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Mit Bogenmaß und Polarkoordinaten eine Kreisbewegung berechnen

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Lerntext zum Thema Mit Bogenmaß und Polarkoordinaten eine Kreisbewegung berechnen

Mit Bogenmaß und Polarkoordinaten eine Kreisbewegung berechnen

Die Berechnung einer Kreisbewegung ist ein fundamentales Thema in der Mathematik und Physik. Im Folgenden blicken wir detailliert in die Konzepte des Bogenmaßes und der Polarkoordinaten. Diese werden zur Berechnung von Kreisbewegungen verwendet.

Das Bogenmaß

Das Bogenmaß ist eine Methode zur Angabe von Winkeln, die statt der Gradangabe die Länge des Kreisbogens verwendet, der durch den Winkel auf einem Einheitskreis (Kreis mit dem Radius $1$) ausgeschnitten wird. Ein vollständiger Kreisumfang entspricht einem Winkel von $2 \pi$ im Bogenmaß, da die Formel für den Umfang $U = 2\pi r$ ist und für einen Einheitskreis $r = 1$ der Umfang $2 \pi$ beträgt.

Die folgende Abbildung zeigt den Einheitskreis:

Einheitskreis

Die Umrechnung zwischen Grad und Bogenmaß ist zentral, um die verschiedenen Winkelmessungen in der Mathematik und Physik zu verstehen und zu nutzen. Die grundlegenden Formeln hierfür sind:

  • $\pu{1 rad} ~\hat{=}~ \dfrac{180^\circ} \pi$
  • $1^\circ ~\hat{=} ~\dfrac{\pi}{180}~\text{rad} $

Durch diese Formeln kann man leicht zwischen den beiden Einheiten wechseln.

Radius und Winkel in Polarkoordinaten

Die Polarkoordinaten sind eine Methode zur Beschreibung der Position eines Punkts in einer Ebene durch einen Radius (Abstand vom Ursprung) und einen Winkel. Im Gegensatz zu kartesischen Koordinaten, die durch $x$- und $y$-Werte ausgedrückt werden, nutzen Polarkoordinaten den Radius $r$ und den Winkel $\varphi$ (in Bogenmaß oder Grad), um die Position anzugeben.

Umrechnung zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten

Die folgende Abbildung zeigt, dass die Punkte auf dem Einheitskreis mithilfe von Sinus und Cosinus dargestellt werden können:

Polarkoordinaten

Die Umrechnung ist wichtig, um die Vorteile beider Koordinatensysteme zu nutzen. Die Formeln für die Umrechnung sind:

Kartesisch zu polar Polar zu kartesisch
$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ $x = r \cos(\varphi)$
$\varphi = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$ $y = r \sin(\varphi)$

Diese Umrechnungen ermöglichen es, Positionen und Bewegungen sowohl in der analytischen Geometrie als auch in der Physik präzise zu beschreiben.

Vorteile des Bogenmaßes und der Polarkoordinaten

Das Bogenmaß und die Polarkoordinaten bieten gegenüber dem Gradmaß und den kartesischen Koordinaten mehrere Vorteile, besonders in der Physik und bei der Berechnung von Kreisbewegungen. Das Bogenmaß vereinfacht die Berechnungen von Winkelfunktionen und -geschwindigkeiten, während Polarkoordinaten eine intuitivere Beschreibung von Kreisbewegungen und radialen Distanzen ermöglichen.

Beispiele

Ein typisches Beispiel für die Anwendung des Bogenmaßes und der Polarkoordinaten ist die Berechnung der Winkelgeschwindigkeit in einer Kreisbewegung. Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ist definiert als der Winkel (in Bogenmaß), der pro Zeiteinheit überstrichen wird.

Eine Anwendung aus der Realität ist die Navigation und Robotik, wo Polarkoordinaten verwendet werden, um die Bewegung und Ausrichtung von Objekten relativ zu einem Ursprungspunkt anzugeben.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Mit Bogenmaß und Polarkoordinaten eine Kreisbewegung berechnen

Wie wird das Bogenmaß genau definiert?
Warum verwendet man in der Physik oft das Bogenmaß statt Grad?
Was sind die Hauptvorteile der Verwendung von Polarkoordinaten?
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Mit Bogenmaß und Polarkoordinaten eine Kreisbewegung berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Mit Bogenmaß und Polarkoordinaten eine Kreisbewegung berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschrifte die Kreisbewegung.

    Tipps

    Zwei der Lücken sind Polarkoordinaten.

    Lösung

    Klären wir hier erst einmal die Begrifflichkeiten.

    In Polarkoordinaten gibt es den Radius $r$, hier der blaue Strich. Der rote Strich ergibt sich durch den Winkel $\varphi$, der den Bogen $b$ aufspannt. Auch der rote Strich besitzt die Länge des Radius.

    Das Bogenmaß beschreibt den Winkel $\varphi$ für eine volle Kreisbewegung. Deshalb kann $\varphi$ im Bogenmaß zwischen $0$ und $2\pi$ liegen.

    Denn $\varphi=\dfrac{b}{r}$. Setzt man für $b$ den Umfang ein, ist das Ergebnis $2\pi$.

