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Bohrsches Atommodell

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Physik-Team
Bohrsches Atommodell
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Grundlagen zum Thema Bohrsches Atommodell

Inhalt

Das bohrsche Atommodell in der Physik

Schon seit über 200 Jahren zerbrechen sich Forscherinnen und Forscher den Kopf darüber, wie die Atome – die kleinsten Teilchen, aus denen Materie besteht – beschaffen sind. So entstanden zahlreiche Atommodelle unterschiedlicher Komplexität. Das bohrsche Atommodell wurde im Jahr 1913 von dem dänischen Physiker Niels Bohr entwickelt. Obwohl es bei der Erklärung mancher Experimente an seine Grenzen stößt, kann es viele Phänomene korrekt vorhersagen. Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie es entwickelt wurde und was dieses Atommodell aussagt. Dazu wiederholen wir zunächst das rutherfordsche Atommodell.

Das rutherfordsche Atommodell

Niels Bohr nutzte bei der Entwicklung seines Atommodells das rutherfordsche Atommodell, das Ernest Rutherford um 1910 entwickelt hatte, als Ausgangspunkt. Dieses Modell war zu seiner Zeit das fortschrittlichste. Rutherford hatte als Erstes erkannt, dass die positiven und negativen Ladungen im Atom nicht gleichmäßig verteilt sein können. Er führte daher den Atomkern ein, der auf einen sehr kleinen Raum konzentriert den Großteil der Masse des Atoms ausmacht, dessen Zentrum bildet und außerdem positiv geladen ist. Die Elektronen, die insgesamt eine der positiven Ladung des Kerns genau entgegengesetzte Ladung aufweisen, bewegten sich seinem Modell zufolge in einem wesentlich größeren Volumen um den Kern herum – auf Bahnen ähnlich den Bahnen von Planeten.

Diese Vorstellung führte allerdings zu einem Problem, denn es konnte die Spektrallinien des Wasserstoffatoms nicht erklären.

Die Spektrallinien des Wasserstoffatoms

Am Anfang des 20. Jahrhunderts, als Rutherford und Bohr forschten, war schon bekannt, dass sich weißes Licht aus dem Licht aller sichtbaren Farben zusammensetzt. Außerdem war bekannt, dass Wasserstoff Licht absorbieren und wieder emittieren kann. Allerdings machten Forscher dabei die Beobachtung, dass Wasserstoff kein weißes Licht emittiert, sondern nur das Licht bestimmter Farben. Diese Farben mit entsprechenden Wellenlängen bzw. Frequenzen nennt man Spektrallinien – in diesem Fall also die Spektrallinien des Wasserstoffs.

Bohrsches Atommodell Wasserstoffspektrum

Die Linien im sichtbaren Bereich, die wir hier sehen, sind nach dem Physiker Johann Balmer als Balmer-Serie benannt. Man kann sie beispielsweise durch die Verwendung eines Prismas sichtbar machen.

Das Problem an dieser Beobachtung war, dass die Atome nach dem Modell von Rutherford Licht in allen möglichen Farben emittieren müssten – denn die Elektronen könnten sich auf beliebigen Bahnen um den Kern bewegen, also beliebige Energien haben. Dass nur ganz bestimmte Frequenzen emittiert werden, war dadurch nicht erklärbar. Außerdem emittieren beschleunigte Ladungen nach der klassischen Physik elektromagnetische Strahlung. Da die Bewegung auf kreisförmigen Bahnen einer beschleunigten Bewegung entspricht, müsste also ständig elektromagnetische Strahlung emittiert werden – nicht nur nach der Absorption von Licht.

Das Atommodell nach Niels Bohr

Niels Bohr entwickelte das bohrsche Atommodell als Erweiterung des Modells nach Rutherford. Er nahm zunächst an, dass sich die Elektronen auf kreisförmigen Bahnen um den Atomkern bewegen. Die Anziehungskraft zwischen Elektron und Kern erklärte er durch die unterschiedlichen elektrischen Ladungen von Kern und Elektron. Der Radius der Elektronenbahn hängt somit von seiner Energie ab. Weil er damit allein allerdings das Problem des rutherfordschen Atommodells – nämlich, dass die Spektrallinien des Wasserstoffatoms nicht erklärbar waren – nicht lösen konnte, führte er die drei bohrschen Postulate ein. Das Wort Postulat kommt vom lateinischen Wort postulatus, was so viel wie etwas Gefordertes bedeutet. Ein Postulat ist also etwas, das gefordert wird, sich aber nicht aus anderen Gesetzmäßigkeiten ableiten lässt. Die drei bohrschen Postulate lauten:

