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Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit

In der Physik gibt es zwei Arten von Geschwindigkeiten: die Durchschnittsgeschwindigkeit und die Momentangeschwindigkeit. Die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet sich, indem man die gesamte Strecke durch die benötigte Zeit teilt. Anhand einer Busfahrt wird erläutert, wie man diese Art der Geschwindigkeit für die gesamte Reise interpretiert. Möchtest du mehr über die Momentangeschwindigkeit erfahren?

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Was versteht man unter der Durchschnittsgeschwindigkeit in der Physik?

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Jochen Kalt
Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit
lernst du in der Unterstufe 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung zum Video Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit

Im Zusammenhang mit der Radioaktivität hast du bestimmt schon einmal von Alpha-, Beta- und Gammastrahlung gehört. Aber weißt du auch, wie genau diese Strahlungstypen definiert sind und was sie ausmacht? In diesem Video werden dir Alpha-, Beta- und Gammastrahlung auf anschauliche Weise erklärt. Du erfährst, wie jede der Strahlungsarten zustande kommt und welche Eigenschaften sie hat.
Wende dein Wissen im Anschluss an das Video direkt an – es stehen dir interaktive Übungsaufgaben und ein Arbeitsblatt zur Verfügung!

Grundlagen zum Thema Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit

Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit

Kennst du schon den Unterschied zwischen der Durchschnitts- und der Momentangeschwindigkeit? Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie diese Größen definiert sind und was sie voneinander unterscheidet. Dazu schauen wir uns als Beispiel eine Busfahrt an.

Vielleicht fährst du selbst mit dem Bus zur Schule. Oder du kennst jemanden, der mit dem Bus in die Schule kommt. Eine Buslinie hat in der Regel eine Anfangs- und eine Endhaltestelle. Dazwischen gibt es Zwischenstopps, an denen der Bus anhalten muss. Wir wollen uns überlegen, wie wir die Geschwindigkeit der Busfahrt physikalisch beschreiben können.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit in der Physik

Als Durchschnittsgeschwindigkeit v\overline{v} einer Bewegung bezeichnet man in der Physik den Quotienten aus insgesamt zurückgelegter Strecke Δs\Delta s und dafür benötigter Zeit Δt\Delta t:

v=ΔsΔt\overline{v} = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}

Wenn wir diese Definition auf die Busfahrt beziehen, müssen wir also die gesamte Streckenlänge zwischen Anfangs- und Endhaltestelle durch die insgesamt verstrichene Zeit teilen. Nehmen wir an, dass der Bus insgesamt eine Strecke von Δs=9 km\Delta s = 9~\text{km} zurücklegt und dafür eine Zeit von Δt=25 min\Delta t = 25~\text{min} braucht. Wenn wir die Minuten noch in Stunden umrechnen, erhalten wir:

v=9 km0,42 h21,4 kmh\overline{v} = \frac{9~\text{km}}{0{,}42~\text{h}} \approx 21{,}4~\frac{\text{km}}{\text{h}}

Der Strich über dem vv zeigt an, dass es sich um die Durchschnittsgeschwindigkeit handelt. Wenn wir die Durchschnittsgeschwindigkeit dazu nutzen, ein Weg-Zeit-Diagramm zu zeichnen, erhalten wir eine Gerade dd:

Durchschnittsgeschwindigkeit Weg-Zeit-Diagramm, Beispiel

Der yy-Wert des Endpunktes ist die Gesamtlänge der Busstrecke und der xx-Wert des Endpunktes ist die insgesamt benötigte Zeit. Die Steigung der Geraden ist gerade die Durchschnittsgeschwindigkeit v\overline{v} – der Quotient aus Gesamtstrecke und Gesamtzeit ist ja gerade das Steigungsdreieck dieser Geraden.

Und was ist nun die Durchschnittsgeschwindigkeit?

Die Durchschnittsgeschwindigkeit v\overline{v} sagt uns, wie schnell ein Bus mit konstanter Geschwindigkeit fahren müsste, um die gesamte Strecke in der gegebenen Zeit zurückzulegen. Sie sagt uns aber nicht, wie schnell der Bus tatsächlich auf den Streckenabschnitten unterwegs war – es kann sogar sein, dass er nie mit der Geschwindigkeit v\overline{v} gefahren ist. Sie sagt uns also nichts über die physikalische Momentangeschwindigkeit.

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Vorschaubild einer Übung

Die Momentangeschwindigkeit in der Physik

Die Momentangeschwindigkeit einer Bewegung gibt an, wie hoch die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt ist. Wir machen uns diesen Zusammenhang wieder anhand der Busfahrt klar. Wir berechnen erneut die Geschwindigkeit des Busses. Dieses Mal messen wir die zurückgelegte Strecke allerdings alle 55 Minuten. Das bedeutet, für jedes Intervall ist Δt=5 min\Delta t = 5~\text{min} und Δs\Delta s die in diesem Zeitabschnitt zurückgelegte Strecke. Wir erstellen dazu eine Tabelle, in der wir jeweils die seit Beginn der Fahrt verstrichene Zeit und die seitdem zurückgelegte Strecke auflisten.

