Die schiefe Ebene

Die schiefe Ebene

Die schiefe oder geneigte Ebene begegnet dir in vielen verschiedenen Situationen im Alltag. Zum Beispiel überall dort, wo es eine Rampe gibt. Aber auch eine Straße, die bergab verläuft, können wir als schiefe Ebene bezeichnen. Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie wir die wirkenden Kräfte an der schiefen Ebene berechnen können.

Schiefe Ebene – Definition

Als schiefe Ebene bezeichnen wir eine ebene Fläche, die in einem Winkel $\alpha$ gegen die Horizontale geneigt ist. Der Winkel zwischen der Ebene und der Horizontalen heißt Neigungswinkel.

Schiefe Ebene – Kräfte berechnen

Wir wollen nun herleiten, wie wir die Kräfte an einer schiefen Ebene berechnen können. Dazu stellen wir uns zunächst die folgende Situation vor: Ein Objekt, zum Beispiel eine Murmel, liegt auf einer ebenen Platte. Wenn die Platte auf dem Boden liegt, also horizontal ausgerichtet ist, bewegt sich die Murmel nicht. Wenn die Platte auf einer Seite angehoben wird, rollte die Murmel. Je steiler die Platte geneigt ist, umso schneller rollt die Kugel hinab.

Wir können aus diesem Gedankenexperiment die folgende Schlussfolgerung ziehen: Je größer der Neigungswinkel $\alpha$ ist, umso größer ist die Kraft $F_H$, die die Kugel beschleunigt. Wir wissen außerdem, dass insgesamt nur die Gewichtskraft $F_g=mg$ auf die Kugel wirkt. Wenn die Platte senkrecht auf der Horizontalen steht, also der Winkel $\alpha$ gerade $90^{\circ}$ beträgt, entspricht die Bewegung der Kugel ja gerade dem freien Fall. Dann führt die gesamte Gewichtskraft zur Beschleunigung der Kugel, es gilt also $F_H = F_g$. Wenn der Winkel $\alpha$ hingegen $0^{\circ}$ beträgt, die Platte also horizontal ist, bewegt sich die Kugel überhaupt nicht. Es wirkt also keine Kraft $F_H$, die zur Beschleunigung der Kugel entlang der Ebene führt. Wir kennen also schon zwei Werte für die Kraft $F_H$, die zur Bewegung der Murmel entlang der schiefen Ebene führt:

$\alpha = 90^{\circ} \Rightarrow F_H = F_g = mg$

$\alpha = 0 \Rightarrow F_H = 0$

Die Kraft $F_H$ nennen wir Hangabtriebskraft, weil sie zu einer Bewegung entlang der Ebene führt – also den Hang hinab, wenn man einen Berg betrachten würde. Sie wirkt parallel zur Ebene. Bei $\alpha = 0$ ist sie, wie wir bereits festgestellt haben, null. Die Schwerkraft wirkt in dieser Situation natürlich auch – sie wirkt allerdings senkrecht zur Platte und sorgt dafür, dass die Murmel auf diese gepresst wird. Für alle Winkel $\alpha$ zwischen $0$ und $90$ Grad teilt sich die Gewichtskraft in Komponenten parallel und senkrecht zur Ebene auf. Wie diese Aufteilung genau aussieht, können wir mithilfe eines Kräfteparallelogramms rechnerisch bestimmen.

Im Kräfteparallelogramm haben wir die Gewichtskraft $F_g$ in zwei Komponenten aufgeteilt, die senkrecht zueinander stehen. Eine Komponente ist die Hangabtriebskraft $F_H$ und die andere, die senkrecht auf der Ebene steht, nennen wir Normalkraft $F_N$. Der Winkel zwischen der Gewichtskraft $F_g$ und der Normalkraft $F_N$ ist gleich dem Neigungswinkel $\alpha$ der Ebene. Das kannst du dir folgendermaßen überlegen:

Für die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks gilt: $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$. Wenn der Winkel $\gamma$ ein rechter Winkel ist, also $\gamma= 90^{\circ}$, muss für den Winkel $\beta$ gelten:

$\beta = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - \alpha$

Im Kräfteparallelogramm entspricht der Winkel zwischen $F_g$ und $F_H$ dem Winkel $\beta$, denn wir könnten das Kräfteparallelogramm einfach an das obere Ende der Ebene verschieben. Weil die Normalkraft $F_N$ und die Hangabtriebskraft $F_H$ senkrecht zueinander stehen, muss der Winkel zwischen $F_N$ und $F_g$ genau $\alpha$ sein.

Mit diesem Wissen können wir den Sinus benutzen, um die Kraft $F_H$ zu berechnen. Für den Sinus des Winkels $\alpha$ gilt:

$\sin(\alpha) = \frac{F_H}{F_g} $

Das können wir nach $F_H$ umstellen und die Gewichtskraft einsetzen. Damit erhalten wir für die Hangabtriebskraft der schiefen Ebene die Formel:

$F_H = mg\sin(\alpha)$

Da der Sinus immer kleiner oder gleich eins ist, ist auch die Hangabtriebskraft immer kleiner oder gleich der Gewichtskraft. Die Hangabtriebskraft ist null für einen Winkel von $\alpha = 0^{\circ}$ und maximal für einen Winkel von $\alpha = 90^{\circ}$. Genau das sind die Fälle, die wir oben betrachtet haben. Auch die Normalkraft ist immer kleiner oder gleich der Gewichtskraft, nur dass diese für einen Winkel von null Grad maximal ist. Dann wird die Kugel am stärksten auf die Ebene gedrückt.