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Selbstinduktion – die Induktivität einer Spule

Was ist Selbstinduktion? Erfahre mehr über elektrische Schwingkreise. Die Selbstinduktion ist entscheidend für elektrische Schwingkreise und sehr relevant im Bereich des Elektromagnetismus. Lerne, wie man induzierte Spannungen berechnet und wie die Selbstinduktion in einer Spule funktioniert. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Selbstinduktion – die Induktivität einer Spule
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Die Autor*innen
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Jakob Köbner
Selbstinduktion – die Induktivität einer Spule
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Selbstinduktion – die Induktivität einer Spule Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Selbstinduktion – die Induktivität einer Spule kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen über die Induktivität.

    Tipps

    Wie kann man die Induktivität auch nennen?

    Lösung

    Die Induktivität einer Spule nennt man auch Selbstinduktion. Sobald ein Strom durch die Spule fließt, wird eine Spannung innerhalb der Spule induziert, die gegen die ursprüngliche Stromrichtung gerichtet ist. Daher baut sich das Magnetfeld einer Spule nicht unmittelbar mit dem Anschalten des Stromes auf, sondern muss sich erst aufbauen. Wenn die Induktivität hoch ist, dauert das Aufbauen des Magnetfeldes länger. Die Induktivität hat das Formelzeichen $L$ und die Einheit $H$ (Henry).

  • Gib an, warum das Magnetfeld einer Spule nicht sofort seine Maximalstärke erreicht, wenn ein Strom angeschlossen wird.

    Tipps

    Was passiert, wenn sich im Inneren einer Spule ein veränderliches Magnetfeld befindet?

    Lösung

    Wenn ein Strom durch eine Spule fließt, baut die Spule ein Magnetfeld auf. Ohne die Induktivität (oder Selbstinduktion) wäre das Magnetfeld unmittelbar mit dem Einschalten des Stroms vorhanden.

    Tatsächlich braucht das Magnetfeld aber einige Zeit, um seine maximale Stärke aufzubauen. Zur Erinnerung: Das allgemeine Induktionsgesetz besagt, dass ein zeitlich veränderliches Magnetfeld innerhalb einer Spule eine Spannung induziert. $\begin{align} U_i = -N \cdot \frac{d\Phi}{dt} \end{align}$ Nach der Lenz'schen Regel ist diese induzierte Spannung $U_i$ seiner Ursache entgegen gerichtet. Beim Einschaltvorgang passiert also Folgendes: Durch das Umschalten des Schalters fließt ein Strom und das Magnetfeld beginnt sich aufzubauen. Da nun ein zeitlich veränderliches Magnetfeld vorhanden ist, wird eine Spannung induziert, die entgegen der ursprünglichen Stromrichtung gerichtet ist. Das Magnetfeld braucht eine Weile, bis es vollständig aufgebaut ist.

  • Gib an, welche Informationen aus den Diagrammen zum Aus- und Einschaltvorgang einer Spule abzulesen sind.

    Tipps

    Die Induktivität ist ein Maß für die Selbstinduktion der Spule.

    Nach der Lenz'schen Regel wirkt die induzierte Spannung seiner Ursache entgegen. Sie behindert also ein sich aufbauendes Magnetfeld und versucht ein sich abbauendes Magnetfeld zu erhalten.

    Lösung

    Beim Einschaltvorgang der Spule ist das Magnetfeld nicht direkt mit dem Umlegen des Schalters vorhanden, sondern es muss sich erst aufbauen. Dies liegt an der Induktivität (oder Selbstinduktion) der Spule. Nach der Lenz'schen Regel wirkt die induzierte Spannung ihrer Ursache entgegen. Der Aufbau des Magnetfeldes beim Einschaltvorgang wird dadurch verzögert. Je höher hierbei die Induktivität der Spule ist, desto größer ist diese Verzögerung.

    Beim Ausschaltvorgang wirkt die Induktivität so, dass mit dem Umlegen des Schalters nicht direkt das Magnetfeld verschwunden ist. Sie versucht das Magnetfeld aufrecht zu erhalten. Je höher die Induktivität ist, desto länger dauert das Absinken der Kurve auf 0.

