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Kreisbewegung – Umlaufdauer, Frequenz, Winkel- und Bahngeschwindigkeit

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Team Digital
Kreisbewegung – Umlaufdauer, Frequenz, Winkel- und Bahngeschwindigkeit
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Grundlagen zum Thema Kreisbewegung – Umlaufdauer, Frequenz, Winkel- und Bahngeschwindigkeit

Inhalt

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die vier wichtigsten physikalischen Größen bei einer Kreisbewegung zu berechnen.

Zunächst lernst du, wie Umlaufdauer und Frequenz definiert sind und wie sie berechnet werden. Anschließend wird der Unterschied zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit betrachtet und beide werden berechnet. Abschließend lernst du, wie du die Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit ineinander umrechnen kannst.

Zusammenfassung

Lerne etwas über die Kreisbewegung, die Betty beim Hammerwurf ausführt.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie gleichförmige Kreisbewegung, Umlaufdauer, Frequenz, Hertz, Bahngeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit und Bogenmaß.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man eine Geschwindigkeit allgemein berechnet und wie Radius und Umfang eines Kreises zusammenhängen.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, etwas über die Winkelbeschleunigung, Radialbeschleunigung und die Zentripetalkraft zu lernen.

Die Kreisbewegung in der Physik

Hast du dich schon einmal gefragt, wie man die Bewegung eines Karussells in der Physik beschreibt? Es handelt sich dabei um eine Kreisbewegung. Kreisbewegungen findest du in vielen verschiedenen Bereichen des Alltags und der Wissenschaft – Satelliten laufen in Kreisbewegungen um die Erde, die Erde selbst führt kontinuierlich eine Kreisbewegung aus und auch die Räder deines Fahrrads folgen dieser Form der Bewegung. Im Folgenden wollen wir uns damit beschäftigen, wie man solche Bewegungen in der Physik beschreibt.


Kreisbewegung – Definition

Ein Körper führt eine Kreisbewegung aus, wenn er sich auf einer kreisförmigen Bahn bewegt. Die Kreisbewegung ist eine Form der Rotation oder Drehbewegung.


Kreisbewegung – Formeln

Wir wollen die Kreisbewegung anhand einiger Beispiele näher betrachten und die wichtigsten Größen und Formeln auflisten. Das folgende Bild zeigt ein sich drehendes Karussell.

Kreisbewegung Definition

Die Person A steht neben dem Karussell, während die Personen B und C auf verschiedenen Plätzen im Karussell sitzen. Wir stellen uns vor, dass Person A eine Stoppuhr hat. Damit misst sie nun die Zeit, die die Personen B und C für genau einen Umlauf brauchen. Die Zeit, die sie misst, nennt man die Umlaufdauer $T$. Wenn sich die Geschwindigkeit des Karussells nicht ändert, kann Person A für eine höhere Genauigkeit auch die Zeit für mehrere Umläufe messen und durch die Zahl der Umläufe teilen, um die Umlaufdauer zu ermitteln:

$T = \frac{t}{n} = \frac{\text{verstrichene Zeit}}{\text{Anzahl der Umläufe}}$

Wenn die Umlaufdauer $T$ zeitlich konstant ist, spricht man auch von einer gleichförmigen Kreisbewegung. Ändert sich die Umlaufdauer, spricht man von einer ungleichförmigen Kreisbewegung.
Eine weitere wichtige Größe ist die Frequenz $f$ der Kreisbewegung. Damit ist die Anzahl an Umläufen pro Sekunde gemeint. Man kann sie einfach berechnen, indem man den Kehrwert der Umlaufdauer bildet:

$f = \frac{1}{T}$

Die Einheit der Frequenz ist eins pro Sekunde, was auch als Hertz $(\pu{Hz})$ bezeichnet wird:

$[f] = \frac{1}{\text{s}} = \pu{Hz}$

Werfen wir nun einen Blick auf die Personen B und C auf unserem Karussell. Beide bewegen sich auf einer Bahn mit derselben Umlaufzeit, vollziehen also einen vollen Umlauf in derselben Zeit $T$. Diesen Zusammenhang können wir mit der Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung beschreiben.

