Schiefer Wurf – mathematische Beschreibung der Flugbahn
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Grundlagen zum Thema Schiefer Wurf – mathematische Beschreibung der Flugbahn
Schiefer Wurf – Physik
Du kennst bereits den waagerechten Wurf und weißt, wie man seine Flugbahn berechnet. Dabei handelt es sich um die Beschreibung eines Spezialfalls des Wurfs – ein Gegenstand oder Objekt wird waagerecht nach vorne geworfen. Eine allgemeine Beschreibung von Wurfbahnen liefert der sogenannte schiefe Wurf. Bevor wir zur mathematischen Beschreibung kommen, schauen wir uns erst einmal an, was genau eine schiefer Wurf ist.
Schiefer Wurf – Definition
Ein schiefer Wurf, der manchmal auch als schräger Wurf bezeichnet wird, beschreibt die Flugbahn, die ein Körper in der Regel beschreibt. Dabei wird ein Gegenstand unter einem beliebigen Abwurfwinkel zur Erdoberfläche abgeworfen oder ausgestoßen. So wie beim waagerechten Wurf vernachlässigen wir auch hier den Luftwiderstand.
Schiefer Wurf – Formeln
Den schiefen Wurf können wir, so wie den waagerechten Wurf, am einfachsten berechnen, wenn wir die Bewegung in zwei unabhängige Komponenten zerlegen – in eine Bewegung in
Schiefer Wurf – Flugbahn berechnen
Um den schiefen Wurf mathematisch zu beschreiben, nehmen wir zunächst an, dass der Ball in einem Winkel $\alpha$ zur
$v_{x}=v_{0} \cos(\alpha)$
Entlang der
$v_{y}(t)=v_{0} \sin(\alpha)-g\cdot t$
Das Minuszeichen zeigt an, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt.
Da wir wissen, dass die Geschwindigkeit die zeitliche Ableitung des Orts ist, können wir über Integration auch die zugehörigen $x$- und
$x(t)=v_{0} \cos(\alpha) \cdot t$
Wir haben das Koordinatensystem so gelegt wie in der Abbildung gezeigt. Dabei ist $x(0)=0$. Für die
$y(t) =v_{0} \sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2}g\cdot t^2$
Wir betrachten hier einen schiefen Wurf mit Anfangshöhe $y(0)=0$. Dadurch sind die folgenden Berechnungen weniger kompliziert.
Mit den Formeln für $x(t)$ und $y(t)$ können wir nun die $x$- und
$t=\frac{x}{v_{0} \cos(\alpha)}$
Diesen Term können wir nun in die Formel für $y(t)$ einsetzen:
$y(x)=v_{0} \sin(\alpha) \cdot \frac{x}{v_{0} \cos(\alpha)} - \frac{1}{2}g\cdot \left( \frac{x}{v_{0} \cos(\alpha)} \right)^2$
Nach Vereinfachung und Anwendung des Zusammenhangs
$y(x)=\tan(\alpha)\cdot x - \frac{g}{2} \left( \frac{x}{v_{0}\cos(\alpha)} \right)^2$
Schiefer Wurf – maximale Wurfweite
In manchen Fällen kann es interessant sein, den Abwurfwinkel $\alpha$ für die maximale Wurfweite zu bestimmen. Dazu muss man zunächst eine Formel für die Wurfweite aufstellen. Dafür kann man die folgende Überlegung anstellen: Wenn der Ball oder ein beliebiges Objekt den Erdboden erreicht, ist der Wurf abgeschlossen. Wenn man das Koordinatensystem passend wählt, ist das für $y(t)=0$ der Fall. Also gilt:
$0=v_{0} \sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2}g\cdot t^2$
Das ist einerseits für $t=0$ der Fall, denn der Wurf startet aus der Höhe des Erdbodens. Uns interessiert aber der Zeitpunkt $t \neq 0$, für den diese Bedingung gilt. Diesen Zeitpunkt nennen wir $t_W$. Wenn wir die Formel nach $t_{W}$ umstellen, erhalten wir:
