Aufgaben zum Magnetfeld in einer langen Spule

Aufgaben zum Magnetfeld in einer langen Spule Übung

• Gib die Formel zur Berechnung des Magnetfeldes in einer langen Spule an.

  Tipps

  Wird die Länge der Spule vergrößert, so verringert sich die Stärke des Magnetfeldes.

  Die Magnetfeldstärke steht in proportionalem Zusammenhang zu Stromstärke und Windungszahl.

  Der Wert für $\mu_r$ ist eine Materialkonstante und beträgt für Luft in etwa $\mu_r = 1$.

  Lösung

  Hier siehst du die Formel zur Berechnung der Magnetfeldstärke in einer langen Spule.

  Diese ist abhängig von mehreren Parametern, die wir nun genauer erklären wollen. Die gesuchte Größe ist $B$, die Stärke des Magnetfeldes wird in $T$ (Tesla) angegeben. Zur Bestimmung von $B$ benötigen wir zunächst die magnetische Feldkonstante $\mu_0 = 1,257 \cdot 10^{-6} \frac{Am}{T}$. Der Einfluss des Materials im Kern der Spule wird mit dem Parameter $\mu_r$ berücksichtigt. $\mu_r$ ist also eine Materialkonstante. Für den Fall, dass kein Wert für das Material angegeben ist, kannst du immer von $\mu_r = 1$ ausgehen. Dieser Wert stimmt in etwa für Luft oder im Vakuum.

  Die Geometrie der Spule ist von wichtiger Bedeutung für die Berechnung der magnetischen Feldstärke. Die Anzahl der Windungen $N$ der Spule beeinflusst die Stärke des Magnetfeldes. Es gilt: je höher die Anzahl der Windungen, desto stärker das magnetische Feld. Der gleiche Zusammenhang gilt auch für die Stromstärke in der Spule $I$.

  Die Länge der Spule $l$ steht im Nenner. Somit wird das Magnetfeld dann groß, wenn die Spule relativ kurz ist.

  Mit diesen Erklärungen kannst du die folgenden Aufgaben sicher leicht bearbeiten. Viel Spaß dabei.

• Bestimme die angelegte Spannung $U$.

  Tipps

  $ U = R \cdot I$

  $B = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{N \cdot I}{l}$

  $I = \frac{B \cdot l}{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot N}$

  Lösung

  In dieser Aufgabe soll die Spannung ermittelt werden, die an einer Spule mit Ohm'schen Widerstand $ R = 50 \Omega$ angelegt werden muss, damit ein Magnetfeld von $B=15 mT$ entsteht.

  Bekannt ist die Geometrie der Spule mit $ l = 0,06 m$ und $N= 900$. Da wir den Zusammenhang zwischen Strom $I$, Spannung $U$ und Widerstand $R$ untersuchen wollen, ist die Formel $ U = R \cdot I$ hier sehr hilfreich. Wir kennen bereits $R$. $U$ ist die gesuchte Zielgröße.

  Aus der Formel zur Berechnung der Magnetfeldstärke können wir nun die Stromstärke ableiten und diese in einem zweiten Schritt in $ U = R \cdot I$ einsetzen, um unser Ergebnis zu erhalten.

  Es gilt: $B = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{N \cdot I}{l} \to I = \frac{B \cdot l}{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot N}$.

  Setzen wir die Werte aus der Aufgabenstellung ein, so ergibt sich: $I = \frac{15 \cdot 10^{-3} \cdot 0,06}{1,257 \cdot 10^{-6} \cdot 1 \cdot 900} = 0,8 A$. Die Stromstärke beträgt hier also $I = 0,8 A$.

  Setzen wir nun ein so ergibt sich $ U = 50 \Omega \cdot 0,8 A = 40 V$. Die gesuchte Spannung beträgt 40 V.

• Berechne die Kraft auf den Leiterrahmen.

  Tipps

  $B = mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{N \cdot I}{l}$

  $F = N_{LR} \cdot B_s \cdot I_{LR} \cdot b_{LR}$

  $\mu_0 = 1,257 \cdot 10^{-6}$

  Lösung

  Die Kraft, die auf einen stromdurchflossenen Leiterrahmen im Magnetfeld wirkt, können wir in dieser Aufgabe in zwei Schritten bestimmen.

  Zunächst berechnen wir die Stärke des magnetischen Feldes in der Spule $B_S$ mit der bekannten Formel. $B_S = mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{N \cdot I}{l}$ ergibt sich für die Werte aus der Aufgabenstellung ein Magnetfeld von: $B = mu_0 \cdot 1 \cdot \frac{300 \cdot 6,5}{0,6} = 40,8 mT=0,0408 T$.

  Setzen wir das Magnetfeld der Spule $B_S$ nun in die Formel $F = N_{LR} \cdot B_s \cdot I_{LR} \cdot b_{LR}$ ein, so erhalten wir mit den Werten für den Leiterrahmen: $F = 150 \cdot 0,0408 T \cdot 2,2 A \cdot 0,1m = 1,35 N$.

  Die Kraft auf den Leiterrahmen beträgt hier $F = 1,35 N$.

• Bestimme die Anzahl der Windungen.

  Tipps

  Rechne immer in den Grundeinheiten (z.B. $T$ anstatt $mT$).