  1. Die Energie eines Elektrons in einem Atom kann nur diskrete Werte $E_n$ annehmen. Dabei ist $n$ eine natürlich Zahl, also $n=0,1,2,3...$. Dementsprechend kann das Elektron den Atomkern auch nur auf ganz bestimmten Bahnen mit Radien $r_n$ umkreisen – alle anderen Bahnradien bzw. Energien sind nicht möglich. Diese festen Abstände zum Kern bilden Schalen um den Kern. Deswegen nennt man das bohrsche Atommodell auch Schalenmodell.
  2. Während sich ein Elektron auf seiner Bahn um den Kern bewegt, emittiert es entgegen der klassischen Physik keine Strahlung. Wechselt ein Elektron die Bahn, emittiert es Strahlung mit genau der Energie, die der Energiedifferenz zwischen den beiden Bahnen $E_n$ und $E_m$ entspricht, also: $E_{Photon} = h \cdot f= E_n - E_m$.
  3. Die genaue Formulierung des dritten Postulats schauen wir uns an dieser Stelle nicht an, da sie etwas komplizierter ist als die anderen. Mithilfe dieses Postulats konnte Bohr allerdings eine genaue Formel für die Energiewerte des Wasserstoffatoms aufstellen: $E_n = - \frac{13,6~\pu{eV}}{n^{2}}$.

Bohrsches Atommodell Erklärung zur Formulierung

Mithilfe dieser Postulate können wir eine Formel für die Energie eines emittierten Photons aufstellen:

$E_{Photon} = E_n - E_m = -13,6~\pu{eV} \left( \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{m^{2}} \right)$

Dabei sind $E_n$ und $E_m$ die Energien der $n$-ten bzw. $m$-ten Schale, wobei gilt: $E_n > E_m$. Die kleinstmögliche Energie, die ein Elektron im Wasserstoffatom haben kann, ist die Energie, die man mit dem Wert $n=1$ erhält. Dann befindet sich das Elektron auf der innersten Schale.

Bohr konnte seine Postulate außerdem dazu nutzen, den Radius der Elektronenbahn für den Energiewert mit $n=1$ zu berechnen – also den kleinstmöglichen Bahnradius für das Elektron. Er ermittelte so den folgenden Wert:

$r_1 \approx 5,29 \cdot 10^{-11}~\pu{m}$

Man nennt diesen Radius auch den bohrschen Atomradius.

Bohrsches Atommodell – Grenzen

Das bohrsche Atommodell stellte eine wichtige Weiterentwicklung der bis dahin vorhandenen Atommodelle dar und konnte viele Beobachtungen gut beschreiben. Es hat allerdings trotzdem einige Schwächen, die erst durch spätere Modelle behoben werden konnten.

Bei der Erklärung der bohrschen Postulate hatten wir schon festgehalten, dass sich diese nicht aus anderen Definitionen oder physikalischen Gesetzen herleiten lassen. Die Forderung, dass die Elektronen auf ihren Bahnen um den Atomkern keine Strahlung emittieren, widerspricht den Gesetzmäßigkeiten der klassischen Physik. Bohr konnte sie nicht erklären – er erkannte lediglich, dass sie notwendig war, um die Beobachtungen zu beschreiben.

Außerdem kann das bohrsche Atommodell nur die Spektrallinien von Wasserstoff oder wasserstoffähnlichen Atomen korrekt beschreiben. Bei Atomen mit schwereren Atomkernen liefert es falsche Vorhersagen.

Diese Grenzen des bohrschen Atommodells konnten später durch die Quantentheorie und das Orbitalmodell der Atome überwunden werden.

Bohrsches Atommodell – Zusammenfassung

Die wichtigsten Erkenntnisse zum bohrschen Atommodell halten wir noch einmal stichpunktartig fest:

  • Das bohrsche Atommodell wurde im Jahr 1913 von dem dänischen Physiker Niels Bohr entwickelt.
  • Bohr stellte im bohrschen Atommodell drei Postulate auf.
  • Die Postulate besagen, dass sich die Elektronen mit diskreten Energien auf ganz bestimmten Kreisbahnen strahlungsfrei um den Atomkern bewegen. Sie emittieren oder absorbieren Energie nur beim Übergang zwischen solchen Bahnen.
  • Das bohrsche Atommodell kann die Spektrallinien und Energien des Wasserstoffatoms gut vorhersagen.
  • Bei schwereren Atomkernen stößt das Modell an seine Grenzen.
  • Die Weiterentwicklung des bohrschen Atommodells ist das Orbitalmodell der Quantentheorie.

In diesem Video wird dir das bohrsche Atommodell einfach erklärt. Du lernst die wichtigsten Grundlagen und Formeln kennen.