$t_{W}=\frac{2v_{0}sin(\alpha)}{g}$
Wenn wir das in die Formel für $x(t)$ einsetzen, erhalten wir einen Ausdruck für die
$x(\alpha)=2v_{0}^2\frac{sin(\alpha)cos(\alpha)}{g}$
Nun können wir einen Zusammenhang der Doppelwinkelfunktionen nutzen, nämlich
$x(\alpha)=v_{0}^2 \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{g}$
Das ist die Formel für die Wurfweite. Diese soll nun maximal sein. Der Sinus ist maximal für einen Winkel von $90^\circ$. Damit muss $2\alpha=90^\circ$ sein. Somit ist die Wurfweite maximal für einen Abwurfwinkel von:
$\alpha=45^\circ$
Transkript Schiefer Wurf – mathematische Beschreibung der Flugbahn
Hallo und herzlich willkommen. Heute wollen wir uns mit dem schiefen Wurf beschäftigen. Mit dem schiefen Wurf kann man alle Arten von Würfen beschreiben und interessante Dinge über den Verlauf und die Länge von Flugbahnen lernen. So kann man zum Beispiel berechnen, wie weit etwas fliegt. Man muss dafür nur wissen, mit welcher Geschwindigkeit und in welchem Winkel es abgeworfen wurde. Um das zu können, wirst du lernen, wie man die Flugbahn mathematisch beschreibt. Dabei werden wir zuerst die Abhängigkeit des Ortes von der Zeit, dann die Abhängigkeit der Höhe von der Wurfweite und zum Schluss die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit berechnen. Außerdem wirst du lernen, wie ein Objekt geworfen werden muss, wenn man eine maximale Wurfweite erreichen will. Ein schiefer Wurf verläuft immer in zwei Richtungen: Zum einen bewegt sich der geworfene Körper nach oben, und auch wieder nach unten, in diese Bewegungsrichtung legen wir die y-Achse. Zum anderen bewegt sich der Körper vom Werfer weg, in diese Bewegungsrichtung legen wir die x-Achse. Wenn wir ein Koordinatensystem aus x- und y-Achse haben, dann können wir auch den Abwurfwinkel einzeichnen. Er ist bestimmt als der Winkel der Flugbahn zum Zeitpunkt t=0 und der x-Achse. Wir nennen den Abwurfwinkel ab jetzt α. Wie du schon gesehen hast, bewegt sich der geworfene Körper in x- und in y-Richtung. Dabei ist es wichtig zu wissen, dass diese beiden Bewegungen völlig unabhängig voneinander sind. Betrachtet man zwei Kugeln, die aus gleicher Höhe fallen gelassen werden, wobei die eine gerade nach unten fällt und die andere noch eine Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung hat, so stellt man fest, dass beide gleichzeitig auf dem Boden ankommen. Das ist so, weil in y-Richtung nur die Erdbeschleunigung g wirkt, diese ist unabhängig von der Geschwindigkeit in x-Richtung. Mit diesem Vorwissen können wir uns dann auch schon daran machen, die Flugbahn mathematisch zu beschreiben. Dabei betrachten wir x- und y-Komponente zunächst getrennt. Die x-Komponente ergibt sich dabei aus dem Produkt aus dem Anteil der Anfangsgeschwindigkeit von null in x-Richtung und der Zeit. Es gilt:x(t)=v0cos()t. Die Bewegung in x-Richtung ändert ihre Geschwindigkeit nicht mit der Zeit, sie ist gleichförmig. Für die y-Richtung nehmen wir den Anteil der Anfangsgeschwindigkeit, der in y-Richtung zeigt; es ist y(t) gleich v0sin()t. Da der Körper aber entgegen der