Der waagerechte Wurf – Aufprallgeschwindigkeit und Aufprallwinkel

Der waagerechte Wurf – Aufprallgeschwindigkeit und Aufprallwinkel Übung

• Gib die Herleitung der Aufprallgeschwindigkeit beim waagerechten Wurf wieder.

  Tipps

  Die Geschwindigkeit in $y$-Richtung ist abhängig von der Zeit $t$. Es handelt sich in $y$-Richtung um einen freien Fall.

  Die beiden Geschwindigkeitskomponenten $v_x(t_{max})$ und $v_y(t_{max}) $ entsprechen den Beträgen der beiden zugehörigen Vektorpfeile. Hier siehst du, wie du sie mithilfe des Satzes des Pythagoras addieren kannst.

  Lösung

  Bei der Aufprallgeschwindigkeit handelt es sich um die Geschwindigkeit des Wurfkörpers zur Zeit $t_{max}$, also die Geschwindigkeit beim Aufprall auf dem Boden. Um diese herzuleiten, müssen wir einige Grundlagen zum waagerechten Wurf kennen:

  Beim waagerechten Wurf handelt es sich um eine zusammengesetzte Bewegung:

  • In $x$-Richtung bewegt sich der Flugkörper geradlinig gleichförmig mit konstanter Geschwindigkeit.
  • In $y$-Richtung bewegt sich der Flugkörper in einer geradlinigen gleichmäßig beschleunigten Bewegung nach unten.

  Um die Aufprallgeschwindigkeit zu ermitteln, betrachten wir die beiden Geschwindigkeitskomponenten getrennt:

  Die Geschwindigkeit in $x$-Richtung ist konstant gleich dem Wert der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$:
  $v_x=v_0$
  Da sie konstant ist, gilt auch: $v_x(t_{max})=v_0$

  Die Geschwindigkeit in $y$-Richtung ist abhängig von der Zeit $t$. Es handelt sich in $y$-Richtung um einen freien Fall:
  $v_y(t)= -g \cdot t$ mit der Fallbeschleunigung $g$

  Da für die Wurfdauer $t_{max}$ gilt: $t_{max} = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ gilt, ergibt sich:
  $v_y(t_{max})= -g \cdot \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = - \sqrt{2gh}$

  Die beiden Komponenten

  • $v_x(t_{max})=v_0$
  • $v_y(t_{max})= - \sqrt{2gh}$

  entsprechen den Beträgen der beiden zugehörigen Vektorpfeile. Wir können sie zu $v_{ges}$ addieren, indem wir den Satz des Pythagoras anwenden:

  $v_{ges}(t_{max}) = \sqrt{v_0^2 + (- \sqrt{2gh})^2}$

  Wir fassen zusammen:

  $v_{ges}(t_{max}) = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

  Die Aufprallgeschwindigkeit beträgt also allgemein $v_{ges}(t_{max}) = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$.

• Bestimme den Aufprallwinkel.

  Tipps

  Hier siehst du die vektorielle Darstellung der Geschwindigkeitskomponenten.

  Beginne mit der Betrachtung der einzelnen Geschwindigkeitskomponenten.

  Lösung

  Beim waagerechten Wurf handelt es sich um eine zusammengesetzte Bewegung:

  • In $x$-Richtung bewegt sich der Flugkörper geradlinig gleichförmig mit konstanter Geschwindigkeit.
  • In $y$-Richtung bewegt sich der Flugkörper in einer geradlinigen gleichmäßig beschleunigten Bewegung nach unten.

  Wir wissen, dass für die Aufprallgeschwindigkeit beim waagerechten Wurf allgemein gilt:
  $v_{ges}(t_{max}) = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$
  Dabei ist $v_0$ die waagerechte Abschussgeschwindigkeit, $g$ die Fallbeschleunigung und $h$ die Starthöhe.