Bei der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ betrachten wir den pro Zeit überstrichenen Winkel $\Delta \phi$. Da die Umlaufdauer $T$ einen vollen Umlauf beschreibt, muss in dieser Zeit ein Winkel von $360^{\circ}$ oder, im Bogenmaß, $2\pi$ umlaufen werden. Deswegen können wir für die Winkelgeschwindigkeit schreiben:

$\omega = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{2\pi}{T}$

Es ist üblich, das Bogenmaß (auch: Radiant) statt des Gradmaßes zu verwenden. Dann ist die Einheit der Winkelgeschwindigkeit Radians (rad) pro Sekunde:

$[\omega] = \pu{rad//s}$

Im Gegensatz dazu gibt die Bahngeschwindigkeit die Strecke $\Delta s$ pro Zeit $\Delta t$ an.

Die Bahnen, die die Personen B und C zurücklegen, haben unterschiedliche Längen. Denn die Länge der jeweiligen Kreisbahn ist der Umfang des Kreises, auf dem sie sich bewegen – also $2 \pi r$. Und Person C sitzt weiter innen als Person B, ihre Bahn hat also einen kleineren Radius.

Die Länge der zurückgelegten Strecke entspricht einem Kreissegment $\Delta s$ zum Winkel $\Delta \phi$.

gleichförmige Kreisbewegung Physik

Allgemein gilt also für die Bahngeschwindigkeit $v$ die Formel:

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Für die Länge eines Kreissegments gilt (unter Verwendung des Bogenmaßes) die folgende Relation: Das Verhältnis des überstrichenen Winkels $\Delta \phi$ zum Vollwinkel von $2\pi$ ist gleich dem Verhältnis von Kreissegment zu Kreisumfang, also:

$\frac{\Delta \phi}{2\pi} = \frac{\Delta s}{2 \pi r}$

Diese Formel enthält den überstrichenen Winkel $\Delta \phi$ und den Radius $r$ des jeweiligen Kreises. Nach $\Delta s$ umgestellt erhalten wir:

$\Delta s = r \Delta \phi$

Diesen Term können wir in die Gleichung für die Bahngeschwindigkeit einsetzen und erhalten:

$v = \frac{r \Delta \phi}{\Delta t}$

Den Term $\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ haben wir schon als die Winkelgeschwindigkeit $\omega $ kennengelernt. Also gilt für die Bahngeschwindigkeit:

$v = r \cdot \omega$

Die Einheit der Bahngeschwindigkeit ist Meter pro Sekunde.

$[v] = \pu{m//s}$

Die Personen B und C haben also dieselbe Winkelgeschwindigkeit. Da sich die Radien ihrer Kreisbahnen aber unterscheiden, haben sie verschiedene Bahngeschwindigkeiten.

Das Video Kreisbewegung – Umlaufdauer, Frequenz, Winkel- und Bahngeschwindigkeit kurz zusammengefasst

In diesem Video werden dir die Grundbegriffe der Kreisbewegung einfach erklärt. Du lernst erste Zusammenhänge und Formeln zu diesem Thema kennen. Neben Text und Video findest du Übungsaufgaben, mit denen du dein neues Wissen vertiefen kannst.

Transkript Kreisbewegung – Umlaufdauer, Frequenz, Winkel- und Bahngeschwindigkeit

