Schiefe Ebene (Übungsvideo)

Schiefe Ebene (Übungsvideo) Übung

• Gib an, wie man eine Steigung von 25 % auf der Bergstraße von einem Kilometer Länge grafisch darstellt.

  Tipps

  Wo verläuft die Bergstraße und wie lang ist diese?

  Welche Seite des Dreiecks kennzeichnet die Höhe h?

  Die dritte Dreiecksseite ist die Projektion der Bergstraße auf den (gedachten) ebenen Erdboden und wird mit x gekennzeichnet.

  Eine Steigung von 25 % bedeutet, dass die Höhe h ein Viertel der Strecke x beträgt.

  Lösung

  Betrachtet man in der Physik Steigungen wie an einer Bergstraße, so ergibt sich in der Skizze ein Dreieck: Waagerecht zum Erdboden verläuft die Dreiecksseite, die den zurückgelegten Weg auf ebenem Grund markiert. Diese hat hier die Bezeichnung x erhalten. Senkrecht darauf steht die Dreiecksseite, die die zurückgelegte Höhe h beschreibt. Die Hypotenuse in diesem Dreieck beschreibt den Verlauf der Bergstraße. Sie ist in diesem Beispiel einen Kilometer lang.

  Steigungen beziehen sich dabei immer auf die (gedachte) Strecke, die ein Wagen auf einem ebenen Grund zurücklegt. Bei einer Steigung von 25 % legt der Wagen dann 25 % dieser Strecke als Höhe zurück. Daher kann man x auch durch 4h ersetzen und h umgekehrt durch 0,25x.

  Gut merken kannst du dir das, wenn du dir eine Steigung von 100 % vorstellst: Beide Dreiecksseiten sind gleich lang, dies entspricht einem Steigungswinkel von 45°. Der Wagen fährt nicht senkrecht nach oben, wie man vielleicht auf den ersten Blick meinen könnte.

  Mit Hilfe der Skizze lassen sich weitere Aussagen mit Hilfe des Satzes von Pythagoras treffen: Wenn Peter die Bergstraße mit seinem Wagen einen Kilometer nach oben fährt, muss er dabei rund 243 Höhenmeter zurücklegen und legt auf ebenem Grund eine Strecke von Metern zurück.

• Gib die Größe der Kräfte an, die an Peters Wagen gekennzeichnet sind.

  Tipps

  Die Gewichtskraft bestimmt sich aus dem Produkt von Masse m und Ortsfaktor g.

  Hangabtriebskraft und Normalkraft entsprechen jeweils einem bestimmten Anteil der Gewichtskraft.

  Welche trigonometrische Funktion wird bei diesen beiden Kräften jeweils verwendet, um diesen Anteil auszudrücken (siehe Abbildung).

  Lösung

  Die Gewichtskraft wird auf der Erdoberfläche nach dem bekannten Formel $F_G=m\cdot g$ berechnet. Sie ist die einzige Kraft, die an der schiefen Ebene tatsächlich auftritt.

  Die Normalkraft und die Hangabtriebskraft existieren in dieser Form an der schiefen Ebene nicht wirklich. Sie dienen der Vereinfachung von verschiedenen Lösungswegen und repräsentieren bestimmte Anteile der Gewichtskraft. Daher ist in ihren Formeln diese auch zu finden sowie die jeweilige Winkelfunktion des rechtwinkligen Dreiecks, das Gewichtskraft, Hangabtriebskraft und Normalkraft bilden.

  Die Hangabtriebskraft ergibt sich mit $F_H=F_G\cdot sin\alpha$. Sie ist Null, wenn der Steigungswinkel Null ist, das Auto also auf ebener Erde steht.

  Die Normalkraft berechnet sich analog zu $F_N=F_G\cdot cos\alpha$. Sie ist Null, wenn der Steigungswinkel $90°$ beträgt, da dann Gewichtskraft und Hangabtriebskraft zusammenfallen.

• Ermittle, ob Markus seine Oma gefahrlos auf der Rollstuhlrampe stehen lassen kann.

  Tipps

  Welche entgegengesetzten Kräfte werden hier betrachtet?

  Wann würde sich der Rollstuhl bewegen, wann nicht?

  Wie kannst du die fehlende Kraft rechnerisch ermitteln?

  Lösung

  Gegeben:

  $F_H=153~N$

  $F_N=785~N$

  $\mu_{Haft}=0,7$

  Gesucht:

  $F_{Haft}$

  Lösung:

  Es gilt: $F_{Haft}=F_N\cdot \mu_{Haft}=785~N\cdot 0,7=550~N$.

