Effektivstromstärke bei Wechselstrom

Effektivstromstärke bei Wechselstrom Übung

• Definiere den Begriff der Effektivstromstärke.

  Tipps

  Zeigt ein analoges Messgerät bei einer Wechselspannung einen konstanten Wert an oder variiert die Stromstärke die ganze Zeit?

  Das Messgerät zeigt eine konstante Stromstärke an. Ist die Stromstärke einer Wechselspannung konstant? Welche Stromstärke zeigt das Messgerät an?

  Die Effektivstromstärke ist ein Mittelwert der realen Stromstärke. Welche Größe muss bei der realen und der effektiven Stromstärke gleich sein, damit sie denselben Widerstand repräsentieren?

  Lösung

  Bei einer Wechselspannung wechselt der Strom in periodischen Abständen die Richtung.
  Allerdings liefert dieser Strom eine Leistung. Egal in welche Richtung er gerade fließt.
  Die Stromstärke ist dabei variabel. Deswegen ist sie schwerer zu messen.

  Es kann aber eine konstante Stromstärke gefunden werden. Diese soll natürlich dasselbe repräsentieren. Deswegen soll diese Stromstärke in den gleichen Zeitintervallen die gleiche Leistung liefern wie der Strom der Wechselspannung. Das alles muss natürlich am gleichen Widerstand geschehen, damit es vergleichbar ist.

  Die Leistung kann mithilfe der maximalen Stromstärke berechnet werden und damit wiederum kann die effektive Stromstärke $I_{eff}$ ermittelt werden.

  Es gibt auch noch eine weitere, aquivälente Definition. Dort wird gesagt, dass die effektive Stromstärke am gleichen Widerstand in der gleichen Zeit die gleiche Energie liefern muss.
  Es wird hier mit der Formel für die elektrische Arbeit argumentiert:
  $W = P \cdot t$ .

• Nenne eine Formel zur Berechnung der Effektivstromstärke.

  Tipps

  Mithilfe des Quadrates der Stromstärke kann das Quadrat der effektiven Stromstärke dargestellt werden. Die Flächen unter den Graphen müssen dazu gleich sein. Die Fläche unter $I^2$ kann mithilfe der Integralrechnung berechnet werden. Wie groß ist die Fläche unter $I_{eff}^2$?

  Dies gilt für die Fläche unterhalb von $I^2$. Dies entspricht der Fläche unter $I_{eff}^2$. Wie kann daraus $I_{eff}$ berechnet werden?

  Die Formel muss nach $I_{eff}$ umgestellt werden. Kann hier gekürzt werden?

  In der Mathematik werden Wurzeln lieber im Zähler als im Nenner dargestellt.

  Lösung

  In einer Wechselspannung fließt der Strom abwechselnd in verschiedene Richtungen. Er liefert jedoch Leistung, und zwar unabhängig davon, in welche Richtung er fließt.
  Deswegen wird zur Berechnung der effektiven Stromstärke das Quadrat der Stromstärke betrachtet.
  Analog dazu wird auch erstmal das Quadrat der Effektivstromstärke berechnet werden. Daraus kann dann die effektive Stromstärke ermittelt werden.

  Die Flächen unter den Kurven müssen gleich sein, denn die Effektivstromstärke soll in der gleichen Zeit am gleichen Widerstand die gleiche Leistung liefern.

  Für die Fläche unter $I^2$ gilt mithilfe der Integralrechnung:
  $A=\int_{0}^{T}{I^2 dt}=\int_{0}^{T}{(I_{max}^2 \cdot \sin^2(\omega \cdot T))dt}=\frac{1}{2} \cdot T \cdot I_{max}^2$.

  Für die Fläche unter $I_{eff}^2$ gilt:
  $B=I_{eff}^2 \cdot T$.

  Da $A=B$ gelten soll, folgt damit:
  $\begin{align} && \frac{1}{2} \cdot T \cdot I_{max}^2&=I_{eff}^2 \cdot T &|\div T \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{2} \cdot I_{max}^2 &=I_{eff}^2 &|\sqrt{~~} \\ &\Leftrightarrow& \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} &=I_{eff} \end{align} $

  Da $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ wird dieses noch ersetzt.
  Es folgt insgesamt:
  $I_{eff}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot I_{max}$ .

• Berechne die Effektivstromstärke.

  Tipps

  Die effektive Stromstärke kann mithilfe des Quadrats der Stromstärke berechnet werden. Die Flächen unter den Kurven müssen gleich groß sein. Es folgt: $\frac{1}{2} \cdot T \cdot I_{max}^2 = I_{eff}^2 \cdot T $. Diese Formel muss nach der gesuchten Größe umgestellt werden.

  In diese Formel muss die gegebene Größe eingesetzt werden.

  Achte darauf, richtig zu runden. Betrachte die dritte Stelle nach dem Komma. Ist diese größer oder gleich fünf, dann muss aufgerundet werden. Ansonsten wird abgerundet.

