Widerstandsgesetz (Übungsvideo)

Widerstandsgesetz (Übungsvideo) Übung

• Beschreibe das Widerstandsgesetz.

  Tipps

  $R$ gibt den Widerstand an.

  $l$ steht für die Länge des Drahtes.

  $A$ steht für den Querschnitt des Drahtes.

  Betrachte das Widerstandsgesetz. In welcher Abhängigkeit stehen die Werte zueinander?

  Lösung

  Die Proportionalitäten lassen sich am Widerstandsgesetz ablesen oder experimentell ermitteln.

  Im Widerstandsgesetz steht $R$ für den Widerstand.

  $l$ steht für die Länge des Drahtes.
  Experimentell kann ermittelt werden, dass der Widerstand proportional zur Länge des Drahtes ist. Das heißt, wenn die Länge verdoppelt wird, verdoppelt sich auch der Widerstand.

  $A$ steht für die Querschnittsfläche des Drahtes.
  Wenn die Fläche verdoppelt wird, kann gemessen werden, dass sich der Widerstand halbiert. Deswegen ist $A$ umgekehrt proportional zu $R$.
  Mathematisch muss die Fläche dann im Nenner eines Bruchs stehen.

  $\rho$ gibt den spezifischen elektrischen Widerstand an. Dieser ist materialabhängig und eine Konstante.
  Im Widerstandsgesetz nimmt $\rho$ die Rolle der Proportionalitätskonstanten ein.
  Das heißt, man muss die variablen Werte mit $\rho$ multiplizieren, um den Widerstand $R$ zu erhalten.

• Beschreibe, wie man mit dem Widerstandsgesetz das Material eines Kabels herausfinden kann.

  Tipps

  Mithilfe des spezifischen elektrischen Widerstandes kannst du das Material in Tabellen ablesen. Was musst du dann zuerst herausfinden?

  Lösung

  Zuerst überlegt man sich, welche Größen alle gegeben sind. Es sind die Querschnittsfläche $A$ und ein Diagramm gegeben.

  Aus dem Diagramm können zu bestimmten Punkten Länge $l$ und dazugehöriger Widerstand $R$ abgelesen werden.

  Das Material solcher Kabel ist in Tabellen angegeben. Dort wird der spezifische elektrische Widerstand angezeigt. Deswegen muss dieser herausgefunden werden.

  Dazu kann das Widerstandsgesetz genutzt werden, denn dort sind alle Größen, außer dem spezifischen elektrischen Widerstand $\rho$, gegeben.

  Wie aus dem Diagramm sofort zu erkennen, ist dort eine Gerade abgebildet. Diese wird in der Mathematik immer durch die Gleichung $y=m \cdot x$ beschrieben, wobei es dann eine x-Achse und eine y-Achse gibt.
  Auf das gegebene Diagramm übertragen ist die Gleichung $R=m \cdot l$.
  $m$ gibt die Steigung der Geraden an. Diese kann mit einem Steigungsdreieck bestimmt werden.

  Vergleicht man die Geradengleichung mit dem Widerstandsgesetz, fällt auf, dass
  $m= \frac{\rho}{A}$ gilt.

  Stellt man diese Gleichung nach $\rho$ um, kann der spezifische elektrische Widerstand leicht ausgerechnet werden.

  $\begin{align} && m &= \frac{\rho}{A} &|\cdot A \\ &\Leftrightarrow& m\cdot A &= \rho \end{align}$

• Berechne den Querschnitt des Drahtes.

  Tipps

  Das Widerstandsgesetz gibt die Abhängigkeit zwischen Widerstand $R$, spezifischem elektrischen Widerstand $\rho$, Länge $l$ und Querschnitt $A$ an. Wie lautet es?

  Wenn man eine Gleichung nach einer Größe umstellt, welche Größe muss dann alleine stehen?

  Lösung

  Das Widerstandsgesetz kann zu Berechnung genutzt werden. Es sind darin alle Größen außer der gesuchten Größe gegeben.

  Darum müssen keine weiteren Nebenrechnungen gemacht werden.

  Zur Lösung wird das Widerstandsgesetz nach der Fläche $A$ umgestellt. Es ergibt sich:

  $\begin{align} && R &= \rho \cdot \frac{l}{A} &|\cdot A \\ &\Leftrightarrow& R \cdot A &= \rho \cdot l &| \div R \\ &\Leftrightarrow& A &= \rho \cdot \frac{l}{A} \end{align} $

  Anschließend werden alle gegebenen Werte eingesetzt.

