Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit
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Grundlagen zum Thema Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit
Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit
Kennst du schon den Unterschied zwischen der Durchschnitts- und der Momentangeschwindigkeit? Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie diese Größen definiert sind und was sie voneinander unterscheidet. Dazu schauen wir uns als Beispiel eine Busfahrt an.
Vielleicht fährst du selbst mit dem Bus zur Schule. Oder du kennst jemanden, der mit dem Bus in die Schule kommt. Eine Buslinie hat in der Regel eine Anfangs- und eine Endhaltestelle. Dazwischen gibt es Zwischenstopps, an denen der Bus anhalten muss. Wir wollen uns überlegen, wie wir die Geschwindigkeit der Busfahrt physikalisch beschreiben können.
Die Durchschnittsgeschwindigkeit in der Physik
Durchschnittsgeschwindigkeit – Definition
Als Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ einer Bewegung bezeichnet man in der Physik den Quotienten aus insgesamt zurückgelegter Strecke $\Delta s$ und dafür benötigter Zeit $\Delta t$:
$\overline{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$
Wenn wir diese Definition auf die Busfahrt beziehen, müssen wir also die gesamte Streckenlänge zwischen Anfangs- und Endhaltestelle durch die insgesamt verstrichene Zeit teilen. Nehmen wir an, dass der Bus insgesamt eine Strecke von $\Delta s = 9~\text{km}$ zurücklegt und dafür eine Zeit von
$\overline{v} = \frac{9~\text{km}}{0,42~\text{h}} \approx 21.4~\frac{\text{km}}{\text{h}} $
Der Strich über dem $v$ zeigt an, dass es sich um die Durchschnittsgeschwindigkeit handelt. Wenn wir die Durchschnittsgeschwindigkeit dazu nutzen, ein Weg-Zeit-Diagramm zu zeichnen, erhalten wir eine Gerade $d$:
Der
Und was ist nun die Durchschnittsgeschwindigkeit?
Die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ sagt uns, wie schnell ein Bus mit konstanter Geschwindigkeit fahren müsste, um die gesamte Strecke in der gegebenen Zeit zurückzulegen. Sie sagt uns aber nicht, wie schnell der Bus tatsächlich auf den Streckenabschnitten unterwegs war – es kann sogar sein, dass er nie mit der Geschwindigkeit $\overline{v}$ gefahren ist. Sie sagt uns also nichts über die physikalische Momentangeschwindigkeit.
Die Momentangeschwindigkeit in der Physik
Die Momentangeschwindigkeit einer Bewegung gibt an, wie hoch die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt ist. Wir machen uns diesen Zusammenhang wieder anhand der Busfahrt klar. Wir berechnen erneut die Geschwindigkeit des Busses. Dieses Mal messen wir die zurückgelegte Strecke allerdings alle $5$ Minuten. Das bedeutet, für jedes Intervall ist
| Messpunkt | $t / \text{min}$ | $s/ \text{km} $ |
|---|---|---|
| A | 0 | 0 |
| B | 5 | 3 |
| C | 10 | 6 |
| D | 15 | 6 |
| E | 20 | 8 |
| F | 25 | 9 |
Wenn wir diese Werte in das Weg-Zeit Diagramm zeichnen und die Punkte verbinden, erhalten wir den Streckenzug $m$, der sich aus den Teilstrecken $f$,$g$,$h$,$i$ und $j$ zusammensetzt:
Die Steigung der einzelnen Segmente entspricht der Geschwindigkeit $\overline{v}$ auf dieser Strecke. Sie kann für jeden Abschnitt nach der Formel $\overline{v}_i = \frac{\Delta s_i}{\Delta t}$ berechnet werden.