Transkript Bohrsches Atommodell

Bohr'sches Atommodell

Hallo und herzlich Willkommen zum Video über das Bohr’sche Atommodell.

Atome sind die Bausteine der Materie, aber lange Zeit wusste man nur wenig über ihre Eigenschaften. Bohr revolutionierte unser Verständnis, indem er Ruhtherfords klassisches Modell mithilfe seiner Postulate weiterentwickelte. Und wie genau diese lauten, wirst du in diesem Video lernen. Dazu wiederholen wir zunächst das Rutherfordsche Atommodell und Balmers Formel zur Beschreibung der Spektrallinien im Wasserstoffatom. Beides zusammen brachte Bohr darauf, seine zwei Postulate zu formulieren. Mithilfe dieser Postulate werden wir dann die Bahnradien und Energieniveaus von Elektronen herleiten, was damals einen großen Erfolg darstellte. Zum Abschluss werden wir noch auf die Grenzen des Modells eingehen. Na dann los.

Rutherfordsches Atommodell

Ernest Rutherford stellte im Jahre 1909 fest, dass das Atom selbst aus kleineren Teilchen besteht. Aus den Resultaten seiner Experimente schloss Rutherford, dass das Atom aus einem positiv geladenen Kern besteht, um das - aufgrund der Coulomb-Anziehung - negativ geladene Elektronen kreisen. Genauso wie Planeten um die Sonne. Sein Modell hatte jedoch zwei Schwächen: Zum einen wusste man, dass kreisende Ladungen elektromagnetische Strahlung verursachen und dabei Energie abgeben. Demnach müssten die Elektronen langsamer werden und in den Kern fallen, was ja nicht so ist. Zum zweiten konnte das Modell die gemessenen Spektrallinien der Atome nicht erklären.

Spektrallinien

Wenn man Wasserstoff analysiert, stellt man nämlich fest, dass es Licht absorbiert und gleichzeitig auch wieder emittiert. Der Schweizer Physiker Johann Balmer bestimmte im Jahre 1885 die Wellenlängen dieser Strahlung. Hier seht ihr, wie das Spektrum von weißem Licht aussieht, in dem alle sichtbaren Farben vorkommen. Schaut man sich jedoch Licht an, welches von Wasserstoff zurückgestrahlt wird, so findet man nur diskrete Linien.

Balmer fand auch die Formel, um die Wellenlänge Lambda der auftretenden Strahlung zu beschreiben: Sie lautet Lambda ist gleich B mal n Quadrat geteilt durch n Quadrat minus vier. B ist dabei die Balmer-Konstante und entspricht rund 3,645 mal 10 hoch minus 7 Meter. Das Rutherford’sche Atommodell konnte diese diskreten Wellenlängen nicht erklären. Und an der Stelle kam Bohr ins Spiel.

Bohr’sche Postulate

In seinem Lösungsversuch stellte der dänische Physiker Niels Bohr drei Postulate zum Atomaufbau auf: Das erste Postulat besagt: “Die Energie eines Elektrons im Atom kann nur diskrete Werte E_n annehmen.” Diese entsprechen den verschiedenen Umlaufbahnen und Bohr nahm an, dass diese Bahnen stabil seien und somit keine elektromagnetische Strahlung auftritt. Der Index n nummeriert die immer größer werdenen Energien.

Sein zweites Postulat erklärt die gemessenen Spektrallinien. “Die Frequenz und Wellenlänge der ausgesandten elektromagnetischen Strahlung ergibt sich aus der Energiedifferenz zwischen dem Ausgangs- und dem Endzustand.” Wird ein Elektron durch Licht angeregt, so springt es auf eine größere Umlaufbahn mit höherer Energie. Nach einiger Zeit springt es wieder zurück und gibt die Energiedifferenz als Photon wieder ab.

Mathematisch beschrieben heißt das, dass die Energie eines Photons gleich der Energieunterschied zwischen dem Energieniveau n und m ist. Mit dem Wissen, dass die Photonenenergie das Planksche Wirkungsquantum h mal die Lichtfrequenz f ist ergibt sich diese Gleichung. Bohr konnte seine Postulate nicht genauer begründen, aber sie ändern das Rutherford’sche Atommodell gerade so ab, dass seine beiden Probleme beseitigt werden.

Energieniveaus und Bahnradius

Mit Hilfe des dritten Bohrschen Postulates können schließlich die genauen Energiewerte berechnet werden. Demnach sind die Energien E_n gleich minus 13,6 Elektronenvolt geteilt durch n Quadrat, wobei n wieder eine ganz bestimmte Bahn meint. Für den Übergang eines Elektrons von der n-ten in die m-te Bahn ist die Energie des ausgetrahlten Photons dann genau minus 13,6 Elektronenvolt mal eins geteilt durch n Quadrat minus eins geteilt durch m Quadrat.