Betty hat es auf die Goldmedaille im Hammerwerfen abgesehen. Der schwere Hammer schwingt sich nicht von alleine, aber mit einer gut getimten „Kreisbewegung“ kann das was werden. In diesem Video sehen wir uns die vier wichtigsten Größen dabei an: „Umlaufdauer“, „Frequenz“, „Winkelgeschwindigkeit“ und „Bahngeschwindigkeit“. Zuerstmal bedeutet „Kreisbewegung“, dass ein Körper sich im Kreis bewegt, wie zum Beispiel Bettys Hammer. Er umläuft eine „Kreisbahn“ und kommt wieder an dem Punkt an, an dem er gestartet ist. Damit ist auch schnell klar, was mit „Umlaufdauer“ gemeint ist: Die Zeit, die der Körper für einen Umlauf der Kreisbahn benötigt. Diese wird mit einem großen „T“ bezeichnet und in „Sekunden“ angegeben. Wenn mehrere Umläufe gemacht werden, wie bei nem Karussell oder einem Rad, kannst du die dafür insgesamt benötigte Zeit „t“ durch die Anzahl der Umläufe „n“ teilen, um die Umlaufdauer „groß-T“ zu berechnen. Vor allem bei schnellen Kreisbewegungen ist es interessant, wie viele Umläufe pro Sekunde geschafft werden. Das nennt man die „Frequenz f“ der Kreisbewegung. Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufdauer, du kannst sie also berechnen, indem du einfach „eins durch groß-T“ teilst. Entsprechend ist die Einheit der Frequenz „Eins durch Sekunde“. Das wird manchmal auch „Sekunde hoch minus eins“ geschrieben, oder mit der Abkürzung „Hertz“ bezeichnet, die du vielleicht schon einmal gehört hast.
Solange eine Kreisbewegung immer „gleich schnell“ abläuft, spricht man von einer „gleichförmigen Kreisbewegung“. Umlaufdauer und Frequenz bleiben dann konstant, egal wie viele Umläufe gemacht werden. Bei langsamen Kreisbewegungen ist die Frequenz oft kleiner als eins. Ein Karussell, das beispielsweise vier Sekunden für einen Umlauf braucht, hat eine Umlaufdauer von vier Sekunden, und damit eine Frequenz von „null Komma zwei fünf Hertz“. Das Karussell schafft also nur einen Viertel Umlauf pro Sekunde. Hohe Frequenzen findest du zum Beispiel bei Rennwagen, deren Reifen sich mit zweihundertfünfzig Umdrehungen pro Sekunde, also zweihundertfünfzig Hertz, drehen können. Aber kommen wir zurück zu Bettys Hammerwurf. Hier ist interessant, wie schnell der Hammer sich bewegt, denn je schneller er ist, umso weiter fliegt er später auch. Also sehen wir uns mal die „Bahngeschwindigkeit“ des Hammers an. Damit ist die Geschwindigkeit gemeint, mit der sich der Hammer auf seiner Kreisbahn bewegt. Du weißt vielleicht, dass man eine Geschwindigkeit „v“ ganz allgemein berechnen kann, indem man die zurückgelegte Strecke „s“ durch die dafür benötigte Zeit „t“ teilt. Die zurückgelegte Strecke ist nun genau die Länge der Kreisbahn, also gleich dem Kreisumfang, der mit der Formel „zwei Pi mal r“ berechnet werden kann, wenn der Radius „r“ des Kreises bekannt ist. Die Zeit ist genau die Umlaufdauer „groß-T“, weil wir nur einen Umlauf betrachten. Wenn also Betty den Hammer in einem Radius von „eins Komma fünf Metern“ schwingt und dabei für eine Umdrehung „null Komma fünf Sekunden“ benötigt, bewegt sich der Hammer mit einer Bahngeschwindigkeit von circa „achtzehn Komma acht Meter pro Sekunde“ um sie herum. Ok! Wie schnell dreht sich dann dabei die Kette? Genauso schnell, oder? Aber halt! Muss der Hammer ganz Außen nicht einen viel längeren Weg zurückzulegen, als die Glieder der Kette, die weiter innen liegen? Tatsächlich ist die Bahngeschwindigkeit eines Kettengliedes in der Mitte, nur halb so groß wie die des Hammers außen, da der Radius der Kreisbahn entsprechend kleiner ist. Was für beide gleich bleibt, ist die sogenannte Winkelgeschwindigkeit. Diese beschreibt, wie schnell der „Drehwinkel“, meist abgekürzt mit „Phi“, bei der Kreisbewegung wächst, also überstrichen wird. Zur Unterscheidung von Winkel- und Bahngeschwindigkeit, wird für die Winkelgeschwindigkeit das griechische Symbol „Omega“ verwendet. Anstelle der Strecke der Kreisbahn betrachten wir hier also den Winkel, „Phi“, und erhalten die Formel „Omega ist gleich Phi durch t“. Betrachten wir einen Umlauf, können wir für „t“ wieder die Umlaufdauer „groß-T“ einsetzen und für „Phi“ dreihundertsechzig Grad, da es sich ja um eine volle Umdrehung handelt. Allerdings rechnen wir in der Physik Winkelangaben immer ins Bogenmaß um, davon hast du bestimmt schonmal was gehört. Ganz einfach gesagt gilt, dass „dreihundertsechzig Grad“ im Bogenmaß „Zwei Pi“ entsprechen. Damit wird unserer Formel zu „Omega gleich zwei Pi durch T“. Beim Hammerwurf drehen sich Hammer und Kette gleichzeitig miteinander, sie benötigen dieselbe Umlaufdauer „groß-T“, und bewegen sich damit mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit „Omega gleich zwölf Komma sechs pro Sekunde“, ganz unabhängig vom jeweiligen Radius der Kreisbewegung. Sehen wir uns die Formeln für die Bahngeschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit nochmal genauer an, stellen wir fest, dass diese eigentlich ziemlich ähnlich aussehen. Bei der Bahngeschwindigkeit ist nur noch ein „mal r“ dabei. Oder anders ausgedrückt: „Die Bahngeschwindigkeit ist gleich der Winkelgeschwindigkeit mal r“. Das gilt aber eben nur, wenn wir den Winkel und damit auch die Winkelgeschwindigkeit im Bogenmaß betrachten. Fassen wir alles zusammen: Die wichtigste Größe bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist die Umlaufdauer „groß-T“. Aus dieser lässt sich die Frequenz „f“ berechnen. Schnelle Kreisbewegungen haben eine kurze Umlaufdauer und eine hohe Frequenz. Wir unterscheiden zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit. Die „Winkelgeschwindigkeit“ ist unabhängig vom Radius der Kreisbahn, und lässt sich über den Drehwinkel „Phi“ oder direkt aus der Umlaufdauer berechnen. Bei der „Bahngeschwindigkeit“ wird der Radius miteinbezogen. Körper auf verschiedenen Bahnen können die gleiche Winkelgeschwindigkeit, aber unterschiedliche Bahngeschwindigkeiten haben. Bei der „gleichförmigen Kreisbewegung“ ändern sich diese Geschwindigkeiten während der Bewegung nicht. Und wenn Betty den Hammer loslässt, fliegt er mit der Bahngeschwindigkeit davon!