y-Richtung durch die Schwerkraft gleichmäßig beschleunigt wird, müssen wir noch den Anteil 12gt2 abziehen. In y-Richtung ist die Bewegung also eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Damit haben wir die Abhängigkeiten von x und y von der Zeit bestimmt. Um die Flugbahn in unserem x-y-Diagramm zu beschreiben, brauchen wir eine Abhängigkeit y von x. Um auf diese Form zu kommen, stellen wir Gleichung Eins von eben nach t um. Daraus erhalten wir t=xv0cos(). Dieses Ergebnis setzen wir wieder in Zwei ein und erhalten y=v0sin()xv0cos()-12g[xv0cos()]2. Im ersten Term kürzen wir die Anfangsgeschwindigkeiten und sin(α) geteilt durch cos(α) kann als tan(α) geschrieben werden. Damit haben wir die Abhängigkeit der Positionen in y von der x-Komponente, was der Kurve in unserem x-y-Diagramm entspricht. Diese Kurve nennt man auch Flugbahn. Jetzt wollen wir uns noch anschauen, wie die Geschwindigkeit von der Zeit abhängt. Dazu nehmen wir die Gleichungen Eins und Zwei und leiten sie nach der Zeit ab. Die Ableitung des Ortes nach der Zeit ergibt die Geschwindigkeit. Für Eins erhalten wir dx(t)dt=vx(t)=v0cos(). Das heißt, die x-Komponente der Geschwindigkeit ist konstant und entspricht dem Anteil der Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung. In y-Richtung erhalten wir v0sin()-gt. Das entspricht wiederum dem Anteil der konstanten Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung minus der gleichmäßig beschleunigten Bewegung in negative y-Richtung. Um den Geschwindigkeitsbetrag zu berechnen, wenden wir den Satz von Pythagoras an. x und y stehen senkrecht aufeinander, deshalb stehen auch vx und vy senkrecht aufeinander; es besteht also ein rechter Winkel zwischen beiden Geschwindigkeiten. Der Geschwindigkeitsbetrag ergibt sich aus Addition beider Komponenten nach dem Satz des Pythagoras. Es gilt: v2=vx2+vy2. vx2 plus vy2 ergibt dabei v02cos()2+v02sin()2-2v0sin()gt+g2t2. In den ersten beiden Termen kann v0 ausgeklammert werden und es bleibt sin()2 plus cos()2. sin()2 plus cos()2 gibt eins. Daraus ergibt sich dann für die Geschwindigkeit v: v(t)=v02-2v0sin()gt+g2t2. Will man jetzt noch die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der x-Position wissen, so stellt man Gleichung Eins nach t um und setzt ein. Man erhält: v(x)=v02-2tan()gx+g2x2v0cos()2. Im mittleren Term kürzen sich die beiden v0 und sin(α) geteilt durch cos(α) gibt tan(α). Nachdem du jetzt weißt, wie die Flugbahn beschrieben werden kann, wirst du zum Schluss noch lernen, wie man den Winkel berechnet, bei dem bei vorgegebener Anfangsgeschwindigkeit die maximale Wurfweite erreicht wird. Dafür nehmen wir noch einmal die Formel für die Flugkurve: y(t)=v0sin()t-12gt2. Am Anfang und am Ende des Wurfes ist y gleich null. Am Anfang gilt t gleich null, daraus folgt y gleich null. Am Ende des Wurfes müssen sich die beiden Terme in der Formel für die Flugkurve auslöschen. Das heißt, es muss gelten: v0sin()t=12gt2. Stellt man diese Gleichung nach t um, so folgt, dass die Höhe nach t=2v0sin()g wieder null ist. Diese Zeit t setzen wir jetzt in die Formel für die x-Komponente ein. Für diese gilt: