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Die schiefe Ebene

Die schiefe Ebene ist eine geneigte Fläche, deren Neigungswinkel die Größe der Hangabtriebskraft beeinflusst. Die Berechnung der Kräfte an einer solchen Ebene erfolgt durch die Aufteilung der Gewichtskraft in Hangabtriebs- und Normalkraft. Lerne, wie die Kräfte an einer schiefen Ebene wirken! Interessiert? Mehr dazu im vollständigen Text!

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Team Digital
Die schiefe Ebene
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Die schiefe Ebene Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die schiefe Ebene kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere, was eine schiefe Ebene ist.

    Tipps

    Die Formelzeichen hängen immer mit den jeweiligen physikalischen Fachbegriffen zusammen. Versuche also, anhand der Formelzeichen auf den richtigen Begriff zu kommen.

    Überlege dir auch, was geschieht, wenn du eine Platte bewegst, auf der eine Murmel liegt: Was passiert mit der Murmel, wenn du die Platte neigst?

    Lösung

    Als schiefe Ebene bezeichnen wir eine ebene Fläche, die in einem Winkel $\alpha$ gegen die Horizontale geneigt ist. Der Winkel zwischen der Ebene und der Horizontalen heißt Neigungswinkel.

    Ein Objekt, zum Beispiel eine Murmel, liegt auf einer ebenen Platte. Wenn die Platte auf dem Boden liegt, also horizontal ausgerichtet ist, bewegt sich die Murmel nicht. Wenn die Platte auf einer Seite angehoben wird, rollt die Murmel. Je steiler die Platte geneigt ist, umso schneller rollt die Kugel hinab.

    Je größer der Neigungswinkel $\alpha$ ist, umso größer ist die Kraft $F_H$, die die Kugel beschleunigt. Die Kraft $F_H$ nennen wir Hangabtriebskraft, weil sie zu einer Bewegung entlang der Ebene führt, also den Hang hinab, wenn man einen Berg betrachten würde. Wir wissen außerdem, dass insgesamt nur die Gewichtskraft $F_G$ auf die Kugel wirkt. Des Weiteren gibt es noch eine Kraft, die senkrecht auf der Ebene steht: die Normalkraft $F_N$.

  • Vervollständige die Abbildung der schiefen Ebene.

    Tipps

    Überlege dir zunächst noch einmal, welche Kräfte bei einer schiefen Ebene wirken.

    Bei einer schiefen Ebene gibt es:

    • die Normalkraft
    • die Gewichtskraft
    • die Hangabtriebskraft

    Die Formelzeichen lauten wie folgt:

    • Gewichtskraft: $F_G$
    • Normalkraft: $F_N$
    • Hangabtriebskraft: $F_H$

    Ein Dreieck hat eine Innenwinkelsumme von $180^\circ$. Das bedeutet, dass $\alpha+\beta$ insgesamt $90^\circ$ ergeben muss.

    Überlege dir nun, welcher Winkel von denen der kleinere Winkel ist. Überlege auch, welche Dreiecke in der Abbildung identisch sind und wo dann also auch dieselben Winkel zu finden sind.

    Lösung

    Im Kräfteparallelogramm haben wir die Gewichtskraft $F_G$ in zwei Komponenten aufgeteilt, die senkrecht zueinander stehen. Eine Komponente ist die Hangabtriebskraft $F_H$. Die andere, die senkrecht auf der Ebene steht, nennen wir Normalkraft $F_N$. Der Winkel zwischen der Gewichtskraft $F_G$ und der Normalkraft $F_N$ ist gleich dem Neigungswinkel $\alpha$ der Ebene. Das kannst du dir folgendermaßen überlegen:

    Für die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks gilt:

    $\alpha+\beta+\gamma=180°$

    Wenn der Winkel $\gamma$ ein rechter Winkel ist, also $\gamma=90°$, muss für den Winkel $\beta$ gelten:

    $\beta=180°-90°-\alpha=90°-\alpha$

    Im Kräfteparallelogramm entspricht der Winkel zwischen $F_G$ und $F_H$ dem Winkel $\beta$, denn wir könnten das Kräfteparallelogramm einfach an das obere Ende der Ebene verschieben. Weil die Normalkraft $F_N$ und die Hangabtriebskraft $F_H$ senkrecht zueinander stehen, muss der Winkel zwischen $F_N$ und $F_G$ genau $\alpha$ sein.

  • Ermittle, wo am meisten Kraft aufgewendet wird.

    Tipps

    Schiefe Ebenen reduzieren die nötige Kraft beim Weg aufwärts und die wirkende Kraft beim Weg abwärts. Dafür wird der Weg länger: Überlege dir anhand der Abbildungen, bei welchen der Weg länger bzw. kürzer ist.

    Die goldene Regel der Mechanik lautet:

    Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zugeben.

    Je steiler die schiefe Ebene, desto mehr Kraft muss aufgewendet werden: Schaue dir die Abbildungen an und überlege, welche schiefen Ebenen davon steiler sind als andere.

    Lösung

    Schiefe Ebenen reduzieren die nötige Kraft beim Weg aufwärts und die wirkende Kraft beim Weg abwärts. Dafür wird der Weg länger.

    Die goldene Regel der Mechanik lautet: Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zugeben.

    Je steiler die schiefe Ebene, desto mehr Kraft muss also aufgewendet werden. Je flacher also die schiefe Ebene ist, desto weniger Kraft muss aufgewendet werden. Wir müssen die Abbildungen deshalb so sortieren, dass die flachste schiefe Ebene zuerst kommt.

  • Berechne die Hangabtriebskraft.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, welche gegebenen Werte für die Länge, die Höhe und die Gewichtskraft stehen könnten, indem du dir den Sachverhalt bildlich vorstellst.