Kreisbewegung – Umlaufdauer, Frequenz, Winkel- und Bahngeschwindigkeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreisbewegung – Umlaufdauer, Frequenz, Winkel- und Bahngeschwindigkeit kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Umlaufdauer und die Frequenz einer Kreisbewegung.

    Tipps

    Der Zusammenhang zwischen der Frequenz $f$ und der Umlaufdauer $T$ wird durch folgende Formel ausgedrückt:

    $f=\dfrac{1}{T}$

    Eine Zeit bzw. eine Dauer wird in Sekunden $s$ angegeben.

    Lösung

    Zwei der wichtigsten Größen einer Kreisbewegung sind die Umlaufdauer und die Frequenz:

    Die Umlaufdauer wird mit dem Formelzeichen $\color{#669900}{T}$ bezeichnet und gibt die Zeit an, die der Körper für einen Umlauf der Kreisbahn benötigt. Sie wird in Sekunden ($\color{#669900}\text{s}$) angegeben. Wenn mehrere Umläufe gemacht werden, teilen wir die dafür benötigte Zeit $t$ durch die Anzahl der Umläufe, um die Umlaufdauer $T$ zu berechnen:

    $T=\dfrac{t}{n}$

    Beispiel:
    Beim Hammerwerfen gibt die Umlaufdauer die Dauer an, die der Hammer beim Schwingen für einen Umlauf benötigt. Wenn der Sportler bzw. die Sportlerin den Hammer zweimal um sich schwingt, also zwei Umläufe macht, haben wir $n = 2$.

    Die Frequenz wird mit dem Formelzeichen $\color{#669900}{f}$ bezeichnet und gibt an, wie viele Umläufe pro Sekunde erfolgen. Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufdauer:

    $f=\dfrac{1}{T}$

    Ihre Einheit ist $\color{#669900}{1\,\dfrac{1}{\text{s}}}$. Diese nennen wir auch Hertz ($\color{#669900}\text{Hz}$).

    Beispiel:
    Die Reifen eines Rennwagens schaffen $250$ Umdrehungen, also Umläufe, pro Sekunde und besitzen damit eine Frequenz von $250\,\text{Hz}$.