  
  

  Betrachtung der Geschwindigkeitskomponenten:
  Den Aufprallwinkel $\alpha$ können wir ermitteln, indem wir die einzelnen Geschwindigkeitskomponenten vektoriell darstellen (siehe Abbildung).

  • $v_x(t_{max}) = v_0$ ist die Geschwindigkeit in $x$-Richtung, sie ist konstant gleich der Anfangsgeschwindigkeit.
  • $v_y(t_{max})= - \sqrt{2gh}$ ist die Geschwindigkeit in $y$-Richtung.
  • $v_{ges}(t_{max}) = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$ ist die Aufprallgeschwindigkeit.

  Anwendung des Tangens:
  Diese drei Geschwindigkeitskomponenten bilden ein rechtwinkliges Dreieck, in dem wir den Aufprallwinkel $\alpha$ einzeichnen können. Wir erkennen, dass wir $\alpha$ mithilfe des Tangens berechnen können. Es gilt der Zusammenhang:
  $\tan(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
  Somit:
  $\tan(\alpha) = \dfrac{|v_y|}{|v_0|} = \dfrac{\sqrt{2gh}}{v_0}$

  Einsetzen der Werte:
  In unserem Beispiel gilt: $h=50 \,\text{m}$ und $v_0=83\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Für die Fallbeschleunigung gilt $g = 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Wir setzen diese Werte ein und erhalten:
  $\tan(\alpha) = \dfrac{\sqrt{2\cdot 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 50 \,\text{m}}}{83\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} \approx 0{,}38$

  Anwendung des Arkustangens:
  Den Winkel $\alpha$ können wir daraus mit dem Arkustangens bestimmen:
  $\alpha = \arctan{(0{,}38)} \approx 21^\circ$

  Schlussfolgerung:
  Der Aufprallwinkel $\alpha$ beträgt $\alpha =21^\circ$.

• Berechne die Aufprallgeschwindigkeit für die gegebenen Beispiele.

  Tipps

  Die Aufprallgeschwindigkeit $v_{ges}(t_{max}) $ kann mithilfe folgender Formel berechnet werden:

  $v_{ges}(t_{max}) = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

  Achte darauf, die Einheiten anzupassen.

  Lösung

  Die Aufprallgeschwindigkeit $v_{ges}(t_{max}) $, also die Geschwindigkeit des Wurfkörpers zur Zeit $t_{max}$, kann mithilfe folgender Formel berechnet werden:

  $v_{ges}(t_{max}) = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

  Dabei ist $v_0$ die waagerechte Abschussgeschwindigkeit, $g$ die Fallbeschleunigung und $h$ die Starthöhe.

  Mithilfe dieser Formel können wir berechnen:

  Beispiel 1:
  Ein Speerwerfer wirft einen Speer mit einer Abwurfgeschwindigkeit von $22\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ waagerecht ab. Die Abwurfhöhe beträgt $1{,}6\,\text{m}$.
  Wir verwenden also folgende Größen:

  • $h = 1{,}6\,\text{m} $
  • $v_0 = 22\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$
  • $g = 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

  Einsetzen ergibt:

  $v_{ges}(t_{max}) = \sqrt{(22\,\frac{\text{m}}{\text{s}})^2 + 2 \cdot 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 1{,}6\,\text{m}} \approx 22{,}7 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}$

  $\rightarrow$ Die Aufprallgeschwindigkeit beträgt $22{,}7 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

  Beispiel 2:
  Ein Ball wird auf einer Höhe von $80\,\text{cm}$ mit einer Abwurfgeschwindigkeit von $8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ waagerecht abgeworfen.
  Wir verwenden also folgende Größen:

  • $h = 80\,\text{cm} = 0{,}8\,\text{m}$
  • $v_0 = 8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$
  • $g = 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

  Einsetzen ergibt:

  $v_{ges}(t_{max}) = \sqrt{(8\,\frac{\text{m}}{\text{s}})^2 + 2 \cdot 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}8\,\text{m}} \approx 8{,}9 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}$