    Eine Möglichkeit, die Induktivität der Spule stark zu erhöhen, ist einen Eisenkern in sie hinein zu schieben. Dadurch wird die relative Permeabilität vergrößert. Wie in der Formel für die langgestreckte Spulen zu sehen, führt dies zu einer höheren Induktivität $L$. $\begin{align} L = \mu \cdot A \cdot \frac{N^2}{l} \end{align}$

  • Berechne die mittlere Induktionsspannung.

    Tipps

    Schau dir noch einmal die allgemeine Formel für die Induktivität einer Spule an.

    Die allgemeine Formel für die Induktivität lautet: $\begin{align} L = \frac{-U_i}{\dot I} \end{align}$

    Der Punkt auf dem $I$ ist eine Schreibweise, um die zeitliche Ableitung zu beschreiben. Es gilt also:

    $\begin{align} \dot I = \frac{dI}{dt} \end{align}$

    Stelle die Formel nach $U_i$ um.

    Achte auf die Vorzeichen.

    Lösung

    Die allgemeine Formel für die Induktivität lautet:
    $\begin{align} L = \frac{-U_i}{\dot I} = \frac{-U_i}{\frac{dI}{dt}} \end{align}$

    Umgestellt nach $U_i$ erhalten wir:
    $\begin{align} U_i = - L \cdot \dot I = - L \cdot \frac{dI}{dt} \end{align}$

    Mit den Werten aus der Aufgabenstellung ergibt sich:
    $\begin{align} U_i = -12 \,H \cdot \frac{-1 \,A}{0,2 \,s} = 60\, V \end{align}$

  • Benenne die Teile der Formel.

    Tipps

    Die Induktivität einer langgestreckten Spule hängt von seiner Bauform ab.

    Lösung

    Für langgestreckte Spulen lässt sich die folgende Formel für die Induktivität herleiten:

    $\begin{align} L= \mu \cdot A \cdot \frac{N^2}{l} \end{align}$

    Die Größe $\mu$ nennt man Permeabilität. Sie gibt hier an, wie durchlässig das Material für magnetische Felder ist, welches im Inneren der Spule herrscht. Luft hat eine geringere Permeabilität als z.B. Eisen. Daher steigert ein Eisenkern, der in die Spule geschoben wird, die Permeabilität und somit die Induktivität der Spule. Außerdem ist die Induktivität proportional zur Spulenfläche $A$ und zur quadrierten Windungszahl $N^2$. Die Länge der Spule $L$ ist umgekehrt proportional zur Induktivität.

  • Berechne die induzierte Spannung $U_i$.

    Tipps

    Berechne zunächst die Induktivität der Spule.

    Benutze dafür die Formel für eine langgestreckte Spule: $\begin{align} L= \mu \cdot A \cdot \frac{N^2}{l} \end{align}$

    Stelle die allgemeine Formel für die Induktivität nach $U_i$ um und setze ein.

    Die allgemeine Formel für die Induktivität lautet: $\begin{align} L = - \frac{U_i}{\dot I} \end{align}$

    Lösung

    Die Induktivität einer langgestreckten Spule lässt sich mit der Formel $L = \mu \cdot A \cdot \frac{N^2}{l}$ berechnen. Aus den Werten aus der Aufgabenstellung folgt: $\begin{align} L = 12,57 \cdot 10^{-7} \cdot \pi \cdot (0,33\,m)^2 \cdot \frac{100^2}{0,25\,m} = 17,20\,mH \end{align}$ Hier wurde die Fläche $A$ durch ihren Radius $r$ ausgedrückt. Es gilt $A= \pi r^2$.

    Die allgemeine Formel der Induktivität lautet $L = - \frac{U_i}{\dot I}$. Stellen wir diese nach $U_i$ um und setzen die Werte aus der Aufgabenstellung sowie die errechnete Induktivität ein, ergibt sich: $\begin{align} U_i = - L \cdot \dot I = - L \cdot \frac{dI}{dt} = - 17,20\,mH \cdot \frac{-2\,A}{-0,5\,s} \approx -68,80\,mV \end{align}$