Die schiefe Ebene
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Grundlagen zum Thema Die schiefe Ebene
Die schiefe Ebene
Die schiefe oder geneigte Ebene begegnet dir in vielen verschiedenen Situationen im Alltag. Zum Beispiel überall dort, wo es eine Rampe gibt. Aber auch eine Straße, die bergab verläuft, können wir als schiefe Ebene bezeichnen. Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie wir die wirkenden Kräfte an der schiefen Ebene berechnen können.
Schiefe Ebene – Definition
Als schiefe Ebene bezeichnen wir eine ebene Fläche, die in einem Winkel $\alpha$ gegen die Horizontale geneigt ist. Der Winkel zwischen der Ebene und der Horizontalen heißt Neigungswinkel.
Schiefe Ebene – Kräfte berechnen
Wir wollen nun herleiten, wie wir die Kräfte an einer schiefen Ebene berechnen können. Dazu stellen wir uns zunächst die folgende Situation vor: Ein Objekt, zum Beispiel eine Murmel, liegt auf einer ebenen Platte. Wenn die Platte auf dem Boden liegt, also horizontal ausgerichtet ist, bewegt sich die Murmel nicht. Wenn die Platte auf einer Seite angehoben wird, rollte die Murmel. Je steiler die Platte geneigt ist, umso schneller rollt die Kugel hinab.
Wir können aus diesem Gedankenexperiment die folgende Schlussfolgerung ziehen: Je größer der Neigungswinkel $\alpha$ ist, umso größer ist die Kraft $F_H$, die die Kugel beschleunigt. Wir wissen außerdem, dass insgesamt nur die Gewichtskraft $F_g=mg$ auf die Kugel wirkt. Wenn die Platte senkrecht auf der Horizontalen steht, also der Winkel $\alpha$ gerade $90^{\circ}$ beträgt, entspricht die Bewegung der Kugel ja gerade dem freien Fall. Dann führt die gesamte Gewichtskraft zur Beschleunigung der Kugel, es gilt also $F_H = F_g$. Wenn der Winkel $\alpha$ hingegen $0^{\circ}$ beträgt, die Platte also horizontal ist, bewegt sich die Kugel überhaupt nicht. Es wirkt also keine Kraft $F_H$, die zur Beschleunigung der Kugel entlang der Ebene führt. Wir kennen also schon zwei Werte für die Kraft $F_H$, die zur Bewegung der Murmel entlang der schiefen Ebene führt:
$\alpha = 90^{\circ} \Rightarrow F_H = F_g = mg$
$\alpha = 0 \Rightarrow F_H = 0$
Die Kraft $F_H$ nennen wir Hangabtriebskraft, weil sie zu einer Bewegung entlang der Ebene führt – also den Hang hinab, wenn man einen Berg betrachten würde. Sie wirkt parallel zur Ebene. Bei $\alpha = 0$ ist sie, wie wir bereits festgestellt haben, null. Die Schwerkraft wirkt in dieser Situation natürlich auch – sie wirkt allerdings senkrecht zur Platte und sorgt dafür, dass die Murmel auf diese gepresst wird. Für alle Winkel $\alpha$ zwischen $0$ und $90$ Grad teilt sich die Gewichtskraft in Komponenten parallel und senkrecht zur Ebene auf. Wie diese Aufteilung genau aussieht, können wir mithilfe eines Kräfteparallelogramms rechnerisch bestimmen.
Im Kräfteparallelogramm haben wir die Gewichtskraft $F_g$ in zwei Komponenten aufgeteilt, die senkrecht zueinander stehen. Eine Komponente ist die Hangabtriebskraft $F_H$ und die andere, die senkrecht auf der Ebene steht, nennen wir Normalkraft $F_N$. Der Winkel zwischen der Gewichtskraft $F_g$ und der Normalkraft $F_N$ ist gleich dem Neigungswinkel $\alpha$ der Ebene. Das kannst du dir folgendermaßen überlegen:
Für die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks gilt: $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$. Wenn der Winkel $\gamma$ ein rechter Winkel ist, also $\gamma= 90^{\circ}$, muss für den Winkel $\beta$ gelten:
$\beta = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - \alpha$
Im Kräfteparallelogramm entspricht der Winkel zwischen $F_g$ und $F_H$ dem Winkel $\beta$, denn wir könnten das Kräfteparallelogramm einfach an das obere Ende der Ebene verschieben. Weil die Normalkraft $F_N$ und die Hangabtriebskraft $F_H$ senkrecht zueinander stehen, muss der Winkel zwischen $F_N$ und $F_g$ genau $\alpha$ sein.