  • Nenne Unterschiede zwischen Grad- und Bogenmaß.

    Tipps

    Überlege für die letzte Aussage, was dir leichter erscheint: mit Brüchen bzw. Vielfachen von $\pi$ zu rechnen oder mit hohen Gradzahlen?

    Lösung

    Grad und Rad (Bogenmaß) unterscheiden sich in vielerlei Hinsicht.

    Beide beschreiben einen Kreis, nur eben in anderen Zahlen.

    Während der Kreiswinkel in Grad mit einer Größe von $0^\circ -360^\circ$ beschrieben wird, wird er im Bogenmaß in $0-2\pi$ beschrieben.

    Mit dem Bogenmaß lässt es sich einfacher rechnen, denn ein halber Kreis ist $\pi$ und ein ganzer $2\pi$. Ein Viertelkreis ist $\dfrac{\pi}{2}$ usw. Bei Schwingungen sind das eigentlich die einzigen Stellen, die man benötigt. In Grad müsste man dauernd mit Zahlen von 0 bis 360 arbeiten und Umrechnungsfaktoren berücksichtigen.

  • Erkläre die Berechnungen im Bogenmaß.

    Tipps

    Im Bogenmaß wird der Winkel berechnet durch $\varphi=\dfrac{b}{r}$. Was sagt dir das über die Einheit?

    Lösung

    Wenn du mit Winkeln rechnest, musst du wissen, wie es sich mit Einheiten und Umrechnungen verhält.

    Das Bogenmaß benutzt man beim Beschreiben von Kreisbewegungen. Dabei geht der Winkel von $0$ bis $2\pi$ und ist letztendlich ohne Einheit. Allerdings bezeichnet man ihn oft mit der Einheit „rad", damit man weiß, dass es sich um ein Bogenmaß handelt.

    Mit der Gleichung $2\pi~\text{rad}=360^\circ$ kann man grad in rad umrechnen und umgekehrt.

  • Rechne Grad in Bogenmaß und andersherum.

    Tipps

    Es gilt $2\pi~\text{rad}=360^\circ$. Davon ausgehend kannst du dir Umformungen überlegen.

    Lösung

    Will man das Bogenmaß benutzen, muss man ab und zu umrechnen.

    Dafür gibt es zwei Gleichungen:

    $1^\circ=\dfrac{\pi}{180^\circ}$. Das ist also 1°. Nun haben wir aber $20^\circ$ bzw. $260^\circ$. Also multiplizieren wir einfach:

    $1^\circ=\dfrac{\pi}{180^\circ}\cdot 20^\circ=\dfrac{1}{9}\pi$

    bzw: $=\dfrac{13}{9}\pi$ für $260^\circ$.

    Und andersherum:

    $1~\text{rad}=\dfrac{180^\circ}{\pi}$ für 1 rad.

    Bei $\dfrac{7}{9}\pi$ also:

    $\dfrac{180^\circ}{\pi}\cdot\dfrac{7}{9}\pi=140^\circ$ bzw:

    $\dfrac{180^\circ}{\pi}\cdot\dfrac{13}{8}\pi=292,5^\circ$

  • Nenne Eigenschaften des Rechnens im Bogenmaß.

    Tipps

    Überlege, ob die zweite und die vierte Aussage sich widersprechen.

    Lösung

    Auch hier gilt es einfach, ein paar Grundlagen zu kennen.

    Zum einen gilt $\varphi=\dfrac{b}{r}$. Die Einheit ist „rad". Da diese eigentlich $\dfrac{m}{m}=1$ ist, ist sie dimensionslos, das heißt, dass der Winkel eigentlich keine Einheit hat. Man schreibt aber rad, um zu zeigen, dass es sich um ein Bogenmaß handelt.

    Setzt man für $b$ den Kreisumfang $U=2\pi\cdot r$ als Bogenlänge ein, so ist das Ergebnis $2\pi$, was dann der maximale Winkel im Bogenmaß ist.

  • Berechne den Bogen.

    Tipps

    Betrachte den ganzen Umfang des Kreises und überlege, wie du mit dem Winkel in Grad ein Teil vom Umfang bekommst.

    Lösung

    Wie viel vom Kreisumfang wurde nun schon aufgespannt? Genau: das ist ja der Bogen. Eine Schwierigkeit hier ist, dass wir den Winkel in Grad gegeben haben. Aber auch dafür gibt es gute Umrechnungen:

    $b=\dfrac{2\cdot\pi\cdot r\cdot \varphi}{360^\circ}$.

    Einschub:Diese Formel ist im Grunde $ U\cdot\dfrac{\varphi}{360^\circ}$, also der ganze Umfang mal einem Bruchteil des Vollwinkels. Dadurch ergibt sich ein Bruchteil des gesamt Umfangs, also der Bruchteil, den wir suchen.

    Die 2 kann man schon mal kürzen:

    $b=\dfrac{\pi\cdot r\cdot \varphi}{180^\circ}=\dfrac{\pi\cdot 5~\text{cm}\cdot 45^\circ}{180^\circ}=3,9~\text{cm}$.

    Da wir als einzig echte Einheit Zentimeter haben, ist das auch die Einheit, die am Ende stehen bleibt.

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