x(t)=v0cos()t. Mit eingesetztem t folgt dann: x()=2v02sin()cos()g. Weiterhin gilt, dass sin()cos()=12sin(2) ist. Setzen wir das ein, so folgt, dass für die Wurfweite in Abhängigkeit vom Winkel gilt: x()=v02sin(2)g. v0 und g sind fest, wir müssen also Alpha so wählen, dass der Sinus maximal wird. Dabei ist es so, dass der Sinus für einen Winkel von neunzig Grad seinen Maximalwert von eins erreicht. Da wir hier Sinus von zwei Alpha haben, wählen wir einen Abwurfwinkel von 45 Grad, wodurch der Sinus gleich eins wird. So wird die maximale Wurfweite erreicht. Was hast du heute gelernt? Die Bewegungen eines schiefen Wurfes in x- und y-Richtung sind voneinander unabhängig. Aus den Formeln x(t)=v0cos()t und y(t)=v0sin()t-12gt2 kann man durch Umstellen und Einsetzen die mathematische Formel für die Flugkurve berechnen. Diese ergibt sich als x(x)=tan()*x-gx22v02cos2(). Durch Ableiten der Formeln Eins und Zwei kommt man auf die Geschwindigkeiten in x- und y-Richtung. Dann haben wir den Satz des Pythagoras angewendet, um den Geschwindigkeitsbetrag zu berechnen. Er ergibt sich zu v(t)=v02-2v0sin()gt+g2t2. Um die maximale Wurfweite zu bestimmen, haben wir festgestellt, dass y am Anfang und am Ende des Wurfes gleich null ist. Damit kamen wir auf die Formel x()=v02sin(2)g. Daraus folgt, dass die Wurfweite für α gleich 45 Grad maximal wird. Das war’s zum Thema schiefer Wurf. Ich hoffe, du hast was gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal.
Schiefer Wurf – mathematische Beschreibung der Flugbahn Übung
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Überprüfe die Aussagen auf Richtigkeit.
TippsWährend des Flugs wirkt die Gewichtskraft. Entlang welche Koordinatenachse wirkt diese?
Die maximale Wurfweite ist abhängig von $sin(2\alpha)$.
LösungDer schiefe Wurf besitzt sowohl eine Komponente in x-Richtung als auch eine Komponente in y-Richtung.
Entlang der x-Koordinate wirkt keine Kraft auf den Körper, sodass dieser auch nicht beschleunigt wird. Daher besitzt ein Körper zu jedem Zeitpunkt entlang der x-Richtung dieselbe Geschwindigkeit.
Entlang der y-Koordinate erfährt ein Körper die Gravitationskraft der Erde. Dadurch wird der Körper zu jedem Zeitpunkt beschleunigt.
Die maximale Wurfweite $x(\alpha)$ in Abhängigkeit des Abwurfwinkels $\alpha$ kann mit Hilfe der folgenden Gleichung bestimmt werden:
$$x(\alpha)= v_0^2\frac{sin(2\alpha)}{g}$$.
Anfangsgeschwindigkeit : $v_0$ Erdbeschleunigung: $g$
Der Sinus wird immer genau dann maximal, wenn dieser 90° beträgt. Daraus können wir folgern, dass $2\cdot \alpha = 90^\circ$ sein muss. Somit erhalten wir die maximale Wurfweite bei 45°.
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Gib die benötigten physikalischen Größen zur Berechnung der maximalen Wurfweite an.
TippsWelche der Größen können wir als fest betrachten?
Fliegt der Ball weiter, je schneller du ihn abwirfst?
Gibt es einen Winkel, bei dem die Wurfweite maximal wird?
LösungDie Wurfweite ist abhängig von der Anfangsgeschwindigkeit sowie von dem Abwurfwinkel. Mit Hilfe dieser beiden Werte lässt sich die Wurfweite gemäß
$x(\alpha)=v_0^2\frac{\sin{(2\alpha)}}{g}$
bestimmen.