Genau genommen handelt es sich dabei immer noch um eine Durchschnittsgeschwindigkeit, weil die Zeitintervalle mit $5$ Minuten relativ groß sind. Aber da die Zeitintervalle nur noch einem Fünftel der Gesamtzeit entsprechen, sind wir der Momentangeschwindigkeit schon näher gekommen. Wir sehen auch schon, dass sich die Geschwindigkeiten auf den Segmenten von der Durchschnittsgeschwindigkeit unterscheiden. Im dritten Segment bewegt sich der Bus beispielsweise gar nicht – die Geschwindigkeit ist hier null. Das kann zum Beispiel der Fall sein, wenn der Bus lange an einer Haltestelle warten muss, oder an einer roten Ampel steht. Dafür ist die Steigung in den ersten beiden Segmenten viel größer. Der Bus ist in diesen Zeitintervallen schneller gefahren als im Durchschnitt.
Um die Momentangeschwindigkeit zu berechnen, müssten wir die Zeitintervalle immer kleiner werden lassen. Das ist gerade die Definition der Momentangeschwindigkeit:
Die Momentangeschwindigkeit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit für ein unendlich kleines Zeitintervall $\Delta t$, also für $\Delta t \rightarrow 0$. Man schreibt dann statt des $\Delta$-Zeichens ein $\text{d}$:
$v = \frac{\text{d}s}{\text{d} t}$
Mathematisch betrachtet entspricht das der Ableitung des Ortes.
In Autos wird die Geschwindigkeit üblicherweise mit Tachometern gemessen. Beim Wandern oder Radfahren kannst du heutzutage auch dein Handy zur Ermittlung deiner Geschwindigkeit benutzen – es bestimmt über GPS in regelmäßigen, kurzen Abständen die Zeit und deine Position und berechnet so die Geschwindigkeit.
Transkript Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit
Hallo und herzlich willkommen. Dieses Mal werden wir uns mit dem Thema Geschwindigkeit befassen. Immer wenn sich etwas bewegt, hat es eine bestimmte Geschwindigkeit. Welche unterschiedlichen Arten von Geschwindigkeiten es gibt und wie man diese berechnet, lernst du in diesem Video. Dafür wirst du zuerst sehen, was man unter Durchschnittsgeschwindigkeit versteht und wie man sie berechnen kann. Anschließend wirst du lernen, dass es auch noch die Momentangeschwindigkeit gibt und was sie uns über die Bewegung sagt. Abschließend erstellen wir ein t-s-Diagramm und vergleichen die beiden Geschwindigkeitsarten. Nachdem du jetzt weißt, was du alles lernen wirst, kann es auch schon losgehen. Zuerst zeige ich dir, was man unter dem Begriff Durchschnittsgeschwindigkeit versteht. Das kann man sich am Beispiel eines Busses klarmachen, der verschiedene Bushaltestellen anfährt. Auf dem Fahrplan der Bushaltestelle ist meistens angegeben, wie viel Zeit der Bus von der einen Haltestelle zur nächsten braucht. Addiert man alle diese Zeiten, so kommt man auf die Gesamtzeit, die der Bus braucht, um seine Strecke zurückzulegen. Kennt man jetzt auch noch die gesamte Länge der Strecke, kann man auch schon die Durchschnittsgeschwindigkeit ausrechnen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist nämlich die gesamte Strecke geteilt durch die Gesamtzeit, die benötigt wird, um sie zurückzulegen. Sie ist die Geschwindigkeit, die der Bus theoretisch hätte, wenn er sich die ganze Zeit gleichförmig, mit konstanter Geschwindigkeit bewegen würde. Das tut er allerdings nicht. Zum einen hält er ja an den Haltestellen, zum anderen kann es sein, dass er an einer Kreuzung oder an einer Ampel halten muss. Die Geschwindigkeit des Busses ändert sich also ständig, sie ist mal größer und mal kleiner als die Durchschnittsgeschwindigkeit. Will man wissen, mit welcher Geschwindigkeit sich der Bus zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt bewegt, muss man die