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Ungedämpfte Schwingung – Vergleich Schwingkreis und Federpendel

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Die Autor*innen
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Wolfgang Tews
Ungedämpfte Schwingung – Vergleich Schwingkreis und Federpendel
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Ungedämpfte Schwingung – Vergleich Schwingkreis und Federpendel

In diesem Video wird dir anhand der Energiebilanzen von elektromagnetischem Schwingkreis und horizontalem Federpendel das Entstehen ungedämpfter harmonischer Schwingungen des Schwingkreises erklärt. Du erfährst, dass mit der Thomson’schen Schwingungsgleichung die Schwingungsdauer und die Eigenfrequenz eines Schwingkreises ohne Energieverluste beschrieben werden.

Transkript Ungedämpfte Schwingung – Vergleich Schwingkreis und Federpendel

Hallo, unser Thema heute sind ungedämpfte Schwingungen. Dabei vergleichen wir einen elektromagnetischen Schwingkreis mit einem mechanischen Federpendel. Weißt du eigentlich, was passiert, wenn du beim Radiohören einen Sender einstellst? Eine Antwort auf diese Frage wirst du in diesem Video erhalten. Unser Thema heute ist die Thomson’sche Schwingungsgleichung für ungedämpfte, elektromagnetische Schwingungen. Du solltest dazu über Kenntnisse verfügen, die folgende Sachverhalte betreffen: Die Energie in elektrischen und magnetischen Feldern, die Eigenschaften von Kondensatoren und Spulen, die Energiebilanz beim Federpendel sowie die Eigenschaften und Beschreibung harmonischer Schwingungen. Wir lernen heute, dass der ungedämpfte elektromagnetische Schwingkreis eine harmonische Schwingung ausführt, dass sich die Vorgänge im elektrischen Schwingkreis gut mit denen eines horizontalen Federpendels vergleichen lassen. Und dass sich die harmonische Schwingung des Schwingkreises durch eine Gleichung, nämlich die Thomson’sche Schwingungsgleichung, beschreiben lässt, wobei zu beachten ist, dass diese Gleichung gewissen Einschränkungen unterliegt. Du siehst hier einen elektrischen Schwingkreis. Er besteht aus einem Kondensator, der ist bereits aufgeladen und einer Spule in Reihenschaltung. Der geladene Kondensator hat die elektrische Feldenergie 1/2CUmax2 gespeichert. Vernachlässigen wir Ohm’sche Widerstände im Schwingkreis, so wird die elektrische Feldenergie vollständig in magnetische Feldenergie, Emag=1/2LImax2 umgewandelt. Danach wird die magnetische Feldenergie wieder abgebaut und vollständig in elektrische Feldenergie des Kondensators umgewandelt. Nun wiederholt sich der Vorgang. Die Gesamtenergie bleibt konstant, das System führt harmonische Schwingungen aus. Die Schwingungen des Schwingkreises lassen sich mit der Schwingung eines horizontalen Federpendels vergleichen. Den ersten Teil des Bildes kennen wir schon. Der geladene Kondensator hat die elektrische Feldenergie 1/2CUmax2 gespeichert. Beim Pendel sehen wir, dass die Kugel mit der Masse m maximal ausgelenkt ist. Sie bewegt sich nicht, also ist v=0 und die Federn enthalten die potentielle Energie, hier in Form der Spannenergie 1/2ksmax2. Im zweiten Bild ist zu sehen, dass sich der Kondensator entlädt. Es fließt ein Strom und die magnetische Feldenergie der Spule wächst. Es gilt Eel+Emag=konstant. Die Kugel des Pendels bewegt sich mit steigender Geschwindigkeit und gewinnt damit kinetische Energie. Im gleichen Maße wird die potentielle Energie kleiner. Es gilt Epot+Ekin=konstant. Das dritte Bild zeigt, dass der Kondensator vollständig entladen ist. Der Strom ist maximal und die gesamte Energie befindet sich nun im