wir das Volumen mit der Formel Volumen gleich Kantenlänge hoch drei. Andere Volumen können wir mit der Verdrängungsmethode bestimmen. Das Volumen des verdrängten Wassers entspricht dem Volumen des verdrängenden Körpers. Sag mal, Nolan, wie viele Kubikzentimeter sind denn jetzt ein Liter?

1 Kommentar
1 Kommentar
  1. Toll

    Von Marius, vor etwa einem Jahr

Das Volumen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Das Volumen kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere das Volumen.

    Tipps

    Das Volumen ist eine räumliche Eigenschaft und basiert auf der Länge, Breite und Höhe eines Körpers. Jeder Körper besitzt ein Volumen.

    Das Volumen ist die räumliche Ausdehnung von Gegenständen und Objekten. Es gibt deren Platzbedarf an.

    Man sagt beispielsweise, ein Glas Wasser hat ein Fassungsvermögen von $200~\text{cm}^3$.

    Lösung

    Das Volumen ist eine räumliche Eigenschaft und basiert auf der Länge, Breite und Höhe eines Körpers. Jeder Körper besitzt ein Volumen. Das Volumen ist die räumliche Ausdehnung von Gegenständen und Objekten. Es gibt deren Platzbedarf an.

    Das Volumen eines Körpers gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt, also wie groß sein Raumbedarf ist. Das Formelzeichen für das Volumen ist ein großes $V$. Bei festen und flüssigen Körpern ist das eine nahezu unveränderliche Größe – Gase nehmen hingegen das Volumen ihres Aufbewahrungsgefäßes an.
    Das Volumen gibt man immer mit „Kubik-“ an. Das ist die Vorsilbe, die man für „hoch drei“ nutzt. Ein Würfel hat zum Beispiel ein Volumen von $3~\text{cm}^3$.

  • Wandle in die gegebene Einheit um.

    Tipps

    Mithilfe der Umrechnungstabelle kannst du ganz einfach in verschiedene Einheiten umrechnen. Du siehst zum Beispiel, dass man von $\text{m}^3$ zu $\ell$ mit $1\,000$ multiplizieren muss.

    $1~\text{m}^3=1\,000~\ell$

    Lösung

    Mithilfe der Umrechnungstabelle kannst du ganz einfach in verschiedene Einheiten umrechnen. Du siehst zum Beispiel, dass man von $\text{m}^3$ zu $\ell$ mit $1\,000$ multiplizieren muss.

    $1~\text{dm}=\color{#99CC00}{10}\color{black}~\text{cm}$

    $\color{#99CC00}{1}\color{black}~\text{m}\ell=1~\text{cm}^3$

    $1~\text{dm}^3=1~\ell=\color{#99CC00}{1\,000}\color{black}~\text{cm}^3$

    $1~\text{m}^3=10~\text{dm}^3=1\,000~\text{dm}^3=\color{#99CC00}{1\,000}\color{black}~\ell$

  • Berechne das Volumen der Kugel.

    Tipps

    Das Volumen mithilfe der Verdrängungsmethode kannst du mit folgender Formel bestimmen:

    $V_{Kugel}=V_{oben}-V_{unten}$

    Wir setzen in die Formel ein:

    $V_{Kugel}=16{,}4~\text{m}\ell - 13~\text{m}\ell$

    Es gilt:

    $1~\text{m}\ell=1~\text{cm}^3$

    Lösung

    Das Volumen mithilfe der Verdrängungsmethode können wir mit folgender Formel bestimmen:

    $V_{Kugel}=V_{oben}-V_{unten}$

    Dies ist in der Aufgabe gegeben:

    • Wasserstand unten: $V_{unten} =13~\text{m}\ell$
    • Wasserstand oben: $v_{oben} = 16{,}4~\text{m}\ell$

    Wir setzen in die Formel ein:

    $V_{Kugel}=16{,}4~\text{m}\ell-13~\text{m}\ell$

    Dann berechnen wir:

    $V_{Kugel}=3{,}4~\text{m}\ell$

    $V_{Kugel}=3{,}4~\text{cm}^3$

    Das Volumen der Kugel beträgt also $\color{#99CC00}{3{,}4~\text{cm}^3}$.

  • Berechne, wie viele Murmeln in den Würfel passen.

    Tipps

    Das Volumen eines Würfels mit einer Seitenlänge $a$ berechnet man mit $V=a^3$.

    Das Volumen der Murmel mithilfe der Verdrängungsmethode können wir mit folgender Formel bestimmen:

    $V_{Murmel}=V_{oben}-V_{unten}$

    Um auszurechnen, wie viele Murmeln in den Murmelwürfel passen würden, wenn man sie ohne Zwischenräume reinbekäme, dividierst du das Murmelwürfelvolumen durch das Murmelvolumen.