Momentangeschwindigkeit berechnen. Momentangeschwindigkeit ist gleich zurückgelegte Strecke in einem Zeitintervall Delta t geteilt durch Delta t, wobei das Zeitintervall möglichst klein gehalten wird. Sie wird mit Tachometern gemessen. Tachometer gibt es in jedem Auto. Wenn du das nächste Mal mit einem Auto mitfährst, kannst du den Fahrer ja mal fragen, wie schnell ihr gerade fahrt. Er wird dir dann die Momentangeschwindigkeit sagen können. Um das Ganze zu verdeutlichen, erstellen wir jetzt mal ein t-s-Diagramm. Es gibt an, zu welcher Zeit der Bus welche Strecke zurückgelegt hat. Um das Diagramm zeichnen zu können, erstellen wir erst eine Tabelle mit den Werten der Zeit t und der zurückgelegten Strecke s. Dabei messen wir s in Kilometern und t in Minuten. Die Strecke kann man zum Beispiel an einem eingebauten Kilometerzähler ablesen, die Zeit t messen wir in kleinen Zeitabständen. Diese Punkte können wir dann in das Diagramm eintragen und sie mit Linien verbinden. Die Linien, die hier eingezeichnet sind, beschreiben die Bewegung des Busses. Umso steiler eine Linie verläuft, umso mehr Strecke pro Zeit wurde zurückgelegt. Die Geschwindigkeit ist definiert als Strecke pro Zeit. Verläuft die Linie steil, so hat der Bus in diesem Moment eine höhere Geschwindigkeit als in einem Moment, in dem sie flacher verläuft. Ist sie waagerecht, so bedeutet das, dass der Bus in diesem Zeitintervall keine Strecke zurückgelegt hat. Das ist zum Beispiel so, wenn er an einer Haltestelle oder einer roten Ampel warten muss. Dementsprechend ist die Geschwindigkeit dann null. Die Steigung der Linie gibt ungefähr die momentane Geschwindigkeit des Busses an. „Ungefähr“ deshalb, da das Zeitintervall zwischen den Streckenmessungen möglichst klein gehalten werden soll, hier aber ganze fünf Minuten beträgt. In den Nullpunkten der Achsen liegt der Anfangspunkt der Bewegung, in unserem Beispiel die erste Bushaltestelle. Der Endpunkt der Bewegung liegt an der Stelle, an der die Linie endet. Die gesamte zurückgelegte Strecke kann man am y-Wert des Endpunktes und die gesamte benötigte Zeit am x-Wert des Endpunktes ablesen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit v Dach berechnet sich nun aus der Gesamtstrecke sgesamt geteilt durch die Gesamtzeit tgesamt. Sie ist konstant, hat also im t-s-Diagramm immer die gleiche Steigung. Zeichnet man die Bewegung der Durchschnittsgeschwindigkeit in das t-s-Diagramm ein, so verbindet sie Anfangs- und Endpunkt der Bewegung und hat eine konstante Steigung. Der rote Graph der Momentangeschwindigkeit ist mal steiler und flacher als die blaue Gerade der Durchschnittsgeschwindigkeit, je nachdem, ob der Bus gerade schneller oder langsamer als die Durchschnittsgeschwindigkeit fährt. So, was hast du heute gelernt? Die Durchschnittsgeschwindigkeit = Gesamtstrecke/Gesamtzeit. Momentangeschwindigkeit = zurückgelegte Strecke in einem Zeitintervall Delta t/Delta t, wobei das Zeitintervall möglichst klein gehalten wird. Das t-s-Diagramm gibt an, in welcher Zeit welche Strecke zurückgelegt wurde. Die Steigung der Linie gibt an, wie hoch die Geschwindigkeit ist. Umso steiler, umso höher ist die Geschwindigkeit. Die Bewegung mit der Durchschnittsgeschwindigkeit hat im t-s-Diagramm eine konstante Steigung. Das war es zum Thema Berechnung von Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeiten. Ich hoffe, du hast etwas gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal.
Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit Übung
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Nenne korrekte Aussagen zu den Geschwindigkeiten des Busses.