Mit diesem Wissen können wir den Sinus benutzen, um die Kraft $F_H$ zu berechnen. Für den Sinus des Winkels $\alpha$ gilt:
$\sin(\alpha) = \frac{F_H}{F_g} $
Das können wir nach $F_H$ umstellen und die Gewichtskraft einsetzen. Damit erhalten wir für die Hangabtriebskraft der schiefen Ebene die Formel:
$F_H = mg\sin(\alpha)$
Da der Sinus immer kleiner oder gleich eins ist, ist auch die Hangabtriebskraft immer kleiner oder gleich der Gewichtskraft. Die Hangabtriebskraft ist null für einen Winkel von $\alpha = 0^{\circ}$ und maximal für einen Winkel von $\alpha = 90^{\circ}$. Genau das sind die Fälle, die wir oben betrachtet haben. Auch die Normalkraft ist immer kleiner oder gleich der Gewichtskraft, nur dass diese für einen Winkel von null Grad maximal ist. Dann wird die Kugel am stärksten auf die Ebene gedrückt.
Transkript Die schiefe Ebene
Menschen, die einen Rollstuhl benutzen, können meist mit Treppen nicht viel anfangen. Sie verwenden Rampen. Warum ist eine Rampe für Menschen im Rollstuhl überhaupt besser benutzbar als eine Treppe? Und was geht da eigentlich physikalisch ab? Die Antwort darauf gibt dir dieses Video: "Die schiefe Ebene". Der physikalische Fachbegriff für eine Rampe ist “schiefe Ebene” oder "geneigte Ebene".Stell dir vor, eine Kugel liegt mittig auf einem Brett. Auf die Kugel wirkt durch die Erdanziehung eine Gewichtskraft nach unten. Sie bewegt sich aber nicht, weil die Unterlage verhindert, dass sie fällt. Nun wird das Brett angehoben. Die Kugel rollt nach unten. Welche Kraft ist denn nun dafür verantwortlich? Wir nennen diese Kraft Hangabtriebskraft F-H. Sie wirkt offenbar entlang der Neigung des Bretts. Aber woher kommt die plötzlich? Und wie können wir sie berechnen? Wir vereinfachen die Situation etwas, indem wir die Kugel zu einem Punkt machen, den wir K nennen, und das Brett zu einem Strich. Wir ergänzen noch zwei weitere Strecken und benennen die Höhe der schiefen Ebene mit h und ihre Länge mit l. Den Neigungswinkel nennen wir Alpha und die Punkte des entstandenen rechtwinkligen Dreiecks A, B und C. Die Gewichtskraft wirkt immer noch nach unten. Stell dir vor, das Ganze läge vor dir und du würdest von oben drauf schauen. Wenn du jetzt in Richtung der Gewichtskraft an einer Schnur ziehen würdest, würde sich die Kugel nicht in Richtung dieser Kraft bewegen, sondern in die einzige Richtung, in die sie sich bewegen kann. Entlang der Neigung nach rechts. Vielleicht kennst du das Prinzip der Kräftezerlegung. Genau das findet hier statt: Die schiefe Ebene zerlegt die Gewichtskraft in zwei Komponenten: Eine ENTLANG der Neigung und die andere SENKRECHT dazu. Beide ergeben addiert wieder die Gewichtskraft. Wenn du vergessen hast, wie man Kraftpfeile (also Vektoren) addiert, schau dir gerne noch einmal unser Video dazu an. Die senkrechte Komponente, die sogenannte Normalkraft F-N, muss senkrecht auf der schiefen Ebene stehen und in der Pfeilspitze der Gewichtskraft enden. Jetzt zeichnen wir den Pfeil entlang der schiefen Ebene von der Kugel zum Beginn von F-N und haben die gesuchte Hangabtriebskraft. Nun verschieben wir noch F-N parallel, da die Normalkraft ja nicht irgendwo, sondern im Schwerpunkt der Kugel angreift. In der Skizze siehst du jetzt das typische Kräfteparallelogramm der Kräfteaddition. Die schiefe Ebene ABC bildet ein rechtwinkliges Dreieck, ebenso wie das Kräftedreieck KLM. Wir zeichnen nun den Winkel Beta beim Punkt B ein und weitere rechte Winkel. Hast