  • Definiere die Kenngrößen einer Kreisbewegung.

    Tipps

    Wenn mehrere Umläufe gemacht werden, dann teilen wir die dafür benötigte Zeit $t$ durch die Anzahl der Umläufe $n$, um die Umlaufdauer $T$ zu berechnen.

    Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufdauer:

    $f=\dfrac{1}{T}$

    Ihre Einheit ist $1\,\dfrac{1}{\text{s}}= 1\, \text{Hz}$.

    Für die Bahngeschwindigkeit gilt:

    $v=\dfrac{2 \pi r}{t}$

    Lösung

    Eine Kreisbewegung kann durch vier Kenngrößen beschrieben werden:

    • Umlaufdauer $T$
    • Frequenz $f$
    • Bahngeschwindigkeit $v$
    • Winkelgeschwindigkeit $\omega$

    Wir betrachten die vier Größen nun genauer:

    Die Umlaufdauer wird mit $T$ bezeichnet. Sie gibt die Zeit an, die der Körper für einen Umlauf der Kreisbahn benötigt. Die Einheit der Umlaufdauer ist Sekunde ($\text{s}$). Wenn mehrere Umläufe gemacht werden, teilen wir die dafür benötigte Zeit $t$ durch die Anzahl der Umläufe, um die Umlaufdauer $T$ zu berechnen:

    $T=\dfrac{t}{n}$

    Die Frequenz wird mit $f$ bezeichnet. Sie gibt an, wie viele Umläufe pro Sekunde erfolgen. Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufdauer:

    $f=\dfrac{1}{T}$

    Ihre Einheit ist $1\,\dfrac{1}{\text{s}}$. Diese nennen wir auch Hertz ($\text{Hz}$).

    Die Bahngeschwindigkeit wird mit $v$ bezeichnet. Sie gibt an, mit welcher Geschwindigkeit sich der Körper auf der Kreisbahn bewegt. Wir können sie mit

    $v=\dfrac{2 \pi r}{t}$ berechnen. Ihre Einheit ist $1\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

    Die Winkelgeschwindigkeit wird mit $\omega$ bezeichnet. Sie gibt an, wie schnell der Drehwinkel überstrichen wird. Wird der Winkel im Bogenmaß angegeben, so gilt:

    $\omega=\dfrac{2 \pi}{t}$

    Die Winkelgeschwindigkeit ist also unabhängig vom Radius. Ihre Einheit ist $1\,\dfrac{1}{\text{s}}$.

    Wird der Winkel in Grad angegeben, so gilt:

    $\omega=\dfrac{360^\circ}{t}$

  • Berechne die Bahngeschwindigkeit des Mondes.

    Tipps

    Achte darauf, die Einheiten umzuwandeln.

    Da die Bahngeschwindigkeit in $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ angegeben werden soll, müssen wir die Entfernung in Meter umwandeln. Es gilt:

    $1\,\text{km} = 1\,000\,\text{m}$

    Beispiel:

    $567\,\text{km} = 567\,000\,\text{m}$

    Die Zeit ist in Tagen angegeben, gesucht sind aber Sekunden. Es gilt:

    • $1$ Tag $= 24$ Stunden
    • $1$ Stunde $= 60$ Minuten
    • $1$ Minute $= 60$ Sekunden

    Beispiel:
    $3$ Tage $= 72$ Stunden $= 4\,320$ Minuten $= 259\,200$ Sekunden

    Die Formel der Bahngeschwindigkeit lautet:

    $v=\dfrac{2 \pi r}{T}$

    Lösung

    Die Bahngeschwindigkeit gibt bei einer Kreisbewegung an, mit welcher Geschwindigkeit sich der Körper auf der Kreisbahn bewegt. Sie wird mit $v$ bezeichnet.
    Wir berechnen sie, indem wir die zurückgelegte Strecke (der Umfang des Kreises) durch die dafür benötigte Zeit (die Umlaufdauer) dividieren:

    $v=\dfrac{2 \pi r}{T}$

    Bei der Berechnung der Bahngeschwindigkeit des Mondes müssen wir berücksichtigen, dass diese in $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ angegeben werden soll. Wir müssen daher zunächst die Einheiten umwandeln. Es gilt:

    $1\,\text{km} = 1\,000\,\text{m}$

    • $1$ Tag $= 24$ Stunden
    • $1$ Stunde $= 60$ Minuten
    • $1$ Minute $= 60$ Sekunden

    Damit erhalten wir für unsere Werte:

    $384\,000\,\text{km} = 384\,000\,000\,\text{m}$

    $27$ Tage $= 648$ Stunden $= 38\,880$ Minuten $= 2\,332\,800$ Sekunden

    Damit ergibt sich:

    $\begin{array}{ll} v &= \dfrac{2 \pi r}{T} =\dfrac{2 \pi \cdot 384\,000\,000\,\text{m}}{2\,332\,800\,\text{s}} \\ &\approx 1034{,}3 \, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}\end{array}$

  • Bestimme die fehlenden Größen.

    Tipps

    Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gibt an, wie schnell der Drehwinkel überstrichen wird. Wird der Winkel im Bogenmaß angegeben, so gilt:

    $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}$

    Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufdauer:

    $ f=\dfrac{1}{T}$

    Die Bahngeschwindigkeit $v$ kannst du mit folgender Formel berechnen:

    $v= \dfrac{2 \pi r}{T}$

    Um anhand der Bahngeschwindigkeit die Umlaufdauer zu ermitteln, musst du die Formel umstellen:

    $v=\dfrac{2 \pi r}{T} \quad \Leftrightarrow \quad T= \dfrac{2 \pi r}{v}$

    Lösung

    Um die Aufgaben zu bearbeiten, müssen wir die folgenden Größen einer Kreisbewegung kennen:

    • Die Umlaufdauer $T$ gibt die Zeit an, die der Körper für einen Umlauf der Kreisbahn benötigt.
    • Die Frequenz $f$ gibt an, wie viele Umläufe pro Sekunde erfolgen.
    Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufdauer:
    $f=\dfrac{1}{T}$
    • Die Bahngeschwindigkeit $v$ gibt an, mit welcher Geschwindigkeit sich der Körper auf der Kreisbahn bewegt.
    Wir können sie berechnen mit:
    $v=\dfrac{2 \pi r}{T}$
    • Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gibt an, wie schnell der Drehwinkel überstrichen wird.
    Wird der Winkel im Bogenmaß angegeben, so gilt:
    $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}$

    Wir betrachten damit die einzelnen Beispiele:

    Beispiel 1:

    Eine Kugel dreht sich an einer $3\,\text{m}$ langen Kette $4$ Male pro Minute.

    $T= 60:4\,\text{s} = 15\,\text{s}$

    $\omega = \dfrac{2 \pi}{T} = \dfrac{2 \pi}{15\,\text{s}} \approx 0{,}4\,\dfrac{1}{\text{s}}$

    Beispiel 2:

    Ein Wagen fährt auf einer kreisförmigen Bahn mit Radius $r=15\,\text{m}$. Pro Umlauf benötigt er $40\,\text{s}$.

    $f=\dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{40\,\text{s}} = 0{,}025\,\dfrac{1}{\text{s}}$

    $v= \dfrac{2 \pi r}{T} = \dfrac{2 \pi \cdot 15\,\text{m}}{40\,\text{s}}\approx 2{,}4\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

    Beispiel 3:

    Ein Körper dreht sich auf einer Kreisbahn mit Radius $r=3\,\text{m}$ mit der konstanten Bahngeschwindigkeit $v=30\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

    $\begin{array}{ll}&v=\dfrac{2 \pi r}{T} \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \\ &T= \dfrac{2 \pi r}{v} = \dfrac{2 \pi \cdot 3\,\text{m} }{30\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}} \approx 0{,}6 \,\text{s}\end{array}$

  • Gib an, bei welchen Bewegungen es sich um eine Kreisbewegung handelt.

    Tipps

    Kreisbewegung bedeutet, dass ein Körper sich im Kreis bewegt.

    Fährt ein Auto geradeaus, so handelt es sich nicht um eine Kreisbewegung.

    Lösung

    Kreisbewegung bedeutet, dass ein Körper sich im Kreis bewegt: Der Körper erreicht nach einem Umlauf erneut die Startposition.

