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Durchschnittsgeschwindigkeit

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Jakob Köbner

Durchschnittsgeschwindigkeit

lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Durchschnittsgeschwindigkeit

In diesem Video nehmen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit näher unter die Lupe. Zunächst lernst du, was man eigentlich unter der Durchschnittsgeschwindigkeit versteht. Außerdem wird genau erklärt worin der Unterschied zur Momentangeschwindigkeit besteht. Das Ganze wird für verschiedene Bewegungsarten zuerst anschaulich in s-t- und v-t-Diagrammen dargestellt und danach mathematisch durch eine Formel beschrieben. Zu Guter Letzt wird noch eine kleine Beispielaufgabe gerechnet, mit deren Hilfe du dein frisch erworbenes Wissen gleich anwenden kannst.

Transkript Durchschnittsgeschwindigkeit

Hallo und herzlich willkommen bei Physik mit Kalle. Wir wollen uns heute auf dem Gebiet der Mechanik mit der Durchschnittsgeschwindigkeit beschäftigen. Wir lernen heute, was die Durchschnittsgeschwindigkeit ist, was der Unterschied zwischen Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit ist und mit einer Beispielaufgabe, wie man die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet. Die Durchschnittsgeschwindigkeit vD oder v mit einem Strich darüber eines Objekts während eines Zeitraums Delta t, entspricht dem Quotienten aus dem zurückgelegten Weg Delta s und der Länge des Zeitraums. Wir können also schreiben: vD = Delta s / Delta t oder s2-s1/t2-t1. Ich kann mit dieser Formel also die durchschnittliche Geschwindigkeit eines Objektes berechnen, das seine Geschwindigkeit verändert. Wenn ihr euch überlegt, was die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Objektes mit konstanter Geschwindigkeit ist, dann kommt ihr wahrscheinlich, auf Folgendes: Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist gleich der Geschwindigkeit, die ein mit konstanter Geschwindigkeit bewegtes Objekt haben müsste, um in der gleichen Zeit, genau die gleiche Strecke zurückzulegen. Bei konstanter Geschwindigkeit ist die Momentangeschwindigkeit also gleich der Durchschnittsgeschwindigkeit. Und da diese beiden Begriffe oft Probleme verursachen, wollen wir sie uns in diesem Kapitel ein wenig näher ansehen. Damit wir das Ganze auch schön anschaulich aufzeichnen können, malen wir uns zuerst einmal ein v-t-Diagramm und ein s-t-Diagramm. Eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung ist im v-t-Diagramm eine Gerade. Wie wir bereits wissen, sieht der dazugehörige Verlauf im s-t-Diagramm so aus. Ich kann nun ganz einfach, zu einem beliebigen Zeitpunkt t1 in meinem v-t-Diagramm die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1 ablesen. Dies ist die Momentangeschwindigkeit. Sie ist definiert als die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t. Wie wir gerade gehört haben, ist die Durchschnittsgeschwindigkeit genau gleich der Geschwindigkeit, die ein gleichförmiges Objekt sich bewegt haben müsste, damit es in der gleichen Zeit, die gleiche Geschwindigkeit zurücklegt. Der Streckenverlauf eines gleichförmigen, also mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Objektes im s-t-Diagramm, ist eine Gerade. Damit unser Objekt genau die gleiche Strecke in der gleichen Zeit zurücklegt, muss es den gleichen Anfangs- oder Endpunkt haben. Wie die dazugehörige Geschwindigkeit aussieht, wissen wir. Ist die Geschwindigkeit konstant, ist sie im v-t-Diagramm eine Parallele zur t-Achse. Die lila eingezeichnete Geschwindigkeit vD ist also die Durchschnittsgeschwindigkeit unserer orange eingezeichneten Bewegung. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also, anders gesagt, der Mittelwert der Momentangeschwindigkeiten. Für diejenigen unter euch, die es gerne ein wenig mathematisch lösen, kann man es auch folgendermaßen formulieren: Wir können die Durchschnittsgeschwindigkeit erhalten, indem ihr die Figur, die eure Geschwindigkeit mit der t-Achse einschließt, also in unserem Fall die orangene Linie mit der t-Achse, also ein Dreieck, umformt zu einem Rechteck mit gleicher Fläche und gleicher Länge auf der t-Achse. VD ist dann die Höhe dieses Rechtecks. Mathematischer ausgedrückt heißt das: Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist das Integral von t1 bis t2 über die Momentangeschwindigkeit/ Delta t. Wir wollen mal eine weitere Bewegung einzeichnen. Sie soll zuerst nicht ganz so stark beschleunigt sein, aber dann stärker als die orangene Bewegung. Wie ihr im s-t-Diagramm seht, hat auch sie den gleichen Anfangs- und Endpunkt. Das heißt, sie hat in derselben Zeit die gleiche Strecke zurückgelegt. Sie hat also die gleiche Durchschnittsgeschwindigkeit. Wir merken uns: wir können mit vielen verschiedenen Bewegungen die gleiche Durchschnittsgeschwindigkeit erhalten, zum Beispiel auch mit dieser. Im letzten Kapitel wollen wir nun noch eine Beispielaufgabe rechnen. Wir rechnen nun folgende Aufgabe: Ein Auto beschleunigt 20s lang mit 1,2 m/s² und hält dann 40s lang die erreichte Geschwindigkeit. Welche Strecke legt es dabei zurück und wie hoch ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit? Wir schreiben uns erst mal auf: gegeben ist die Zeit t1, während der beschleunigt wird, ist gleich 20s und die Höhe der Beschleunigung beträgt 1,2 m/s². Außerdem wissen wir, danach hält das Auto für t2 gleich 40s lang die erreichte Geschwindigkeit. Gesucht ist die Gesamtstrecke s und die Durchschnittsgeschwindigkeit vD. Die Gesamtstrecke ist s1+s2 = ½×a×t1²+v×t². V kann ich einfach berechnen. Es ist a×t1 und das sind 24 m/s. Und damit habe ich alles, was ich brauche. Ich setze ein: s = 1,2/2×(20)² und die Einheiten m/s²×s² + 24×40m/s×s. Wie ihr seht kürzt sich in beiden Summanden alles bis auf die m heraus und ich erhalte s = 1200m. So, nun habe ich die Gesamtstrecke und damit kann ich die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen. vD ist nämlich Delta s/Delta t. Delta s ist 1200m und Delta t ist t1+t2, nämlich die Gesamtzeit, also 60s. Und damit ergibt sich: die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 20 m/s. Unser Antwortsatz lautet also: Das Auto legt 1,2km zurück, seine Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 20 m pro Sekunde.  Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Quotient aus der in einem Zeitraum Delta t zurückgelegten Strecke Delta s und der Länge des Zeitraums.Ich kann sie also mit folgender Formel berechnen: vD = Delta s/Delta t oder s2-s1/t2-t1. Wir haben außerdem gehört: vD ist der Mittelwert der Momentangeschwindigkeiten v(t) und die Momentangeschwindigkeit v(t) ist die Geschwindigkeit des Objektes zum Zeitpunkt t. So, das war's schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle  