    Folgende Formel kannst du zur Berechnung nutzen:

    $F_H \cdot l = F_G\cdot h$

    Überlege dir, was gesucht ist und stelle die Formel nach dieser Größe um.

    Lösung

    Aus der Aufgabe können wir Folgendes entnehmen:

    Gegeben:

    • Länge $l=4~\text{m}$
    • Höhe $h=0{,}3~\text{m}$
    • Gewichtskraft $F_G=10.000~\text{N}$

    Gesucht:

    • Hangabtriebskraft $F_H$

    Folgende Formel können wir zur Berechnung nutzen:

    $F_G\cdot h=F_H \cdot l$

    Da wir $F_H$ suchen, müssen wir die Formel zunächst umstellen, indem wir durch $l$ dividieren:

    $F_G\cdot h=F_H \cdot l \qquad |:l$

    $\Rightarrow \dfrac{F_G\cdot h}{l}=F_H$

    Dann setzen wir die gegebenen Werte ein:

    $F_H=\dfrac{10\,000~\text{N}\cdot0{,}3~\text{m}}{4~\text{m}}$

    $\Rightarrow F_H=750~\text{N}$

    Es ergibt sich eine Hangabtriebskraft von $750~\text{N}$.

  • Definiere die goldene Regel der Mechanik.

    Tipps

    Stelle dir für die vier Antwortmöglichkeiten ein Anwendungsbeispiel vor.

    Stelle dir eine Kugel vor, die du auf eine Höhe von beispielsweise $5~\text{m}$ bringen möchtest: Wie viel Kraft brauchst du, wenn die schiefe Ebene länger bzw. kürzer ist?

    Umso länger die schiefe Ebene ist, umso weniger Steigung hat sie: Brauchst du dann mehr oder weniger Kraft?

    Lösung

    • Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zugeben.
    Wenn man Kraft sparen will, muss man die schiefe Ebene verlängern. Dann ist der Neigungswinkel kleiner und man muss nicht so viel Kraft aufwenden. $\Rightarrow$ Diese Antwort ist also richtig.

    • Wenn du Weg sparst, sparst du auch Kraft.
    Wenn wir auf eine Höhe von beispielsweise $5~\text{m}$ kommen wollen und unsere schiefe Ebene so kurz wie möglich halten wollen, ist es umso schwieriger, dort eine Kugel hinaufzurollen, je kürzer der Weg ist. Somit sparen wir keine Kraft, sondern benötigen mehr Kraft. $\Rightarrow$ Diese Antwort ist also falsch.

    • Umso kleiner der Neigungswinkel, umso größer ist die Kraft.
    Wenn wir einen kleinen Neigungswinkel haben, haben wir auch einen kleinen Anstieg. Bei einem kleinen Anstieg benötigen wir natürlich weniger Kraft als bei einem großen Anstieg. $\Rightarrow$ Diese Antwort ist also falsch.

    • Umso länger die schiefe Ebene, umso größer ist die Kraft.
    Wenn wir die schiefe Ebene verlängern, um dieselbe Höhe zu erreichen, flacht die Ebene ab. Wir erhalten einen kleineren Neigungswinkel. Ein kleinerer Neigungswinkel bedeutet auch einen geringeren Kraftaufwand. $\Rightarrow$ Diese Antwort ist also falsch.

  • Bestimme die Länge der Serpentine.

    Tipps

    Überlege, was mit den $8~\%$ der Gewichtskraft gemeint sein könnte.
    Die Hangabtriebskraft und die Gewichtskraft stehen im Verhältnis zueinander $\left(\Rightarrow~\dfrac{F_H}{F_G}\right)$.

    „Prozent“ bedeutet „Hundertstel“. Das heißt, dass das Verhältnis der beiden Kräfte $\dfrac{F_H}{F_G}= 0{,}08$ ergeben muss, da $8:100=0{,}08$ ist.

    Folgendes kannst du der Aufgabe entnehmen:

    Gegeben:

    • Höhe $h=670~\text{m}$
    • $\dfrac{F_H}{F_G}=0{,}08=8~\%$

    Gesucht:

    • Länge $l$

    Die Formel zur Berechnung lautet:

    $\dfrac{F_H}{F_G}=\dfrac{h}{l}$

    Dort musst du nun alle gegebenen Werte einsetzen.

    Da wir die Länge $l$ suchen, musst du die Formel noch nach dieser Größe umstellen.

    Die umgestellte Formel lautet dann:

    $l=h:\dfrac{F_H}{F_G}$

    Lösung

    Folgendes können wir der Aufgabe entnehmen:

    Gegeben:

    • Höhe $h=670~\text{m}$
    • $\dfrac{F_H}{F_G}=0{,}08=8~\%$

    Gesucht:

    • Länge $l$

    Die Formel zur Berechnung lautet:

    $\dfrac{F_H}{F_G}=\dfrac{h}{l}$

    Da wir die Länge $l$ suchen, musst du die Formel noch nach dieser Größe umstellen. Dies können wir wie folgt:

    $\begin{align} \dfrac{F_H}{F_G}=\dfrac{h}{l} \qquad &|\cdot l\\ \dfrac{F_H}{F_G}\cdot l=h \qquad &|:\dfrac{F_H}{F_G} \end{align}$

    $\Rightarrow l=h:\dfrac{F_H}{F_G}$

    Dort setzen wir alle Werte ein und erhalten:

    $l=670~\text{m}:0{,}08$

    $\Rightarrow l=8\,375~\text{m}$

    Die Länge der Serpentine beträgt somit $8\,375~\text{m}$.