Messpunkt t/mint / \text{min} s/kms/ \text{km}
AA 00 00
BB 55 33
CC 1010 66
DD 1515 66
EE 2020 88
FF 2525 99

Wenn wir diese Werte in das Weg-Zeit Diagramm zeichnen und die Punkte verbinden, erhalten wir den Streckenzug mm, der sich aus den Teilstrecken ff,gg,hh,ii und jj zusammensetzt:

Momentangeschwindigkeit Weg-Zeit-Diagramm, Beispiel

Die Steigung der einzelnen Segmente entspricht der Geschwindigkeit v\overline{v} auf dieser Strecke. Sie kann für jeden Abschnitt nach der Formel vi=ΔsiΔt\overline{v}_i = \frac{\Delta s_i}{\Delta t} berechnet werden.

Genau genommen handelt es sich dabei immer noch um eine Durchschnittsgeschwindigkeit, weil die Zeitintervalle mit 55 Minuten relativ groß sind. Aber da die Zeitintervalle nur noch einem Fünftel der Gesamtzeit entsprechen, sind wir der Momentangeschwindigkeit schon näher gekommen. Wir sehen auch schon, dass sich die Geschwindigkeiten auf den Segmenten von der Durchschnittsgeschwindigkeit unterscheiden. Im dritten Segment bewegt sich der Bus beispielsweise gar nicht – die Geschwindigkeit ist hier null. Das kann zum Beispiel der Fall sein, wenn der Bus lange an einer Haltestelle warten muss, oder an einer roten Ampel steht. Dafür ist die Steigung in den ersten beiden Segmenten viel größer. Der Bus ist in diesen Zeitintervallen schneller gefahren als im Durchschnitt.

Um die Momentangeschwindigkeit zu berechnen, müssten wir die Zeitintervalle immer kleiner werden lassen. Das ist gerade die Definition der Momentangeschwindigkeit:

Die Momentangeschwindigkeit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit für ein unendlich kleines Zeitintervall Δt\Delta t, also für Δt0\Delta t \rightarrow 0. Man schreibt dann statt des Δ\Delta-Zeichens ein d\text{d}:

v=dsdtv = \frac{\text{d}s}{\text{d} t}

Mathematisch betrachtet entspricht das der Ableitung des Ortes.

In Autos wird die Geschwindigkeit üblicherweise mit Tachometern gemessen. Beim Wandern oder Radfahren kannst du heutzutage auch dein Handy zur Ermittlung deiner Geschwindigkeit benutzen – es bestimmt über GPS in regelmäßigen, kurzen Abständen die Zeit und deine Position und berechnet so die Geschwindigkeit.

Ausblick – das lernst du nach Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit

Nachdem du dich mit der Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit auseinandergesetzt hast, kannst du dir als Nächstes einen Überblick zu den Bewegungsarten und Bewegungsformen machen, bevor es weitergeht mit den Newton’schen Axiomen. Diese Themen sind zentral für das Verständnis der Mechanik in der Physik.

Wenn du das Gelernte sofort vertiefen möchtest, schau dir den Übungstext zum Thema Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit an.