du eine Idee, welchem Winkel der mit dem Fragezeichen versehene Winkel bei L entspricht? Alpha und Beta und der rechte Winkel ergeben zusammen einhundertachtzig Grad. Dann sind Alpha und Beta zusammen neunzig Grad und der Winkel mit dem Fragezeichen ist offensichtlich Beta. Und damit können wir die beiden Winkel in dem Kräftedreieck KLM bestimmen. Der untere Winkel ist Alpha, denn Alpha und Beta ergeben neunzig Grad. Der obere Winkel ist dann wieder Beta. Damit können wir einen Zusammenhang zwischen der Gewichtskraft F-G, der Hangabtriebskraft F-H und dem Neigungswinkel herstellen. Rechtwinkliges Dreieck (…) Winkel (…) Richtig: Sinus und Cosinus! Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, können wir direkt die DEFINITION des Sinus benutzen! Es gilt ja: Sinus von Alpha gleich Gegenkathete durch Hypotenuse. Also ist: Sinus Alpha gleich F-H durch F-G. Oder umgeformt: F-H gleich F-G mal Sinus Alpha. Kann das stimmen? Ja. Im Bereich zwischen null und neunzig Grad wird der Sinus größer, wenn der Winkel größer wird, also auch F-H. Je steiler, desto rutschiger, check. Für alpha gleich null Grad wird F-H null, weil Sinus von null "null" ist. Check. Ohne Neigung keine Hangabtriebskraft. Für alpha gleich neunzig Grad wird Sinus "eins" und F-H gleich F-G. Check. Der Körper verliert bei neunzig Grad den Halt unter den Füßen. Damit haben wir herausgefunden, warum für Menschen, die einen Rollstuhl benutzen, Rampen so nützlich sind. Sie reduzieren die nötige Kraft beim Weg aufwärts und die wirkende Kraft beim Weg abwärts. Dafür wird der Weg länger. Die Länge der schiefen Ebene l ist stets größer als die Höhe h. Und damit sind wir bei einer der wichtigsten Regeln der Physik: der GOLDENEN REGEL der Mechanik. Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zugeben. Ein kurzer Blick zurück auf unsere Dreiecke zeigt, dass Sinus Alpha auch h durch l ist. Dann gilt also F-H durch F-G gleich h durch l. Oder auch: F-H mal l gleich F-G mal h. Kleine Kraft mal lange Strecke gleich große Kraft mal kurze Strecke. Die goldene Regel der Mechanik als Formel. Und bevor wir sehen, wohin unsere Rollstuhlbenutzerin eigentlich unterwegs war, fassen wir zusammen. Die schiefe Ebene zerlegt die Gewichtskraft in zwei Komponenten: Eine entlang der Neigung und die andere senkrecht dazu. Beide ergeben addiert wieder die Gewichtskraft. Je größer der Neigungswinkel, also je steiler die schiefe Ebene ist, desto größer wird die Hangabtriebskraft. Die Hangabtriebskraft ist gleich Gewichtskraft mal Sinus Alpha. Rampen reduzieren die nötige Kraft beim Weg aufwärts und die wirkende Kraft beim Weg abwärts. Dafür wird der Weg länger. Dies ist ein Beispiel für die Goldene Regel der Mechanik: Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zugeben. Und wo es hoch geht, da geht es auch wieder runter.
Die schiefe Ebene Übung
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Definiere, was eine schiefe Ebene ist.
TippsDie Formelzeichen hängen immer mit den jeweiligen physikalischen Fachbegriffen zusammen. Versuche also, anhand der Formelzeichen auf den richtigen Begriff zu kommen.
Überlege dir auch, was geschieht, wenn du eine Platte bewegst, auf der eine Murmel liegt: Was passiert mit der Murmel, wenn du die Platte neigst?
LösungAls schiefe Ebene bezeichnen wir eine ebene Fläche, die in einem Winkel $\alpha$ gegen die Horizontale geneigt ist. Der Winkel zwischen der Ebene und der Horizontalen heißt Neigungswinkel.