Magnetfeld der Spule. Es gilt Emag=1/2LI2. Betrachten wir das Pendel, so ist zu sehen, dass sich die Kugel in der Mitte befindet und sich mit maximaler Geschwindigkeit durch die Ruhelage bewegt. Ihre kinetische Energie 1/2mvmax2. Im vierten Bild ist zu sehen, dass in Folge der Induktivität der Spule der Strom weiterfließt, jedoch mit abnehmender Stärke. Ebenso nimmt die magnetische Feldenergie auch wieder ab. Beim Pendel ist zu sehen, dass sich in Folge der Trägheit die Kugel über die Ruhelage weiter hinaus bewegt. v und damit Ekin nehmen ab und Epot wächst. Das fünfte Bild zeigt schließlich, dass der Kondensator nun entgegengesetzt aufgeladen ist. Es fließt kein Strom und damit ist I=0. Beim Pendel ist zu sehen, dass die Kugel voll zur anderen Seite ausgelenkt ist, sie befindet sich im Umkehrpunkt in Ruhe. Die gesamte Energie befindet sich wieder in den Federn. Der beobachtete Vorgang der Schwingung wiederholt sich nun in umgekehrter Richtung. Nun zur Thomson’schen Schwingungsgleichung. Aus diesen eben gemachten Überlegungen folgt mit Omega=2Pif die Thomson’sche Schwingungsgleichung für den ungedämpften Schwingkreis: f=1/(2PiWurzel LC). Und anders geschrieben, mit T=1/f für die Schwingungsdauer, ergibt sich T=2PiWurzel LC. Die Frequenz f wird oft auch als Eigenfrequenz des Schwingkreises bezeichnet. Und wie zu sehen ist, hängt diese nur von der Kapazität des Kondensators und der Induktivität der Spule ab. Eine Frequenzänderung durch die Änderung der Kapazität C findet statt, wenn du dein Radio auf deinen Lieblingssender einstellt. Die Thomson’sche Schwingungsgleichung gilt streng nur für den Idealfall. Also für den Fall, dass die Ohm’schen Widerstände im Schwingkreis vernachlässigt werden. Diese erwärmen sich und das kostet natürlich Energie, und damit führt der Realfall zu gedämpften Schwingungen. Zum Abschluss noch ein paar Worte zum Namensgeber der Schwingungsgleichung. William Thomson, der von 1824 bis 1907 lebte und den wir auch unter dem Namen Lord Kelvin kennen, er war Professor für theoretische Physik in Glasgow und beschäftigte sich mit der Elektrizitätslehre und der Thermodynamik. Ein Ergebnis seiner Arbeiten hast du nun schon kennengelernt. An ein anderes Ergebnis wirst du dich sicher auch erinnern, die Kelvin-Skala für die absolute Temperatur, die seinen Namen trägt. Lassen wir es mit diesen Anmerkungen gut sein und fassen kurz zusammen: Die ungedämpfte Schwingung in einem Schwingkreis ist eine harmonische Schwingung. Diese Aussage folgt aus dem Vergleich der elektromagnetischen Größen des Schwingkreises mit den mechanischen Größen eines Federpendels. Die Thomson’sche Schwingungsgleichung für die ungedämpfte Schwingung in einem Schwingkreis lautet mit f als Eigenfrequenz f=1/(2PiWurzel LC). Und anders geschrieben mit T=1/f für die Schwingungsdauer ergibt sich T=2PiWurzel LC. Das war's für heute, ich hoffe es hat dir wieder etwas Spaß gemacht und du hast alles verstanden, bis zum nächsten Mal.

Ungedämpfte Schwingung – Vergleich Schwingkreis und Federpendel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ungedämpfte Schwingung – Vergleich Schwingkreis und Federpendel kannst du es wiederholen und üben.
  • Ordne die Bewegung im elektrischen Schwingkreis dem Äquivalent beim Federschwinger zu.

    Tipps

    Du kannst die Bilder mit der 1. bereits miteinander verbinden, dann hast du einen Anfang für die Schwingungsverläufe.

    Lösung

    Elektrischer und mechanische Schwinger verhalten sich im Grunde gleich, allerdings kann man sich den elektrischen oft schwerer vorstellen. Deshalb vergleichen wir hier.