12 Kommentare

12 Kommentare
  1. Ich verstehe es nicht!

    Von Adrian B., vor 13 Tagen
  2. Hilfe ich checks nicht!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von Noah H., vor mehr als einem Jahr
  3. Ich habs noch immer nicht verstanden!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von Jarsimed, vor etwa 2 Jahren
  4. @Vanessa B,
    da hast du recht, die Physik ist in diesem Punkt der Mathematik entgegen gekommen. Früher wurde es jedoch anders benannt. Also Weg-Zeit-Diagramm statt Zeit-Weg-Diagramm. Du wirst es sogar häufiger noch als Weg-Zeit-Diagramm finden. Dennoch wird der Umbruch langsam kommen. Vergleichbar mit der Umstellung auf das große L für die Einheit Liter.

    Von Karsten S., vor mehr als 2 Jahren
  5. Heißt es nicht t-v-Diagramm und t-s-Diagramm?
    Da die X-Achse vor der Y-Achse gesprochen wird?

    Von Vanessa B., vor mehr als 2 Jahren
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Durchschnittsgeschwindigkeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Durchschnittsgeschwindigkeit kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne korrekte Aussagen zur Durschnittsgeschwindigkeit.

    Tipps

    In den Begriffen Momentangeschwindigkeit und Durchschnittsgeschwindigkeit stecken schon viele Informationen zu Unterscheidung der beiden Größen. Die Momentangeschwindigkeit bezieht sich auf einen ganz bestimmten Moment. Wie ist das bei der Durchschnittsgeschwindigkeit?

    Lösung

    Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Objektes während eines Zeitraums $\Delta t = t_1 - t_2$ entspricht dem Quotienten aus dem zurückgelegten Weg $\Delta s=s_2-s_1$ und der Länge des Zeitraumes.