Somit ist also die Wurfweite $x(\alpha)$ insbesondere direkt proportional zu $\sin{(2\alpha)}$. D.h., je größer der Term $\sin{(2\alpha)}$ wird, desto größer wird auch $x(\alpha)$. Eine besondere Eigenschaft des Sinus ist, dass dieser bei 90° maximal wird. Daraus können wir folgern, dass $2\cdot \alpha=90^\circ$ sein muss.
Stellen wir dies nach $\alpha$ um, so erhalten wir:
$\alpha=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$.
D.h., unsere Wurfweite ist genau dann maximal, wenn der Winkel $45^\circ$ beträgt.
Setzen wir dies in unsere obigen Gleichung ein, erhalten wir:
$x(45^\circ)=v_0^2\frac{\sin{(2\cdot 45^\circ)}}{g}=v_0^2\frac{\sin{(90^\circ)}}{g}=v_0^2\frac{1}{g}=\frac{v_0^2}{g}$.
Somit ist die maximale Wurfweite lediglich von der Anfangsgeschwindigkeit abhängig.
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Berechne, wie weit entfernt der Fußball nach einem Schuss aufkommt.
TippsUm die Schussweite zu berechnen, musst du die Formel für die Wurfweite $x(\alpha)$ aus dem Video verwenden.
Das g steht für die Erdbeschleunigung und kann mit $g=9,81 \frac{m}{s^2}$ angegeben werden.
Für die Wurfweite eines Körpers gilt:
$x(\alpha)=v_0^2\cdot \frac{\sin{(2\alpha)}}{g}$.
LösungUm zu berechnen, wie weit der Fußball fliegt, müssen wir den Winkel und die Anfangsgeschwindigkeit wissen. Aus der Aufgabenstellung können wir entnehmen, dass der Abschusswinkel 40° beträgt und die Anfangsgeschwindigkeit 20 m/s.
Diese Werte können wir in die folgende Gleichung einsetzen:
$x(\alpha)=v_0^2\cdot \frac{\sin{(2\alpha)}}{g}$.
Durch Einsetzen der gegebenen Werte erhalten wir:
$x(40^\circ)=\left(20\frac{m}{s}\right)^2\cdot \frac{\sin{(2\cdot 40^\circ)}}{9,81\frac{m}{s^2}}$
$=\left(20\frac{m}{s}\right)^2\cdot \frac{\sin{(80^\circ)}}{9,81\frac{m}{s^2}}=40,16m\approx 40m$
Der Fußball fliegt also rund 40m weit.
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Berechne die Wurfweite in Abhängigkeit des Wurfwinkels.
TippsFür die Erdbeschleunigung g kannst du $9,81\frac{m}{s^2}$ verwenden.
Die Wurfweite $x$ kannst du mit der folgenden Formel berechnen:
$x(\alpha)=v_0^2\cdot \frac{\sin{2\alpha}}{g}$.
LösungUm die Wurfweite in Abhängigkeit des jeweiligen Winkels zu berechnen, bestimmen wir $x(\alpha)$ wie folgt:
$x(\alpha)=v_0^2\cdot \frac{\sin{2\alpha}}{g}$.
Setzen wir die gegebenen Werte für $\alpha$ ein, so erhalten wir:
$x(20^\circ)=59 m$
$x(30^\circ)=80m$
$x(45^\circ)=92m$
$x(65^\circ)=70m$
$x(80^\circ)=31m$
Diese Ergebnisse können wir nun nach der Größe ordnen.
Aus der Theorie wissen wir, dass bei einem Winkel von 45° die maximale Wurfweite erreicht wird. Dies können wir bei unseren berechneten Werten ebenfalls feststellen. Die maximale Wurfweite betrug 92 m bei einem Abwurfwinkel von 45°. Vergleicht man die Wurfweite bei 45° mit den anderen Wurfweiten, so liegen alle unterhalb von 92 m.
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Gebe zu den Aussagen, die passende Gleichung an.