    1. In der Ausgangslage ist der Kondensator geladen, der Massenpunkt ist nach rechts ausgelenkt.

    2. Nun fließt der Strom des Kondensators durch die Spule. Dabei entsteht ein Magnetfeld. Äquivalent dazu beginnt der Massepunkt, sich nach rechts zu bewegen, da die ausgelenkte Feder zurückdrängt, und auch die gestauchte Feder in ihre Ausgangslage möchte.

    3. Die gesamte Energie des elektrischen Stromkreises liegt nun in Form des Magnetfeldes vor. Das entspricht der Ruhelage des Federschwingers, bei dem der Massepunkt gerade mittig in seiner Ruhelage liegt.

    4. Dann wird das Magnetfeld allmählich von der Spule absorbiert, also in elektrische Energie umgewandelt. Beim Federschwinger entspricht das der Schwingung nach links.

    Man könnte sich die Schwingungen in diesem Fall so vorstellen, dass ein Strom nach rechts eine Auslenkung nach rechts ist, und der Rückweg dann die Auslenkung zur anderen Seite.

  • Beschreibe die Thomson'sche Schwingungsgleichung.

    Tipps

    $x^{-1}=\dfrac{1}{x}$

    $f=\dfrac{1}{T}$

    Lösung

    Bei der mechanischen Schwingung kann man sich Frequenz und Schwingungsdauer gut vorstellen. Nicht so beim elektrischen Oszillator.

    Man kann sich ja sicher schon denken, dass die Frequenz etwas mit der Spule und dem Kondensator zu tun hat. Deren Haupteigenschaften sind die Kapazität (des Kondensators) und die Induktivität (der Spule).

    Die Kreisfrequenz $\omega$ ist allgemein gegeben durch $2\pi$ mal der Frequenz $f$.

    Dies stellt man das nach $f$ um:

    $f=\dfrac{\omega}{2\pi}$.

    Wieso nun $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C}}$, ist etwas komplizierter. Setzt man das ein, ergibt sich die Thomson'sche Schwingungsgleichung:

    $f=\dfrac{1}{2\pi\cdot\sqrt{L\cdot C}}$.

    Und weil $f=\dfrac{1}{T}$, ist ist die Schwingungsdauer $T=2\pi\cdot\sqrt{L\cdot C}$.

  • Beschrifte die Energiezustände im elektrischen Schwingkreis.

    Tipps

    Die Bilder folgen in ihrer Reihenfolge dem zeitlichen Verlauf. So kannst du vielleicht besser einordnen, was passiert.

    Lösung

    Ebenso wie die potentielle und kinetische Energie beim Federschwinger verhält sich die Energie beim elektrischen Schwinger.

    Nur ist es hier eben die elektrische und die magnetische Energie.

    Die magnetische Energie entsteht durch die elektrische Energie in der Spule. Andersherum wird die magnetische Energie dann wieder in elektrische umgewandelt.

    So laufen immer wieder Umwandlungsprozesse ab von elektrischer zu magnetischer Energie und umgekehrt.

  • Berechne die Frequenz eines elektrischen Schwingkreises.

    Tipps

    Du benötigst die Thomson'sche Schwingungsgleichung.

    Achte auf die Größenordnungen der Einheiten.

    Lösung

    Die Thomson'sche Schwingungsgleichung ist

    $f=\dfrac{1}{2\pi\cdot\sqrt{L\cdot C}}$.

    Wir setzen ein:

    $f=\dfrac{1}{2\pi\cdot\sqrt{2~\text{H}\cdot 100 \cdot 10^{-6}~\text{F}}}=\dfrac{35,36}{\pi}=11,3~\text{Hz}$.

    Interessanter ist vielleicht, wie wir auf die Einheit $\text{Hz}$, also $\dfrac{1}{\text{s}}$, kommen.

    Nun: 1/ haben wir ja schon, und $2\pi$ hat keine Einheit.