    $v_{D}=\frac{s_{2}-s_{1}}{t_{2}-t_{1}}$

    Diese recht kompliziert klingende Definition aus dem Video wollen wir nochmal mit anderen Worten erklären:

    Zu Einschätzung der Durchschnittsgeschwindigkeit reicht es vollkommen aus, sich anzuschauen, wo sich das bewegte Objekt zu Beginn und zu Ende des betrachteten Zeitraums befindet. Wie sich die Geschwindigkeit innerhalb dieses Zeitraums verändert, ist für die Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit unerheblich.

    Hierfür ein Beispiel: Zwei Marathonläufer starten gleichzeitig. Läufer 1 läuft auf der ersten Streckenhälfte sehr viel schneller als Läufer 2 und gewinnt so einen großen Vorsprung. Läufer 2 hat dafür auf der zweiten Streckenhälfte große Reserven, sodass er Läufer 1 hier wieder einholen kann und schließlich beide zeitgleich die Ziellinie überlaufen. Bei diesem Beispiel beginnen beide Läufer zum gleichen Zeitpunkt ihren Lauf und erreichen zum gleichen Zeitpunkt das Ziel. Wenngleich sie fast nie mit der gleichen Geschwindigkeit gelaufen sind, haben sie laut der Definition am Ende des Laufes die gleiche Durchschnittsgeschwindigkeit.

    Wären beide Läufer mit einer konstanten Geschwindigkeit gelaufen, so wären sie in dem Fall, dass sie zeitgleich die Ziellinie erreichen, immer direkt nebeneinander gelaufen.

  • Nenne korrekte Aussagen zur Momentangeschwindigkeit.

    Tipps

    Wenn du in ein Zeit-Ort-Diagramm einen Start- und eine Zielkoordinate markierst, dann kannst du viele verschiedene Kurven einzeichnen, mit denen du vom Startpunkt zum Zielpunkt gelangst. Was bedeutet das für die Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit?

    Lösung

    Die Momentangeschwindigkeit ist definiert als die Geschwindigkeit in einem Zeitpunkt t. Sie steht mit der Durchschnittsgeschwindigkeit in folgendem Zusammenhang: Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Mittelwert der Momentangeschwindigkeiten.

    Für das Beispiel eines Wettrennens bedeutet dies, dass die Momentangeschwindigkeit nicht entscheidend für den Ausgang des Rennens ist. In dem nebenstehenden Zeit-Ort-Diagramm ist hierfür ein Wettrennen zwischen zwei Autos dargestellt. Die orangen Punkte markieren die Start- und die Zielkoordinate. Wie du siehst, erreichen beide Autos zum gleichen Zeitpunkt das Ziel (die Kurven schneiden sich im Zielpunkt). Der Verlauf der Kurven unterscheidet sich aber sehr stark. Die Geschwindigkeit entspricht im Zeit-Ort Diagramm der Steigung der Kurve. Die größte Steigung beobachtest du bei der helleren Linie, dieses Auto hatte also die höchste Momentangeschwindigkeit. Es hat dennoch nicht gewonnen, da beide Autos im Durchschnitt gleich schnell gefahren sind.

  • Beschreibe den Verlauf des Rennens.

    Tipps

    Im Zeit-Ort-Diagramm entspricht die Steigung der Kurve der Momentangeschwindigkeit des Objektes.

    Lösung

    Aus einem Zeit-Ort-Diagramm kann man sowohl Informationen über die Momentangeschwindigkeit, als auch über die Durchschnittsgeschwindigkeit gewinnen.

    Die Momentangeschwindigkeit ist die Steigung der Kurve zu dem betrachteten Zeitpunkt. Um sie zu ermitteln, kannst du eine Tangente an die Kurve zeichnen und deren Steigung mit einem Steigungsdreieck bestimmen.

    Um die Durchschnittsgeschwindigkeit zu ermitteln, brauchst du lediglich den Start- und den Endpunkt der Bewegung und kannst die Koordinaten in die Formel zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit einsetzen:

    $v_D = \frac{s_2- s_1}{t_2-t_1}$.

    Die abgebildete Grafik ist nicht genau genug, um daraus genaue Messwerte abzulesen. Dennoch kann man die Bewegungen hiermit gut charakterisieren.