    Lösung

    Das Volumen eines Würfels mit der Seitenlänge $a$ berechnet man mit $V=a^3$. Das bedeutet, dass man die Seitenlänge $a$ dreimal mit sich selbst multipliziert. Anders ausgedrückt:

    $V=a\cdot a\cdot a$

    Die Seitenlänge der Kiste beträgt $a= 25~\text{cm}$. Wir müssen hier also nun die $25$ dreimal mit sich selbst malnehmen:

    $V=25~\text{cm}\cdot25~\text{cm}\cdot25~\text{cm}=15\,625~\text{cm}^3$

    Das Volumen des Würfels beträgt also $15\,625~\text{cm}^3$.

    Mithilfe der Verdrängungsmethode können wir das Volumen der Murmel mit folgender Formel bestimmen:

    $V_{Murmel}=V_{oben}-V_{unten}$

    Dies ist in der Aufgabe gegeben:

    • Wasserstand unten: $V_{unten} = 10{,}5~\text{cm}^3$
    • Wasserstand oben: $V_{oben}=15{,}5~\text{cm}^3$

    Wir setzen in die Formel ein:

    $V_{Murmel}=15{,}5~\text{cm}^3-10{,}5~\text{cm}^3$

    Dann berechnen wir:

    $V_{Murmel}=5~\text{cm}^3$

    Das Volumen der Murmel beträgt also $5~\text{cm}^3$.

    Jetzt können wir ausrechnen, wie viele Murmeln in den Murmelwürfel passen würden, wenn man sie ohne Zwischenräume reinbekäme, was natürlich nicht geht. Wir dividieren dazu das Murmelwürfelvolumen durch das Murmelvolumen:

    $15\,625~\text{cm}^3:5~\text{cm}^3=3\,125$

    In der Kiste hätten somit $\color{#99CC00}{3\,125}$ Murmeln Platz.

  • Berechne das Volumen der Kiste.

    Tipps

    Das Volumen eines Würfels berechnet man mit $V=a^3$. Dabei ist $a$ die Seitenlänge des Würfels.

    Das bedeutet, man multipliziert die Seitenlänge $a$ dreimal mit sich selbst. Anders ausgedrückt:

    $V=a\cdot a\cdot a$

    Die Seitenlänge der Kiste beträgt $40~\text{cm}$. Du musst hier also nun die $40$ dreimal mit sich selbst malnehmen.

    Lösung

    Das Volumen eines Würfels berechnet man mit $V=a^3$. Dabei ist $a$ die Seitenlänge des Würfels.
    Das bedeutet, man multipliziert die Seitenlänge $a$ dreimal mit sich selbst. Anders ausgedrückt:

    $V=a\cdot a\cdot a$

    Die Seitenlänge der Kiste beträgt $40~\text{cm}$. Wir müssen hier also nun die $40$ dreimal mit sich selbst malnehmen:

    • $V=40~\text{cm}\cdot40~\text{cm}\cdot40~\text{cm}=64\,000~\text{cm}^3$
    $\Rightarrow$ Diese Antwort ist also richtig.


    • $V=4~\text{cm}\cdot4~\text{cm}\cdot4~\text{cm}=64~\text{cm}^3$
    • $V=400~\text{cm}\cdot400~\text{cm}\cdot400~\text{cm}=64\,000\,000~\text{cm}^3$
    • $V=40~\text{cm}\cdot20~\text{cm}\cdot40~\text{cm}=32\,000~\text{cm}^3$
    $\Rightarrow$ Diese Antworten sind also falsch.

  • Entscheide, welches Transportmittel geeignet ist.

    Tipps

    In der Aufgabe soll entschieden werden, welches Transportmittel nötig ist, um die größte Goldkugel zu transportieren. Du musst hier also nur das Volumen der größten Goldkugel berechnen.

    In der Aufgabe hast du den Durchmesser $d$ der Goldkugel gegeben. Der Radius $r$ ist genau die Hälfte des Durchmessers $d$.

    $r=20~\text{cm}:2=10~\text{cm}$

    Also kannst du in die Formel einsetzen:

    $V=\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (10~\text{cm})^3$

    Lösung

    Um das Volumen der größten Goldkugel bestimmen zu können, nutzen wir die Volumenformel für Kugeln:

    $V=\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3$

    In der Aufgabe haben wir den Durchmesser der Goldkugel gegeben. Der Radius ist genau die Hälfte des Durchmessers und beträgt somit:

    $r=20~\text{cm}:2=10~\text{cm}$

    Also können wir in die Formel einsetzen:

    $V=\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (10~\text{cm})^3$

    Wir berechnen:

    $V\approx4\,188{,}79~\text{cm}^3$

    Die Robuste Schatztruhe kann Kugeln mit einem Volumen von bis zu $6\,000~\text{cm}^3$ transportieren. Darum ist sie das geeignetste Transportmittel.