  $\rightarrow$ Die Aufprallgeschwindigkeit beträgt $8{,}9 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

  Beispiel 3:
  Eine Kugel wird von $3\,\text{m}$ Höhe mit einer Abwurfgeschwindigkeit von $39{,}6\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ waagerecht abgeschossen.
  Wir verwenden also folgende Größen:

  • $h = 3\,\text{m} $
  • $v_0 = 39{,}6\,\frac{\text{km}}{\text{h}}= 11\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$
  • $g = 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

  Einsetzen ergibt:

  $v_{ges}(t_{max}) = \sqrt{(11\,\frac{\text{m}}{\text{s}})^2 + 2 \cdot 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 3\,\text{m}} \approx 13{,}4 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}$

  $\rightarrow$ Die Aufprallgeschwindigkeit beträgt $13{,}4 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

  ​

• Berechne die Aufprallgeschwindigkeit und den Aufprallwinkel für das gegebene Beispiel.

  Tipps

  Wandle die Einheit der Geschwindigkeit um:

  $v_0 = 43{,}2\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = 12\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$

  Die Formel für die Aufprallgeschwindigkeit lautet:

  $v_{ges}(t_{max}) = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

  Lösung

  Um die Aufprallgeschwindigkeit zu ermitteln, verwenden wir die Formel:
  $v_{ges}(t_{max}) = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$
  Dabei ist $v_0$ die waagerechte Abschussgeschwindigkeit, $g$ die Fallbeschleunigung und $h$ die Starthöhe.

  Um den Aufprallwinkel zu bestimmen, verwenden wir folgende Formel:
  $\tan(\alpha) = \dfrac{\sqrt{2gh}}{v_0} \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = \arctan{\left(\dfrac{\sqrt{2gh}}{v_0}\right)}$

  Mithilfe dieser Formeln können wir das Beispiel berechnen. Dabei verwenden wir folgende Größen:

  • $h = 2{,}3\,\text{m} $
  • $v_0 = 43{,}2\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = 12\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$
  • $g = 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

  Einsetzen ergibt:

  Aufprallgeschwindigkeit:

  $v_{ges}(t_{max}) = \sqrt{(12\,\frac{\text{m}}{\text{s}})^2 + 2 \cdot 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 2{,}3\,\text{m}} \approx 13{,}8 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}$

  $\Rightarrow$ Die Aufprallgeschwindigkeit beträgt $13{,}8 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

  Aufprallwinkel:

  $\tan(\alpha) = \dfrac{\sqrt{2\cdot 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 2{,}3 \,\text{m}}}{12\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} \approx 0{,}56$

  $\Rightarrow \alpha = \arctan{(0{,}56)} \approx 29{,}2^\circ$

  $\Rightarrow$ Der Aufprallwinkel beträgt $29{,}2^\circ$.

• Benenne die Fachbegriffe zum waagerechten Wurf.

  Tipps

  Die Abwurfhöhe ist hier blau markiert.

  Die Wurfweite kann man auf der $x$-Achse ablesen.

  Der Begriff Wurfparabel beschreibt die Bahnkurve des Wurfkörpers.

  Lösung

  Wir können die Wurfbahn eines Wurfkörpers bei einem waagerechten Wurf in einem Koordinatensystem darstellen. Dabei stellt die $x$-Achse den Boden dar. An der $y$-Achse können wir die Höhe des Wurfkörpers ablesen. Der Wurfkörper bewegt sich gleichzeitig waagerecht und nach unten.
  Wir definieren folgende Begriffe:

  Die Wurfparabel:
  Sie beschreibt die Bahnkurve des Wurfkörpers.

  Die Abwurfhöhe:
  Sie gibt an, auf welcher Höhe der Wurfkörper abgeworfen wird. Wir können sie an der $y$-Achse ablesen.

  Die Wurfweite:
  Sie beschreibt, wie weit der Wurfkörper in $x$-Richtung geflogen ist. Wir können sie an der $x$-Achse ablesen, wo die Parabel die $x$-Achse trifft.