TippsSchaue zunächst, wie lang der erste und der zweite Streckenabschnitt ist und wie viele Minuten der Bus hierfür benötigt.
LösungIn der Tabelle von Jonathan sind die Uhrzeiten und die Gesamtdistanzen, die der Bus zurückgelegt hat, angegeben. Das heißt, dass die Streckenabschnitte jeweils 1 km lang sind. Für den ersten Abschnitt benötigt der Bus 5 Minuten, für den zweiten Abschnitt 10 Minuten. Das kann man auch in einer Tabelle darstellen:
$\begin{array}{l|c|c} Streckenabschnitt & 1& 2 \\ \hline benötigte\ Zeit & 5\ Minuten & 10\ Minuten \\ \hline Strecke & 1\ km & 1\ km \\ \end{array}$
Da die Streckenabschnitte gleich lang sind, kann man eine Aussage über die Durchschnittsgeschwindigkeit machen, die in der Physik als die zurückgelegte Strecke pro Zeit definiert ist. Da der Bus für den ersten Streckenabschnitt weniger Zeit benötigt hat als für den zweiten Abschnitt, war seine Durchschnittsgeschwindigkeit hier höher. Hieraus folgt auch, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem ersten Streckenabschnitt größer war als die Durchschnittsgeschwindigkeit auf der gesamten Strecke.
Genaue Werte für die Durchschnittsgeschwindigkeit kannst du mit der Formel $v=\frac{zurückgelegte Strecke}{benötigte Zeit}$ ausrechnen.
Aussagen über die Momentangeschwindigkeit sind mit der Tabelle von Jonathan übrigens nicht möglich. Schließlich hat er nur die für recht lange Streckenabschnitte benötigten Zeiten notiert.
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Schätze die Durchschnittsgeschwindigkeiten der Rennautos ein.
TippsIm Zeit-Weg-Diagramm entspricht die Steigung der Geraden der Durchschnittsgeschwindigkeit.
LösungIn dem Diagramm sind der Ausgangspunkt (Beginn der Runde) und der Endpunkt (Ende der Runde) als gelbe Punkte eingezeichnet. Die Punkte markieren, welche Strecke das Auto zu welcher Zeit zurückgelegt hat. Auf der senkrechten Achse haben die Endpunkte immer den gleichen Wert. Das kommt daher, dass sich die Strecke einer Runde nicht verändert. Was sich bei den Endpunkten aber unterscheidet, ist der Wert, den sie auf der waagerechten Achse annehmen, der Achse auf der die Zeit aufgetragen ist. Je steiler die Gerade verläuft, desto früher wird der Endpunkt erreicht, desto kleiner ist also die für die Runde benötigte Zeit. Demnach ist die Durchschnittsgeschwindigkeit, die das Rennauto auf der Runde erreicht hat, umso höher, je steiler die Gerade verläuft.
Über die Momentangeschwindigkeiten kannst du anhand der Grafiken übrigens keine Aussagen machen. Diese waren im Verlauf der Runde sicher sehr verschieden. So muss ein Rennauto die Momentangeschwindigkeit vor Kurven verringern und kann sie wiederum auf geraden Streckenabschnitten erhöhen.
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Vergleiche die Momentangeschwindigkeiten mit den Durchschnittsgeschwindigkeiten des Radfahrers.
TippsIm Zeit-Weg-Diagramm entspricht die Steigung der Geschwindigkeit.
LösungDie Durchschnittsgeschwindigkeit wird mit $v_D=\frac{s_{gesamt}}{t_{gesamt}}$ berechnet. Sie kann für die gesamte Bewegung, aber auch für Streckenabschnitte berechnet werden. Die Momentangeschwindigkeit hingegen ist die Geschwindigkeit, die ein Objekt zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt hat. Der Tacho eines Autos oder Fahrrades zeigt einem zum Beispiel die Momentangeschwindigkeit an. Im Diagramm kannst du sie als die Steigung in einem Punkt der Kurve ermitteln.