• Berechne die Länge des Drahtes.

  Tipps

  Stelle das Widerstandsgesetz nach der Länge um und setze die gegebenen Werte ein.

  Denke an die Einheit. Welche Einheit kann eine Länge haben?

  Lösung

  Zum Berechnen der Länge des Drahtes kann das Widerstandsgesetz genutzt werden.
  Es sind darin alle Größen außer der Länge gegeben. Darum müssen keine weiteren Nebenrechnungen gemacht werden.

  Das Widerstandsgesetz wird nach der Länge $l$ umgestellt.

  $\begin{align} && R &= \rho \cdot \frac{l}{A} &| \cdot A \\ &\Leftrightarrow& R \cdot A &= \rho \cdot l &| \div \rho \\ &\Leftrightarrow& R \cdot \frac{A}{\rho} &= l \end{align} $

  Anschließend können alle gegebenen Werte eingesetzt werden.

• Beschreibe, wie man zum Berechnen der Bestandteile des Widerstandsgesetzes vorgehen muss.

  Tipps

  Die Begriffe werden häufig mit ihrem Anfangsbuchstaben abgekürzt.

  Von welchen Größen hängt das Widerstandsgesetz nicht ab? Nach diesen kann es auch nicht umgestellt werden.

  Lösung

  Um die fehlende Größe mit dem Widerstandsgesetz zu berechnen, muss dieses danach umgestellt werden.
  Es können nur Größen berechnet werden, die in dem Widerstandsgesetz vorkommen.

  Das Widerstandsgesetz gibt den Zusammenhang zwischen dem Widerstand eines Drahtes, seiner Länge, seinem Material und seiner Querschnittsfläche an.

  Wie immer in der Physik werden die Größen durch ein Formelzeichen abgekürzt.
  $l$ steht für die Länge.
  $R$ steht für den Widerstand des Kabels.
  $A$ steht für die Querschnittsfläche.
  Etwas schwerer zu merken ist $\rho$, dies steht für den spezifischen elektrischen Widerstand. $\rho$ ist eine Materialkonstante.

• Bestimme das Material des Kabels.

  Tipps

  Berechne zuerst den Querschnitt $A$ des Kabels. Wie berechnet man die Fläche eines Kreises?

  Der Flächeninhalt eines Kreises kann mithilfe des Radius ermittelt werden.

  Stelle das Widerstandsgesetz nach $\rho$ um und setze die gegebenen Werte ein.

  Das Widerstandsgesetz nach $\rho$ umgestellt ergibt:

  Lösung

  Um das Material zu bestimmen muss der spezifische elektrische Widerstand ermittelt werden.
  Dieser kann mithilfe des Widerstandsgesetzes berechnet werden.
  Dieses lauter $R = \rho \cdot \frac{l}{A}$.

  In diesem sind alle Größen außer der Querschnittsfläche $A$ des Kabels gegeben. Deswegen muss $A$ zuerst berechnet werden.

  Da das Kabel rund sein soll, kann dafür die Formel für die Fläche eines Kreises genutzt werden.
  Diese lautet:
  $A=\pi \cdot r^2$.

  Es ergibt sich mit den gegebenen Werten $A=\pi \cdot 0,67^2=1,4106...$.
  Da auf zwei Nachkommastellen gerundet werden soll, muss die Ziffer nach der zweiten Eins betrachtet werden.
  Dies ist eine Null, deswegen wird abgerundet.
  Es ergibt sich dann $A=1,41~ mm^2$.

  Es sind nun alle Größen außer $\rho$ aus dem Widerstandsgesetz vorhanden. Das Widerstandsgesetz wird nach $\rho$ umgestellt:

  $\begin{align} && R &= \rho \cdot \frac{l}{A} &|\cdot A \\ &\Leftrightarrow& R \cdot A &= \rho \cdot l &| \div l \\ &\Leftrightarrow& R \cdot \frac{A}{l} &= \rho \end{align} $

  Anschließend müssen nur noch die gegebenen oder berechneten Werte eingesetzt werden.
  Es folgt $\rho = 0,08~ \frac{ \Omega \cdot mm^2}{m}$.
  Aus der Tabelle wird dann abgelesen, dass das Kabel aus Messing bestehen muss.