  Antwort:

  Die Haftreibungskraft ist mit 550 Newton deutlich größer als die entgegengesetzt gerichtete Hangabtriebskraft mit 153 Newton. Darum bleibt der Rollstuhl von Markus Oma bei trockenem Untergrund in jedem Fall sicher stehen. Anders ist dies, wenn sich die Verhältnisse zwischen den Reifen des Rollstuhls und dem Boden im Freien zum Beispiel durch Eisbildung ändern. Dann kann ein sicherer Stand gefährdet sein.

• Berechne die Masse des Schlittenfahrers.

  Tipps

  Fertige dir gegebenenfalls eine Skizze mit den gegebenen Werten an.

  Notiere dir die gegebenen und gesuchten Größen.

  Wähle die Formel zur Berechnung der Hangabtriebskraft aus und stelle sie nach der gesuchten Größe um.

  Setze die Größen in die umgeformte Gleichung $m=\frac {F_H} {g\cdot sin\alpha}$ ein.

  Bestimme die Masse von Lars mithilfe des Zusammenhangs $m=m_{Schlitten}+m_{Lars}$.

  Lösung

  Gegeben:

  $F_H=175~N$

  $\alpha=30°$

  $g=10\frac {m} {s^2}$

  $m_{Schlitten}=5~kg$

  Gesucht:

  $m_{Lars}$

  Lösung:

  (1) Es gilt: $F_H=m\cdot g\cdot sin\alpha$.

  (2) Umstellen nach m ergibt: $m=\frac {F_H} {g\cdot sin\alpha}$.

  (3) Einsetzen der Größen liefert: $m=\frac {175~N} {10\frac {m} {s^2}\cdot \frac 12}=35~kg$.

  (4) Aus der Gesamtmasse ergibt sich für die Masse von Lars wegen $m=m_{Schlitten}+m_{Lars}$ somit: $m_{Lars}=m-m_{Schlitten}=35~kg-5~kg=30~kg$.

• Gib an, welche mathematischen Zusammenhänge für die Höhe h einer schiefen Ebene gelten.

  Tipps

  Das gezeigte Dreieck ist rechtwinklig.

  Es kann der Satz des Pythagoras angewendet werden.

  Wo liegt die Hypotenuse, wo die Katheten?

  Ist die Höhe h eine Kathete oder die Hypotenuse?

  Lösung

  Im rechtwinkligen Dreieck einer schiefen Ebene ist die Höhe h eine der beiden Katheten.

  Somit gilt nach dem Satz des Pythagoras: $l^2=x^2+h^2$.

  Diese Formel kann nach h umgestellt werden: $h^2=l^2-x^2$.

  Durch Wurzelziehen ergibt sich ein Zusammenhang, mit dem h direkt berechnet werden kann: $h=\sqrt {l^2-x^2}$.

  Diese Formeln sind für die Höhe h einer schiefen Ebene allgemein immer gültig. Meist sind zudem noch weitere Details bekannt wie die Steigung, mit deren Hilfe sich die Formeln noch vereinfachen können.

• Leite ab, wie sich die Haftreibungszahl im beschriebenen Beispiel verändert hat.

  Tipps

  In welcher Größenordnung erwartest du das Ergebnis?

  Wie kannst du mit Hilfe des Steigungswinkels einen Zusammenhang zur Haftreibungszahl herstellen?

  Lösung

  Ein möglicher Lösungsweg ist es, aus dem Steigungswinkel der Rampe die Steigung in Prozent zu bestimmen. Dieser Wert liefert dann direkt den Grenzwert für die Haftreibungszahl.

  Dazu kann der Tangens verwendet werden: Im Steigungsdreieck entspricht der Gegenkathete die Höhe h und der Ankathete die Strecke x. Dieses Verhältnis entspricht der Definition der Steigung: Sie gibt das Verhältnis der Höhe h zur Strecke x wieder. Dann ergibt sich die Steigung zu: $tan\alpha=\frac hx=tan (11,5°)=0,20$. Die Steigung beträgt rund 20 Prozent. Auf ein Meter Strecke wird beispielsweise ein Höhenunterschied von 20 Zentimetern überwunden.

  Dieser Wert entspricht auch gleichzeitig der (maximalen) Haftreibungszahl. Wahrscheinlich hat sich durch Eisbildung die Beschaffenheit der Rampe stark verändert und die Haftreibungszahl im Vergleich zur vorangegangenen Aufgabe deutlich verringert. Markus kann seine Oma im Rollstuhl nicht mehr gefahrlos auf der Rampe abstellen.