    Damit sind die folgenden Beispiele Kreisbewegungen:

    • Ein Hammer wird beim Hammerwerfen geschwungen.
    Der Hammerwerfer bzw. die Hammerwerferin schwingt den Hammer in einer Kreisbewegung um sich selbst.
    • Ein Karussell dreht sich.
    Die Kinder auf dem Karussell bewegen sich auf ihren Plätzen durch das drehende Karussell in einer Kreisbewegung.


    Die anderen Beispiele sind keine Kreisbewegungen:

    • Ein Ball wird geworfen.
    Der Ball bewegt sich nicht auf einer Kreisbahn, sondern auf einer Parabelbahn.
    • Ein Apfel fällt vom Baum.
    Der Apfel bewegt sich geradlinig nach unten und kann nicht – wie auf einer Kreisbahn – zum Startpunkt zurück.
    • Ein Auto startet an einer Ampel.
    Das Auto bewegt sich geradlinig nach vorn, also nicht auf einer Kreisbahn.
  • Überprüfe die Aussagen.

    Tipps

    Die Bahngeschwindigkeit $v$ steht in folgendem Zusammenhang zur Umlaufdauer $T$ und zur Frequenz $f$:

    $v=\dfrac{2 \pi r}{T} = 2 \pi r \cdot f$

    Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gibt an, wie schnell Marta auf dem Karussell einen Drehwinkel überstreicht.

    Lösung

    Bei einer Kreisbewegung müssen wir die vier folgenden Größen unterscheiden:

    • Die Umlaufdauer $T$ gibt die Zeit an, die der Körper für einen Umlauf der Kreisbahn benötigt.
    • Die Frequenz $f$ gibt an, wie viele Umläufe pro Sekunde erfolgen.
    Die Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufdauer:
    $f=\dfrac{1}{T}$
    • Die Bahngeschwindigkeit $v$ gibt an, mit welcher Geschwindigkeit sich der Körper auf der Kreisbahn bewegt.
    Wir können sie berechnen mit:
    $v=\dfrac{2 \pi r}{T}$ berechnen.
    • Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gibt an, wie schnell der Drehwinkel überstrichen wird.
    Wird der Winkel im Bogenmaß angegeben, so gilt:
    $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}$


    Damit können wir die gegebenen Aussagen überprüfen:

    • Je größer die Frequenz $f$ ist, umso kleiner ist die Bahngeschwindigkeit $v$.
    Für die Bahngeschwindigkeit gilt:

    $v=\dfrac{2 \pi r}{T} = 2 \pi r \cdot f$, da $f=\dfrac{1}{T}$

    Somit gilt: Je größer die Frequenz ist, umso größer ist die Bahngeschwindigkeit, da zur Berechnung der Bahngeschwindigkeit die Frequenz mit $2 \pi r$ multipliziert wird. Die Aussage ist demnach falsch.
    Bei größerer Frequenz bewegt sich Timos Schwester also schneller.

    • Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ist unabhängig vom Radius $r$.
    Für die Winkelgeschwindigkeit gilt:

    $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}$

    Da in der Formel der Radius nicht vorkommt (im Gegensatz zur Formel der Bahngeschwindigkeit), ist die Winkelgeschwindigkeit unabhängig vom Radius. Die Aussage ist also richtig.
    Egal auf welcher Position auf dem Karussell Timos Schwester sitzt, die Winkelgeschwindigkeit ist gleich.

    • Die Bahngeschwindigkeit $v$ ist proportional zur Umlaufdauer $T$.
    Für die Bahngeschwindigkeit gilt:

    $v=\dfrac{2 \pi r}{T}$

    Weil die Umlaufdauer $T$ im Nenner steht, ist die Bahngeschwindigkeit nicht proportional zu $T$, sondern antiproportional. Die Aussage ist also falsch.
    Je größer die Umlaufdauer, umso langsamer bewegt sich Timos Schwester auf der Kreisbahn.

    • Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ist proportional zur Frequenz $f$.
    Für die Winkelgeschwindigkeit gilt:

    $\omega=\dfrac{2 \pi}{T} = 2 \pi \cdot f$, da $f=\dfrac{1}{T}$

    Da zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit die Frequenz mit $2 \pi$ multipliziert wird, ist die Aussage richtig.

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