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Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeiten.
TippsDie Durchschnittsgeschwindigkeit kann mit $v_D=\frac{s_{gesamt}}{t_{gesamt}}$ berechnet werden.
LösungDie Durchschnittsgeschwindigkeit kann mit $v_D=\frac{s_{gesamt}}{t_{gesamt}}$ berechnet werden. Es ergeben sich hier folgende Werte:
Mensch: 20 km/h
Delfin: 25 km/h
Antilope: 35 km/h
Radfahrer: 40 km/h
Brieftaube: 100 km/h
Hubschrauber: 120 km/h
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Analysiere das Zeit-Weg-Diagramm.
TippsMarkiere dir die Stellen im Diagramm, an denen der Bus zum Stehen kommt und lies die Zeiten von der waagerechten Achse ab.
LösungDie Steigung der Kurve entspricht im Zeit-Weg-Diagramm der Geschwindigkeit. Wenn die Kurve waagerecht ist, hat die Steigung den Wert 0 und die Geschwindigkeit hat folglich auch einen Wert von 0 km/h. Mit dieser Information können die Haltestellen im Zeit-Weg-Diagramm erkannt werden. Die Haltestellen sind in der nebenstehenden Grafik eingezeichnet. Es muss nun noch die Zeit, zu der die Haltestellen erreicht werden, auf der waagerechten Achse abgelesen werden. Diese Werte können mit den Fahrplänen verglichen werden.
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Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeiten.
TippsDie Durchschnittsgeschwindigkeit kann mit $v=\frac{s}{t}$ berechnet werden.
LösungDie Durchschnittsgeschwindigkeit kann mit $v=\frac{Gesamtstrecke}{benötigte\ Zeit}=\frac{s}{t}$ berechnet werden. Damit die Geschwindigkeiten aber verglichen werden könnten, müssen diese in den gleichen Einheiten ausgerechnet werden.
Die in der Physik gängige Einheit der Geschwindigkeit ist m/s. Markus ist zum Beispiel 10 km in 1 h gelaufen. In der Einheit km/h kann die Geschwindigkeit bei ihm recht schnell ausgerechnet werden: $v=\frac{15\ km}{1\ h}=15\ km/h$.
Um die Geschwindigkeit in der Einheit m/s zu berechnen, müssen jedoch die km in m und die h in s umgerechnet werden. Um von km auf m zu kommen, wird mit 1000 multipliziert. Um von h auf s zu kommen, wird mit $60\cdot 60=3600$ multipliziert. Für die Rechnung ergibt sich demnach: $v=\frac{10\ km}{1\ h}\cdot \frac{1000}{3600}=10\ km/h \cdot \frac{1}{3,6}=2,8\ m/s$.
Um km/h in m/s umzurechnen, kannst du demnach durch 3,6 teilen. Willst du umgekehrt die Einheit m/s in km/h umrechnen, kannst du mit 3,6 multiplizieren.
Für die anderen Sportler ergeben sich zum Teil andere Umrechenfaktoren, die du aber bestimmen kannst, indem du dir anschaust, mit welchen Faktoren du die Einheit der Strecke in m umrechnen kannst und wie du die angegebene Einheit der Zeit in s umrechnen kannst.
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Hallo Lady_fy, danke für deine Rückmeldung! Geschmäcker sind verschieden, aber ja, du hast Recht – es könnte tatsächlich ein bisschen enthusiastischer vorgetragen sein. Es ist schon ein sehr altes Video, unsere neuen sind auf jeden Fall peppiger. Deine Readaktion
Nicht gut zu verstehen durch die Monotone Stimme und auch sehr langweilig gemacht
Alles viel zu schnell
Prinzipiell hilfreich, allerdings für einen Teenie durch die sehr eintönige Stimme und die schnell Art zu reden schwer zu verstehen.
Das war mal wieder echt hilfreich! Danke!!