  Lösung

  Die effektive Stromstärke kann mithilfe des Quadrats der Stromstärke berechnet werden.
  Die Flächen unter den Kurven müssen gleich groß sein.
  Es folgt: $\frac{1}{2} \cdot T \cdot I_{max}^2 = I_{eff}^2 \cdot T $.
  Diese Formel muss nach der gesuchten Größe umgestellt werden.

  Damit ergibt sich:
  $I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$.

  Da $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ gilt, wird dies noch ersetzt.
  Es folgt insgesamt:
  $I_{eff}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot I_{max}$.

  Dort werden die gegebenen Werte eingesetzt: $I_{eff}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 15 ~A\approx 10,6066 ~A \approx 10,61 ~A$.

  Es muss am Ende nur noch darauf geachtet werden, dass richtig gerundet wird.

• Leite die Formel für die Effektivstromstärke ohne Berechnung von Flächeninhalten her.

  Tipps

  Lege zuerst fest, welche Bedingungen die effektive Stromstärke erfüllen muss. Überlege anschließend, wie diese Bedingungen erfüllt werden können.

  Wie kann die Leistung im Wechselstromkreis berechnet werden? Der Strom ist zeitabhängig. Gibt es eine Leistung, die nicht von der Zeit abhängig ist?

  Bevor integriert wird, ist es sinnvoll zu betrachten, was integriert werden muss.

  Lösung

  Es sollte zuerst festgelegt werden, was überhaupt gesucht ist und welche Bedingungen das Gesuchte erfüllen muss.

  Für die effektive Stromstärke gilt folgende Definition:
  Die effektive Stromstärke muss im gleichen Zeitintervall am gleichen Widerstand die gleiche Leistung bringen.

  Im nächsten Schritt wird überlegt, wie diese Bedingungen erfüllt werden können. Es folgt, dass die Leistungen gleich sein müssen. Die Leistungen kann man berechnen.

  Beim Wechselstrom muss dazu die zeitabhängige Leistung über ein Zeitintervall integriert werden und anschließend durch dieses Zeitintervall geteilt werden. Auf diese Weise wird eine zeitunabhängige und gut vergleichbare Leistung erhalten. Sie wird Wirkleistung genannt.
  Eine weitere Möglichkeit ist, nur über die Zeit zu integrieren und später die Flächen unter den quadratischen Stromstärken von $I^2(t)$ und $I_{eff}^2$ zu betrachten.

  Zuletzt werden dann noch die Leistungen gleichgesetzt und nach der effektiven Stromstärke umgestellt.

• Nenne eine Formel zur Berechnung der Leistung in Abhängigkeit der maximalen Stromstärke.

  Tipps

  Wie kann man die Spannung mithilfe der Stromstärke ausdrücken und wie berechnet sich die Stromstärke in einer Wechselspannung in Abhängigkeit der maximalen Stromstärke?

  Was passiert, wenn die Formel für die Spannung in die Formel für die Leistung eingesetzt wird? Wie lassen sich die Größen zusammenfassen?

  Für die Stromstärke in einer Wechselspannung in Abhängigkeit von der maximalen Stromstärke gilt diese Formel. Wie kann sie in die vorherigen Überlegungen integriert werden?

  Für die Leistung in Abhängigkeit von Stromstärke und Widerstand gilt diese Formel. Dort kann die Stromstärke einer Wechselspannung in Abhängigkeit der maximalen Stromstärke eingesetzt werden.

  Lösung

  Die Leistung wird mit dem Formelzeichen $P$ beschrieben.

  Es gilt:
  $P= U \cdot I$
  da weiter $U=I \cdot R$ gilt, folgt
  $P= I \cdot R \cdot I = I^2 \cdot R$ (1).

  In einer Wechselspannung gilt für die Stromstärke in Abhängigkeit von der maximalen Stromstärke
  $I = I_{max} \cdot \sin(\omega \cdot t)$ .

  Dies wird in (1) eingesetzt. Es ergibt sich:
  $P= ( I_{max} \cdot \sin(\omega \cdot t))^2 \cdot R = I_{max}^2 \cdot R \cdot \sin^2(\omega \cdot t)$.

  Dabei gilt $\omega= \frac{2 \cdot \pi}{T}$, was noch eingesetzt werden kann.

• Leite die Formel für die effektive Spannung $U_{eff}$ her.

  Tipps

  Analog zur variierenden Stromstärke ist auch die Spannung von der Zeit abhängig. Es gilt eine Formel, die zu der Stromstärke analog ist. Für die effektive Spannung gelten die gleichen Bedingungen wie für die effektive Stromstärke. Welche sind das?