  $B = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{N \cdot I}{l}$

  $N = \frac{B \cdot l}{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot I}$

  Lösung

  Um die Windungszahl bei gegebenen Parametern zu ermitteln, stellen wir die Formel für $B$ wie in der Abbildung gezeigt nach $N$ um.

  Im Rahmen dieser Aufgabe soll die Länge unverändert $l = 0,04m$ sein. Zudem soll die Spule mit Luft gefüllt sein, damit muss $ \mu_r = 1$ sein. Die magnetische Feldkonstante ist ohnehin mit $\mu_0 = 1,257 \cdot 10^{-6}$ gegeben. Setzen wir diese konstanten Werte in die Gleichung ein, so ergibt sich: $ N = \frac{B \cdot 0,04}{1,257 \cdot 10^{-6} \cdot I}$.

  Nun müssen nach und nach die Werte für $I$ und $B$ eingesetzt werden die in den Aufgabenteilen gegeben sind. Wir betrachten hier nur ein Beispiel, alle weiteren Aufgaben kannst du dann analog lösen.

  Setzen wir $I = 1,9 A$ und $ B=0,02 T$ in $N = \frac{B \cdot 0,04}{1,257 \cdot 10^{-6} \cdot I}$ ein, so ergibt sich $ N = \frac{0,02 \cdot 0,04}{1,257 \cdot 10^{-6} \cdot 1,9} = 335$.

  Die Anzahl der Windungen wurde für diesen Fall zu $335$ bestimmt. Wichtig ist hier, wie sonst auch immer, dass du in den Grundeinheiten rechnest, also in $T$ nicht in $mT$ und in $A$ und nicht in $mA$.

• Gib die Parameter an, die die Stärke des Magnetfeldes in einer Spule beeinflussen.

  Tipps

  Das Magnetfeld in einer Spule kann mit einem Eisenkern verstärkt werden.

  Es ist günstig für das Magnetfeld, viele Windungen auf einer Spule zu haben.

  Lösung

  Die Stärke des Magnetfeldes ist abhängig von mehreren Parametern, die wir nun genauer erklären wollen.

  Die gesuchte Größe ist $B$, die Stärke des Magnetfeldes in $T$ (Tesla). Zur Bestimmung von $B$ benötigen wir zunächst die magnetische Feldkonstante $\mu_0 = 1,257 \cdot 10^{-6} \frac{Am}{T}$. Der Einfluss des Materials im Kern der Spule wird mit dem Parameter $\mu_r$ berücksichtigt. $\mu_r$ ist also eine Materialkonstante. Für den Fall, dass kein Wert für das Material angegeben ist, kannst du immer von $\mu_r = 1$ ausgehen. Dieser Wert stimmt in etwa für Luft oder im Vakuum. Mit einem Eisenkern kann dieser Wert erhöht und damit das Magnetfeld verstärkt werden.

  Die Geometrie der Spule ist von wichtiger Bedeutung für die Berechnung der magnetischen Feldstärke. Die Anzahl der Windungen $N$ der Spule beeinflusst die Stärke des Magnetfeldes. Es gilt: Je höher die Anzahl der Windungen, desto stärker das magnetische Feld. Der gleiche Zusammenhang gilt auch für die Stromstärke in der Spule $I$. Die Länge der Spule $l$ steht im Nenner. Somit wird das Magnetfeld dann groß, wenn die Spule relativ kurz ist.

  Die Dicke der Spulenkabel,die Querschnittsfläche der Spule oder der Ohm'sche Widerstand nehmen jedoch keinerlei Einfluss auf die Stärke des Magnetfeldes in einer langen Spule.

• Untersuche die Stärken der Magnetfelder in den unterschiedlichen Spulen.

  Tipps

  $\mu_0 = 1,257 \cdot 10^{-6}$

  $B = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{N \cdot I}{l}$

  Rechne in den Grundeinheiten.

  Der Ansatz lautet: $B_1 = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{N \cdot I}{l} = B_2$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe sollen jeweils zwei Spulen gesucht werden, deren magnetische Felder gleich groß sind, obwohl diese unterschiedliche Eingangsgrößen besitzen. So kann es sein, dass eine Spule mit großer Windungszahl und geringem Strom die gleiche Magnetfeldstärke erzeugt wie eine Spule mit wenigen Windungen und geringer Länge.

  Diesen Zusammenhang prüfen wir, indem die magnetischen Feldstärken $B$ für alle Spulen ermittelt und anschließend die passenden einander zugeordnet werden.

  Die Formel zur Berechnung von $B$ ist dir mittlerweile bestimmt bestens bekannt. Zur Sicherheit ist diese in der Abbildung dennoch einmal angegeben. Betrachten wir ein Beispiel: Eine Spule mit $1000$ Windungen auf einer Länge von $0,5$ m wir mit einem Strom von $2,1 A$ durchflossen. Abgekürzt ergibt sich: $N = 1000; l = 0,5m; I =3,1A$. Mit$ B = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{N \cdot I}{l}$ und den angegebenen Werten ergibt sich $B = 7,79 mT$. Dieses Ergebnis liefert auch die Berechnung mit $N = 600; l = 7cm ; I = 0,723A$, sodass wir bewiesen haben, dass diese beiden Spulen ein magnetisches Feld der gleichen Stärke erzeugen. Nach diesem Prinzip kannst du nun die übrigen Zusammenhänge ermitteln. Viel Erfolg.