Ein Objekt, zum Beispiel eine Murmel, liegt auf einer ebenen Platte. Wenn die Platte auf dem Boden liegt, also horizontal ausgerichtet ist, bewegt sich die Murmel nicht. Wenn die Platte auf einer Seite angehoben wird, rollt die Murmel. Je steiler die Platte geneigt ist, umso schneller rollt die Kugel hinab.
Je größer der Neigungswinkel $\alpha$ ist, umso größer ist die Kraft $F_H$, die die Kugel beschleunigt. Die Kraft $F_H$ nennen wir Hangabtriebskraft, weil sie zu einer Bewegung entlang der Ebene führt, also den Hang hinab, wenn man einen Berg betrachten würde. Wir wissen außerdem, dass insgesamt nur die Gewichtskraft $F_G$ auf die Kugel wirkt. Des Weiteren gibt es noch eine Kraft, die senkrecht auf der Ebene steht: die Normalkraft $F_N$.
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Vervollständige die Abbildung der schiefen Ebene.
TippsÜberlege dir zunächst noch einmal, welche Kräfte bei einer schiefen Ebene wirken.
Bei einer schiefen Ebene gibt es:
- die Normalkraft
- die Gewichtskraft
- die Hangabtriebskraft
Die Formelzeichen lauten wie folgt:
- Gewichtskraft: $F_G$
- Normalkraft: $F_N$
- Hangabtriebskraft: $F_H$
Ein Dreieck hat eine Innenwinkelsumme von $180^\circ$. Das bedeutet, dass $\alpha+\beta$ insgesamt $90^\circ$ ergeben muss.
Überlege dir nun, welcher Winkel von denen der kleinere Winkel ist. Überlege auch, welche Dreiecke in der Abbildung identisch sind und wo dann also auch dieselben Winkel zu finden sind.
LösungIm Kräfteparallelogramm haben wir die Gewichtskraft $F_G$ in zwei Komponenten aufgeteilt, die senkrecht zueinander stehen. Eine Komponente ist die Hangabtriebskraft $F_H$. Die andere, die senkrecht auf der Ebene steht, nennen wir Normalkraft $F_N$. Der Winkel zwischen der Gewichtskraft $F_G$ und der Normalkraft $F_N$ ist gleich dem Neigungswinkel $\alpha$ der Ebene. Das kannst du dir folgendermaßen überlegen:
Für die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks gilt:
$\alpha+\beta+\gamma=180°$
Wenn der Winkel $\gamma$ ein rechter Winkel ist, also $\gamma=90°$, muss für den Winkel $\beta$ gelten:
$\beta=180°-90°-\alpha=90°-\alpha$
Im Kräfteparallelogramm entspricht der Winkel zwischen $F_G$ und $F_H$ dem Winkel $\beta$, denn wir könnten das Kräfteparallelogramm einfach an das obere Ende der Ebene verschieben. Weil die Normalkraft $F_N$ und die Hangabtriebskraft $F_H$ senkrecht zueinander stehen, muss der Winkel zwischen $F_N$ und $F_G$ genau $\alpha$ sein.
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Ermittle, wo am meisten Kraft aufgewendet wird.
TippsSchiefe Ebenen reduzieren die nötige Kraft beim Weg aufwärts und die wirkende Kraft beim Weg abwärts. Dafür wird der Weg länger: Überlege dir anhand der Abbildungen, bei welchen der Weg länger bzw. kürzer ist.
Die goldene Regel der Mechanik lautet:
Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zugeben.
Je steiler die schiefe Ebene, desto mehr Kraft muss aufgewendet werden: Schaue dir die Abbildungen an und überlege, welche schiefen Ebenen davon steiler sind als andere.
LösungSchiefe Ebenen reduzieren die nötige Kraft beim Weg aufwärts und die wirkende Kraft beim Weg abwärts. Dafür wird der Weg länger.
Die goldene Regel der Mechanik lautet: Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zugeben.
Je steiler die schiefe Ebene, desto mehr Kraft muss also aufgewendet werden. Je flacher also die schiefe Ebene ist, desto weniger Kraft muss aufgewendet werden. Wir müssen die Abbildungen deshalb so sortieren, dass die flachste schiefe Ebene zuerst kommt.
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Berechne die Hangabtriebskraft.
TippsÜberlege dir zunächst, welche gegebenen Werte für die Länge, die Höhe und die Gewichtskraft stehen könnten, indem du dir den Sachverhalt bildlich vorstellst.