Transkript Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit

Hallo und herzlich willkommen. Dieses Mal werden wir uns mit dem Thema Geschwindigkeit befassen. Immer wenn sich etwas bewegt, hat es eine bestimmte Geschwindigkeit. Welche unterschiedlichen Arten von Geschwindigkeiten es gibt und wie man diese berechnet, lernst du in diesem Video. Dafür wirst du zuerst sehen, was man unter Durchschnittsgeschwindigkeit versteht und wie man sie berechnen kann. Anschließend wirst du lernen, dass es auch noch die Momentangeschwindigkeit gibt und was sie uns über die Bewegung sagt. Abschließend erstellen wir ein t-s-Diagramm und vergleichen die beiden Geschwindigkeitsarten. Nachdem du jetzt weißt, was du alles lernen wirst, kann es auch schon losgehen. Zuerst zeige ich dir, was man unter dem Begriff Durchschnittsgeschwindigkeit versteht. Das kann man sich am Beispiel eines Busses klarmachen, der verschiedene Bushaltestellen anfährt. Auf dem Fahrplan der Bushaltestelle ist meistens angegeben, wie viel Zeit der Bus von der einen Haltestelle zur nächsten braucht. Addiert man alle diese Zeiten, so kommt man auf die Gesamtzeit, die der Bus braucht, um seine Strecke zurückzulegen. Kennt man jetzt auch noch die gesamte Länge der Strecke, kann man auch schon die Durchschnittsgeschwindigkeit ausrechnen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist nämlich die gesamte Strecke geteilt durch die Gesamtzeit, die benötigt wird, um sie zurückzulegen. Sie ist die Geschwindigkeit, die der Bus theoretisch hätte, wenn er sich die ganze Zeit gleichförmig, mit konstanter Geschwindigkeit bewegen würde. Das tut er allerdings nicht. Zum einen hält er ja an den Haltestellen, zum anderen kann es sein, dass er an einer Kreuzung oder an einer Ampel halten muss. Die Geschwindigkeit des Busses ändert sich also ständig, sie ist mal größer und mal kleiner als die Durchschnittsgeschwindigkeit. Will man wissen, mit welcher Geschwindigkeit sich der Bus zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt bewegt, muss man die Momentangeschwindigkeit berechnen. Momentangeschwindigkeit ist gleich zurückgelegte Strecke in einem Zeitintervall Delta t geteilt durch Delta t, wobei das Zeitintervall möglichst klein gehalten wird. Sie wird mit Tachometern gemessen. Tachometer gibt es in jedem Auto. Wenn du das nächste Mal mit einem Auto mitfährst, kannst du den Fahrer ja mal fragen, wie schnell ihr gerade fahrt. Er wird dir dann die Momentangeschwindigkeit sagen können. Um das Ganze zu verdeutlichen, erstellen wir jetzt mal ein t-s-Diagramm. Es gibt an, zu welcher Zeit der Bus welche Strecke zurückgelegt hat. Um das Diagramm zeichnen zu können, erstellen wir erst eine Tabelle mit den Werten der Zeit t und der zurückgelegten Strecke s. Dabei messen wir s in Kilometern und t in Minuten. Die Strecke kann man zum Beispiel an einem eingebauten Kilometerzähler ablesen, die Zeit t messen wir in kleinen Zeitabständen. Diese Punkte können wir dann in das Diagramm eintragen und sie mit Linien verbinden. Die Linien, die hier eingezeichnet sind, beschreiben die Bewegung des Busses. Umso steiler eine Linie verläuft, umso mehr Strecke pro Zeit wurde zurückgelegt. Die Geschwindigkeit ist definiert als Strecke pro Zeit. Verläuft die Linie steil, so hat der Bus in diesem Moment eine höhere Geschwindigkeit als in einem Moment, in dem sie flacher verläuft. Ist sie waagerecht, so bedeutet das, dass der Bus in diesem Zeitintervall keine Strecke zurückgelegt hat. Das ist zum Beispiel so, wenn er an einer Haltestelle oder einer roten Ampel warten muss. Dementsprechend ist die Geschwindigkeit dann null. Die Steigung der Linie gibt ungefähr die momentane Geschwindigkeit des Busses an. „Ungefähr“ deshalb, da das Zeitintervall zwischen den Streckenmessungen möglichst klein gehalten werden soll, hier aber ganze fünf Minuten beträgt. In den Nullpunkten der Achsen liegt der Anfangspunkt der Bewegung, in unserem Beispiel die erste Bushaltestelle. Der Endpunkt der Bewegung liegt an der Stelle, an der die Linie endet. Die gesamte zurückgelegte Strecke kann man am y-Wert des Endpunktes und die gesamte benötigte Zeit am x-Wert des Endpunktes ablesen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit v Dach berechnet sich nun aus der Gesamtstrecke sgesamt geteilt durch die Gesamtzeit tgesamt. Sie ist konstant, hat also im t-s-Diagramm immer die gleiche Steigung. Zeichnet man die Bewegung der Durchschnittsgeschwindigkeit in das t-s-Diagramm ein, so verbindet sie Anfangs- und Endpunkt der Bewegung und hat eine konstante Steigung. Der rote Graph der Momentangeschwindigkeit ist mal steiler und flacher als die blaue Gerade der Durchschnittsgeschwindigkeit, je nachdem, ob der Bus gerade schneller oder langsamer als die Durchschnittsgeschwindigkeit fährt. So, was hast du heute gelernt? Die Durchschnittsgeschwindigkeit = Gesamtstrecke/Gesamtzeit. Momentangeschwindigkeit = zurückgelegte Strecke in einem Zeitintervall Delta t/Delta t, wobei das Zeitintervall möglichst klein gehalten wird. Das t-s-Diagramm gibt an, in welcher Zeit welche Strecke zurückgelegt wurde. Die Steigung der Linie gibt an, wie hoch die Geschwindigkeit ist. Umso steiler, umso höher ist die Geschwindigkeit. Die Bewegung mit der Durchschnittsgeschwindigkeit hat im t-s-Diagramm eine konstante Steigung. Das war es zum Thema Berechnung von Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeiten. Ich hoffe, du hast etwas gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal.

6 Kommentare
  1. Hallo Lady_fy, danke für deine Rückmeldung! Geschmäcker sind verschieden, aber ja, du hast Recht – es könnte tatsächlich ein bisschen enthusiastischer vorgetragen sein. Es ist schon ein sehr altes Video, unsere neuen sind auf jeden Fall peppiger. Deine Readaktion

    Von Martin F., vor mehr als 2 Jahren
  2. Nicht gut zu verstehen durch die Monotone Stimme und auch sehr langweilig gemacht

    Von Lady_fy, vor mehr als 2 Jahren
  3. Alles viel zu schnell

    Von Celeste, vor mehr als 3 Jahren
  4. Prinzipiell hilfreich, allerdings für einen Teenie durch die sehr eintönige Stimme und die schnell Art zu reden schwer zu verstehen.

    Von Jungchen2006, vor etwa 7 Jahren
  5. Das war mal wieder echt hilfreich! Danke!!

    Von Deleted User 138233, vor fast 11 Jahren
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