  Der Aufprallwinkel:
  Er gibt an, in welchem Winkel der Wurfkörper auf dem Boden auftrifft.

• Leite Aussagen zur Aufprallgeschwindigkeit und zum Aufprallwinkel beim waagerechten Wurf her.

  Tipps

  Für den Aufprallwinkel $\alpha$ gilt der Zusammenhang $\tan(\alpha) = \dfrac{\sqrt{2gh}}{v_0}$ beziehungsweise: $\alpha = \arctan{\left( \dfrac{\sqrt{2gh}}{v_0}\right)} $.

  In der Formel für den Tangens des Aufprallwinkels steht die Abwurfgeschwindigkeit $v_0$ im Nenner. Eine größere Abwurfgeschwindigkeit bedeutet also, dass der Tangens kleiner wird. Daraus resultiert wiederum ein kleinerer Aufprallwinkel.

  Lösung

  Um korrekte Sätze zu bilden, wiederholen wir zunächst, was wir über die Aufprallgeschwindigkeit und den Aufprallwinkel beim waagerechten Wurf wissen:

  Die Aufprallgeschwindigkeit $v_{ges}(t_{max})$ beträgt allgemein $v_{ges}(t_{max}) = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$.

  Für den Aufprallwinkel $\alpha$ gilt der Zusammenhang $\tan(\alpha) = \dfrac{\sqrt{2gh}}{v_0}$ beziehungsweise: $\alpha = \arctan{\left( \dfrac{\sqrt{2gh}}{v_0}\right)} $.

  Damit ergeben sich folgende Aussagen:

  Aussage 1:
  Je größer die Abwurfgeschwindigkeit, umso größer ist die Aufprallgeschwindigkeit und umso kleiner ist der Aufprallwinkel.
  Wir betrachten dazu die Formel der Aufprallgeschwindigkeit. Vergrößert sich die Abwurfgeschwindigkeit $v_0$, vergrößert sich auch der Term $v_0^2$. Wird dieser Term größer, wird auch der gesamte Wurzelausdruck größer. Somit bedeutet eine größere Abwurfgeschwindigkeit auch eine größere Aufprallgeschwindigkeit.
  In der Formel für den Tangens des Aufprallwinkels steht die Abwurfgeschwindigkeit $v_0$ im Nenner. Eine größere Abwurfgeschwindigkeit bedeutet also, dass der Tangens kleiner wird. Daraus resultiert wiederum ein kleinerer Aufprallwinkel.

  Aussage 2:
  Je kleiner die Abwurfgeschwindigkeit, umso kleiner ist die Aufprallgeschwindigkeit und umso größer ist der Aufprallwinkel.
  Diese Aussage resultiert direkt aus Aussage 1.

  Aussage 3:
  Je größer die Abwurfhöhe, umso größer ist die Aufprallgeschwindigkeit und umso größer ist der Aufprallwinkel.
  Wir betrachten dazu die Formel der Aufprallgeschwindigkeit. Hier kommt die Abwurfhöhe $h$ vor. Vergrößert sich ihr Wert, vergrößert sich auch der gesamte Radikand (Wert unter der Wurzel) und somit der gesamte Wurzelausdruck. Somit resultiert aus einer größeren Abwurfhöhe eine größere Aufprallgeschwindigkeit.
  In der Formel für den Tangens des Aufprallwinkels steht die Abwurfgeschwindigkeit $v_0$ im Zähler. Eine größere Abwurfgeschwindigkeit bedeutet also, dass der Tangens größer wird. Daraus resultiert wiederum ein größerer Aufprallwinkel.

  Aussage 4:
  Je kleiner die Abwurfhöhe, umso kleiner ist die Aufprallgeschwindigkeit und umso kleiner ist der Aufprallwinkel.
  Diese Aussage resultiert direkt aus Aussage 3.