Folgende Formel kannst du zur Berechnung nutzen:
$F_H \cdot l = F_G\cdot h$
Überlege dir, was gesucht ist und stelle die Formel nach dieser Größe um.
LösungAus der Aufgabe können wir Folgendes entnehmen:
Gegeben:
- Länge $l=4~\text{m}$
- Höhe $h=0{,}3~\text{m}$
- Gewichtskraft $F_G=10.000~\text{N}$
Gesucht:
- Hangabtriebskraft $F_H$
Folgende Formel können wir zur Berechnung nutzen:
$F_G\cdot h=F_H \cdot l$
Da wir $F_H$ suchen, müssen wir die Formel zunächst umstellen, indem wir durch $l$ dividieren:
$F_G\cdot h=F_H \cdot l \qquad |:l$
$\Rightarrow \dfrac{F_G\cdot h}{l}=F_H$
Dann setzen wir die gegebenen Werte ein:
$F_H=\dfrac{10\,000~\text{N}\cdot0{,}3~\text{m}}{4~\text{m}}$
$\Rightarrow F_H=750~\text{N}$
Es ergibt sich eine Hangabtriebskraft von $750~\text{N}$.
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Definiere die goldene Regel der Mechanik.
TippsStelle dir für die vier Antwortmöglichkeiten ein Anwendungsbeispiel vor.
Stelle dir eine Kugel vor, die du auf eine Höhe von beispielsweise $5~\text{m}$ bringen möchtest: Wie viel Kraft brauchst du, wenn die schiefe Ebene länger bzw. kürzer ist?
Umso länger die schiefe Ebene ist, umso weniger Steigung hat sie: Brauchst du dann mehr oder weniger Kraft?
Lösung- Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zugeben.
- Wenn du Weg sparst, sparst du auch Kraft.
- Umso kleiner der Neigungswinkel, umso größer ist die Kraft.
- Umso länger die schiefe Ebene, umso größer ist die Kraft.
-
Bestimme die Länge der Serpentine.
TippsÜberlege, was mit den $8~\%$ der Gewichtskraft gemeint sein könnte.
Die Hangabtriebskraft und die Gewichtskraft stehen im Verhältnis zueinander $\left(\Rightarrow~\dfrac{F_H}{F_G}\right)$.„Prozent“ bedeutet „Hundertstel“. Das heißt, dass das Verhältnis der beiden Kräfte $\dfrac{F_H}{F_G}= 0{,}08$ ergeben muss, da $8:100=0{,}08$ ist.
Folgendes kannst du der Aufgabe entnehmen:
Gegeben:
- Höhe $h=670~\text{m}$
- $\dfrac{F_H}{F_G}=0{,}08=8~\%$
Gesucht:
- Länge $l$
Die Formel zur Berechnung lautet:
$\dfrac{F_H}{F_G}=\dfrac{h}{l}$
Dort musst du nun alle gegebenen Werte einsetzen.
Da wir die Länge $l$ suchen, musst du die Formel noch nach dieser Größe umstellen.
Die umgestellte Formel lautet dann:
$l=h:\dfrac{F_H}{F_G}$
LösungFolgendes können wir der Aufgabe entnehmen:
Gegeben:
- Höhe $h=670~\text{m}$
- $\dfrac{F_H}{F_G}=0{,}08=8~\%$
Gesucht:
- Länge $l$
Die Formel zur Berechnung lautet:
$\dfrac{F_H}{F_G}=\dfrac{h}{l}$
Da wir die Länge $l$ suchen, musst du die Formel noch nach dieser Größe umstellen. Dies können wir wie folgt:
$\begin{align} \dfrac{F_H}{F_G}=\dfrac{h}{l} \qquad &|\cdot l\\ \dfrac{F_H}{F_G}\cdot l=h \qquad &|:\dfrac{F_H}{F_G} \end{align}$
$\Rightarrow l=h:\dfrac{F_H}{F_G}$
Dort setzen wir alle Werte ein und erhalten:
$l=670~\text{m}:0{,}08$
$\Rightarrow l=8\,375~\text{m}$
Die Länge der Serpentine beträgt somit $8\,375~\text{m}$.
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ähm, ein gutes video aber sinus und cosinus hatte ich noch gar nicht😐😕