  Wie bei der Effektivstromstärke gilt: Die effektive Spannung muss im gleichen Zeitintervall die gleiche Leistung liefern. Gehe analog zum Finden der effektiven Stromstärke vor. Finde danach zunächst einen Term für die Leistung, der nur von $U$ und $R$ abhängig ist. Wie ist das mit den gezeigten Gleichungen möglich?

  Berechne die Wirkleistung der Wechselspannung, um die Leistungen direkt vergleichen zu können. Eine andere Möglichkeit ist die Berechnung der Flächeninhalte unter den Kurven. Es ergibt sich dasselbe Integral wie bei der effektiven Stromstärke.

  Es folgt nach der Integration die gezeigte Formel für die Wirkleistung der Wechselspannung. Wie ist die Leistung der effektiven Spannung? Setze beide Formeln gleich und stelle nach $U_{eff}$ um.

  In der Mathematik werden Wurzeln lieber im Zähler als im Nenner geschrieben.

  Lösung

  Analog zur variierenden Stromstärke ist auch die Spannung von der Zeit abhängig.
  Es gilt die Formel:
  $U(t)= U_{max} \cdot \sin(\omega \cdot t)$.

  Wie bei der Effektivstromstärke gilt: Die effektive Spannung muss im gleichen Zeitintervall am gleichen Widerstand die gleiche Leistung liefern.
  Es kann analog zur effektiven Stromstärke vorgegangen werden.

  Für die Leistung gilt $P=U \cdot I$ (1) und für die Spannung $U= I \cdot R $ (2).
  Es wird (2) nach $I$ umgestellt und in (1) eingesetzt.
  Das Ziel ist dabei, einen Ausdruck für die Leistung zu finden, der nur von $U$ und $R$ abhängig ist.

  $U= I \cdot R \Rightarrow I=\frac{U}{R}$ in (1) $P=U \cdot \frac{U}{R}=\frac{U^2}{R}$

  Um die Leistungen der Wechselspannung und der Gleichspannung direkt vergleichen zu können, wird im Wechselstromkreis die Wirkleistung berechnet. Hierbei gilt die Formel:
  $\begin{align} P&= \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{T}{P(t) dt} && \\ &= \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{T}{\frac{U(t)^2}{R} dt} && \\ &=\frac{1}{T \cdot R} \cdot \int_{0}^{T}{(U_{max} \cdot \sin(\omega \cdot t))^2 dt} && \\ &=\frac{1}{T \cdot R} \cdot \int_{0}^{T}{U_{max}^2 \cdot \sin^2(\omega \cdot t) dt} && \\ &=\frac{1}{T \cdot R} \cdot U_{max}^2 \cdot \int_{0}^{T}{ \sin^2(\omega \cdot t) dt} && \\ &=\frac{1}{T \cdot R} \cdot U_{max}^2 \cdot \int_{0}^{T}{ \frac{ 1-\sin(2 \cdot \omega \cdot t)}{2} dt} && \\ &=\frac{1}{2 \cdot T \cdot R} \cdot U_{max}^2 \cdot \left[ t + \frac{1}{\omega} \cos(\omega \cdot t) \right]_0^T && \\ &=\frac{1}{2 \cdot T \cdot R} \cdot U_{max}^2 \cdot \left[ T - 0 + \frac{1}{\omega} \cos(\omega \cdot T) - \frac{1}{\omega} \cos(\omega \cdot 0) \right] &| \omega=\frac{4\pi}{T}& \\ &=\frac{1}{2 \cdot T \cdot R} \cdot U_{max}^2 \cdot \left[ T + \frac{1}{\omega} \cos(4\pi) - \frac{1}{\omega} \right] && \\ &=\frac{1}{2 \cdot T \cdot R} \cdot U_{max}^2 \cdot \left[ T + \frac{1}{\omega} - \frac{1}{\omega} \right] && \\ &=\frac{1}{2 \cdot R} \cdot U_{max}^2 \end{align}$ (3)

  Das Integral ist im Prinzip dasselbe wie bei der Stromstärke. Es gilt $\cos(4\pi)=\cos(0)=1$, deswegen fällt der Teil aufgrund der gleichen Multiplikatoren vor der Klammer am Ende weg.

  Auch anschließend wird wie bei der effektiven Stromstärke vorgegangen.

  Bei Gleichstrom gilt für die Leistung nach (2)
  $P= \frac{U_{eff}^2}{R}$ (4) .

  (3) und (4) werden gleichgesetzt und nach $U_{eff}$ umgestellt.
  $\begin{align} && \frac{U_{eff}^2}{R}&=\frac{1}{2 \cdot R} \cdot U_{max}^2 &|& \cdot R \\ &\Leftrightarrow& U_{eff}^2 &= \frac{1}{2} \cdot U_{max}^2 &|& \sqrt{~~} \\ &\Leftrightarrow& U_{eff} &=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot U_{max} &|& \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \\ &\Leftrightarrow& U_{eff} &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot U_{max} \end{align}$