    Zusammenfassend kannst du dir, wenn du zwei Bewegungen in einem Zeit-Weg-Diagramm vergleichst, folgendes merken:

    • Die Steigung der Kurve entspricht der Geschwindigkeit des Objektes.
    • In Schnittpunkten beider Kurven ist die Durchschnittsgeschwindigkeit der beiden Objekte gleich (auch wenn sich die Momentangeschwindigkeiten zu diesem Zeitpunkt unterscheiden).
    • Liegen beide Kurven aufeinander, so sind sowohl Momentan- als auch Durchschnittsgeschwindigkeiten zu dieser Zeit gleich.
  • Ermittle die notwendige Mindestlänge der Start-/Landebahn und die Momentangeschwindigkeit des Flugzeuges beim Abheben.

    Tipps

    Der Zusammenhang zwischen Strecke und Beschleunigung lautet $s=0,5\cdot a\cdot t^2$.

    Lösung

    Die Zeit (t = 40 s) und die Beschleunigung (a = 3 $\frac{m}{s^2}$) sind für den Start des Flugzeuges gegeben. Diese Werte können in die Formel $s=0,5\cdot a\cdot t^2$ eingesetzt werden. Es folgt s = 2400 m. Natürlich sollte eine Start-/Landebahn etwas länger sein als diese zum Start benötigte Mindestlänge. Bei auftretenden Komplikationen kann so ein Start abgebrochen werden.

    Die Geschwindigkeit kann mit der Formel $v=a\cdot t $ berechnet werden. Es ergibt sich hier ein Wert von v = 120 m/s. Da es eine Geschwindigkeit ist, die in dem Moment des Abhebens des Flugzeuges erreicht wird, handelt es sich hier um eine Momentangeschwindigkeit.

    Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann übrigens auch mit den in der Aufgabe angegebenen und den berechneten Werten ermittelt werden: Es ist angegeben, dass das Flugzeug 40 s zum Starten benötigt. Wir haben berechnet, dass die Startbahn 2400 m lang ist. Man kann also rechnen

    $v_D=\frac{s}{t}\rightarrow v_D=60\ m/s$.

  • Nenne korrekte Aussagen zur Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit.

    Tipps

    Die Momentangeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die ein Objekt zu einem bestimmten Zeitpunkt t hat.

    Lösung

    Momentangeschwindigkeiten sind im Gegensatz zu Durchschnittsgeschwindigkeiten immer Geschwindigkeiten zu bestimmten Zeitpunkten. In den Sätzen sind bestimmte Situationen geschildert, in denen Lisa und Erik verschiedene oder gleiche Geschwindigkeiten haben. Um Momentangeschwindigkeiten zu vergleichen, hilft es häufig, sich die Situationen bildlich vorzustellen.

  • Bestimme die zurückgelegte Strecke, die Durchschnittsgeschwindigkeit und die maximale Momentangeschwindigkeit.

    Tipps

    Die Fahrt kann in zwei Abschnitte unterteilt werden, für die man separat die zurückgelegten Strecken berechnen kann.

    Lösung

    Die Fahrt des Autos kann in zwei Abschnitte unterteilt werden:

    • eine Beschleunigungsphase zu Beginn mit $a_1$ = 1,6 $\frac{m}{s^2}$ und $t_1$ = 10 s
    • eine gleichförmige Bewegung mit v = unbekannt und $t_2$ = 40 s
    Die maximale Momentangeschwindigkeit wird zum Ende der ersten Phase erreicht und bleibt in der zweiten Phase konstant, da hier keine Beschleunigung mehr stattfindet. Sie ergibt sich aus $v_M=a_1\cdot t_1 \rightarrow v_M = 16\ m/s$.

    Um die zurückgelegte Strecke zu berechnen, kann für die erste Phase die Formel $s=0,5\cdot a \cdot t^2$ verwendet werden. Für die zweite Phase kann die Formel $s=v\cdot t$ verwendet werden, wobei für die Geschwindigkeit die bereits berechnete Maximalgeschwindigkeit $v_M$ gilt.

    Für die Gesamtstrecke können die Teilstrecken der zwei Phasen addiert werden, sodass sich ergibt:

    $s=0,5\cdot a_1 \cdot {t_1}^2 + (a_1\cdot t_1)\cdot t_2$

    Nach Einsetzen der oben angegeben Werte erhält man für die Gesamtstrecke s = 720 m.

    Zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit genügt die zurückgelegte Strecke und die Gesamtzeit der Bewegung: $v_D=\frac{s}{t_1+t_2}$ $\rightarrow v_D=\frac{720 m}{10 s+40 s}=14,4\ m/s$.

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