    $L\cdot C$ hat die Einheit $\dfrac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}.{\text{A}^2\cdot\text{s}^2}\cdot\dfrac{\text{A}^2\cdot\text{s}^4}{\text{kg}\cdot\text{m}^2}$

    Man kann sehen, dass sich alles rauskürzt und am Schluss nur noch $\text{s}^2$ stehen bleibt. Das erklärt dann auch, warum die Wurzel in der Thomson'schen Gleichung wichtig ist. Denn dadurch wird aus $\text{s}^2$ nur noch $\text{s}$, und wir kommen zur Einheit $\dfrac{1}{\text{s}}$, also $\text{Hz}$.

  • Beschreibe den elektrischen Schwingkreis.

    Tipps

    Überlege, was die Haupteigenschaft einer ungedämpften Schwingung ist. Also wie es sich da mit äußeren Kräften verhält.

    Lösung

    Wie läuft dieser elektrische Schwingkreis nochmal ab?

    Zunächst wird ein Kondensator geladen. Ab dann ist er sozusagen die Spannungsquelle für die Spule, die ein Magnetfeld erzeugt, dann aber die magnetische Energie wieder in elektrische Energie umwandelt. Dadurch wird der Kondensator immer wieder entladen, und andersherum gepolt beladen.

    Er wechselt also periodisch seine Polung, während die Spule ein Magnetfeld auf- und abbaut.

    Im Idealfall ginge das endlos hin und her, ohne dass man Energie von außen hinzufügen müsste. In der Realität sieht es aber anders aus.

  • Löse die Differenzialgleichung für eine freie ungedämpfte E-Schwingung.

    Tipps

    Die Lösung ist der Ansatz ohne unbekannte Variablen. Du musst den Ansatz also so umschreiben, dass er nur noch Größen enthält, die man (eigentlich) immer kennt.

    Lösung

    Fangen wir also an mit dem Ansatz $Q(t)=Q_0\cdot\cos(\omega\cdot t)$, wobei $Q_0$ die Anfangsladung ist.

    Das können wir erstmal in die DGL einsetzen. Auch die zweite Ableitung von $Q$ sollten wir dort einsetzen. Daher berechnen wir diese zuerst einmal:

    $\dot{Q}(t)=-Q_0\cdot\omega\cdot\sin(\omega\cdot t)$

    $\ddot{Q} (t)=-Q_0\cdot\omega^2\cdot\cos(\omega\cdot t)$.

    Und dann in die DGL eingesetzt:

    $L\cdot \left[-Q_0\cdot\omega^2\cdot\cos(\omega\cdot t)\right] + \dfrac{Q_0\cdot\cos(\omega\cdot t)}{C}=0$.

    Weil das so aber noch etwas hässlich aussieht, schreibt man es um in:

    $Q_0\cdot\cos(\omega\cdot t)\cdot\left[-L\cdot\omega^2+\dfrac{1}{C}\right]=0$.

    Da haben wir jetzt nichts verändert, sondern nur umgestellt. Aber man sieht: Ist der Term in den eckigen Klammern Null, dann geht die Gleichung auf. Klar: Der Kosinus und das $Q_0$ könnten auch Null sein, aber das würde uns nicht zum Ziel führen.

    $-L\cdot\omega^2+\dfrac{1}{C}$ soll nun also $=0$ sein.

    Eine dieser Größen ist uns aus diesem Video bereits bekannt. Aus der Thomson'schen Schwingungsgleichung wissen wir, dass $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C}}$ ist.

    $-L\cdot\dfrac{1^2}{\sqrt{L\cdot C}^2}+\dfrac{1}{C}=0$

    Und das stimmt, weil das Quadrat die Wurzel aufhebt , L gekürzt wird und dann dort steht:

    $-\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C}=0$.

    Also haben wir gezeigt, dass $\omega$ hier tatsächlich die Thomson'sche Formel ist, und wir sie so in unseren Ansatz einsetzen können:

    $Q(t)=Q_0\cdot\cos\left(\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C}}\cdot t\right)$.

    Und das die Lösung der DGL. Nur mit Werten, die wir messen können bzw. kennen, in Abhängigkeit von der Zeit $t$.

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