TippsDer aktuelle Ort ist abhängig von der Zeit.
Die aktuelle Höhe ist ebenfalls abhängig von der Zeit. Man kann die Höhe an der y-Koordinate ablesen.
Die Geschwindigkeit ändert sich zu jedem Zeitpunkt. Daher ist die Geschwindigkeit abhängig von der Zeit.
Die maximale Wurfweite kann man berechnen, wenn man den Wurfwinkel gegeben hat.
LösungMöchte man den aktuellen Ort wissen, wo sich der Körper zum Zeitpunkt t befindet, so wird folgende Formel verwendet:
$x(t)=v_0 \cos{(\alpha)}\cdot t$ .
Die aktuelle Höhe zum Zeitpunkt t kann durch die Gleichung :
$y(t)= v_0\sin{(\alpha)}\cdot t - \frac{1}{2} gt^2$ berechnet werden.
Möchte man die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt wissen, verwendet man diese Gleichung:
$v(t)=\sqrt{v_0^2-2v_0\cdot \sin{(\alpha)}\cdot g\cdot t +g^2t^2}$ .
Die maximale Wurfweite ist lediglich vom Wurfwinkel abhängig. Kennt man die Geschwindigkeit, mit der ein Körper geworfen wird, so lässt sich die Wurfweite durch:
$x(\alpha)=v_0^2 \cdot \frac{\sin{(2\alpha)}}{g}$ berechnen.
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Berechne die Flugdauer.
TippsDer Ball wird senkrecht abgeschossen. Welchem Winkel entspricht dies?
Die Erdbeschleunigung g beträgt $9,81\frac{m}{s^2}$.
Wenn der Ball auf dem Boden aufkommt, liegt er auf Höhe Null. Daher gilt y(t)=0.
LösungFür die Höhe des Balls zum Zeitpunkt t gilt:
$y(t)=v_0\cdot \sin{(\alpha)}t -\frac{1}{2}gt^2$.
Der Ball wird senkrecht nach oben geschossen. Daher gilt für den Abschusswinkel:
$\alpha=90^\circ$.
Setzen wir dies in die Gleichung ein, erhalten wir:
$y(t)=v_0\cdot \sin{(90^\circ)}t -\frac{1}{2}gt^2=v_0\cdot 1\cdot t -\frac{1}{2}gt^2$.
Wenn der Ball auf dem Boden aufkommt, so ist die Höhe 0. Daher wählen wir y(t)=0 und stellen dies nach t um.
$0=v_0\cdot t -\frac{1}{2}gt^2$
Multiplizieren beider Seiten mit -2:
$0=-2 v_0\cdot t +gt^2$.
Dividieren beider Seiten durch g:
$0=-2\frac{v_0}{g} \cdot t +t^2$
$0=t^2-2\frac{v_0}{g} \cdot t$
Anwenden der p-q-Formel:
$t_{1,2}=\frac{2v_0}{2g}\pm\sqrt{\left(\frac{2v_0}{2g}\right)^2}$
$t_{1,2}=\frac{v_0}{g}\pm\left(\frac{v_0}{g}\right)$
$t_{1}=\frac{v_0}{g}-\left(\frac{v_0}{g}\right)=0$
$t_{2}=\frac{v_0}{g}+\left(\frac{v_0}{g}\right)=\frac{2v_0}{g}$
Das Ergebnis $t_1=0$ beschreibt den Zeitpunkt, an dem wir den Ball abschießen. Daher interessiert uns das Ergebnis $t_2$. Wir setzen die gegebenen Werte ein und erhalten:
$t_2=\frac{2*20\frac{m}{s}}{9,81\frac{m}{s^2}}=4s$.
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Das Video ist eigentlich sehr gut, aber zu viel Stoff für ein einzelnes Video! Sehr schnell und ohne Betonung gesprochen.. Hilfreich, wenn man das Thema schon einmal verstanden hat.