Aus der Photonenenergie lässt sich dann die zugehörige Wellenlänge Lambda bestimmen. Lambda ist gleich B viertel mal n Quadrat mal m Quadrat geteilt durch n Quadrat minus m Quadrat. Dabei ist B die Balmer-Konstante, die wir bereits kennen. Diese Formel wird auch als Rydberg-Formel bezeichnet. Setzen wir m gleich zwei ein, erhalten wir gerade wieder die Balmer-Formel.

Das bedeutet, dass Balmer nur einen Teil des Wasserstoffspektrums fand, nämlich die Übergänge zum zweiten Energieniveau. Das lag daran, dass nur diese Wellenlängen im Bereich des sichtbaren Lichts liegen. Hier siehst du ganz links die Übergänge zum Energieniveau mit n gleich 1, dann kommen die Linien von Balmer als Übergänge zum zweiten Energieniveau und so weiter.

Neben diesem Erfolg konnte Bohr sogar einen Radius für das Atom berechnen. Dazu nahm er an, dass das Elektron sich auf einer Kreisbahn um den Kern bewegt. Der kleinste Radius r_1 wird demnach als Bohr’scher Atomradius bezeichnet und beträgt rund 5,29 mal 10 hoch minus 11 Metern. Damit war Bohrs Modell in der Lage, die Größenordnung von Atomen vorherzusagen.

Grenzen des Bohr’schen Atommodells

Trotz dieser Erfolge hatte das Bohr’sche Atommodell noch einige Grenzen. Zum Einen konnte nur das Spektrum des Wasserstoffatoms akkurat beschrieben wird - für andere Elemente liefern die Postulate teilweise falsche Vorhersagen. Desweiteren stehen die Postulate im Widerspruch zur klassischen Elektrodynamik, wonach um den Atomkern kreisende Elektronen eigentlich Energie abstrahlen müssen. Beide Schwächen wurden später im Rahmen der Quantentheorie durch das Orbitalmodell korrigiert. Bis dahin war das Bohr’sche Atommodell jedoch ein wichtiger Schritt zum besseren Verständnis von Atomen und Molekülen.

Zusammenfassung

Fassen wir also noch einmal zusammen. Wir haben das Rutherford’sche Atommodell wiederholt, das die diskreten Spektren der Atome nicht erklären konnte. Insbesondere nicht die von Balmer gefundenen Formeln. Niels Bohr stellte drei Postulate auf, um die Probleme des Rutherfordschen Atommodells zu beheben. Dabei wählte Bohr die erlaubten Energien gerade so, dass die Energiedifferenzen mit den von Balmer und Rydberg gefundenen Formeln für die Wellenlänge im Wasserstoffatom übereinstimmten. Zugleich konnte er den Radius der Bahnen bestimmen. Trotz dieser Erfolge weist das Modell Schwächen auf: Die Spektren anderer Atome können nur unzureichend beschrieben werden und Bohr konnte noch immer nicht erklären, warum die kreisenden Elektronen keine Energie abstrahlen.

Das war’s zum Bohr’schen Atommodell. Bis zum nächsten Mal.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. ;)

    Von Henri & Eva & Pia, vor etwa einem Jahr
  2. gut erklärt

    Von Annaj 1, vor fast 4 Jahren
  3. sehr gut erklärt gute Informationen

    Von Selma Kulow, vor fast 5 Jahren

Bohrsches Atommodell Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bohrsches Atommodell kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die von Niels Bohr aufgestellten Postulate zur Beschreibung des Atoms.

    Tipps

    Alle Antwortmöglichkeiten sind Teil eines bestimmten Atommodells.

    Welche Aussagen hat Niels Bohr getroffen?

    Lösung

    Keines der Modelle, die man findet, um ein Atom zu beschreiben, können es realistisch abbilden. Es sind nur Modelle zur Erklärung der Beobachtungen und Phänomene von Atomen.

    Manche Atommodelle sind bereits überholt, weil gezeigt werden konnte, dass sie fehlerhaft sind und das Atom in mancher Hinsicht nicht richtig beschreiben. Dennoch sind sie teilweise hilfreich für ein besseres Verständnis.

    Die erste Aussage stammt aus dem aktuellen gängigen Atommodell, man nennt es auch Orbitalmodell. Es ist sehr komplex, weshalb man sich in der Schule meist auf das Bohrsche Atommodell beschränkt.

    Das Bohrsche Atommodell hat das Rutherfordsche Atommodell abgelöst, das durch Aussage 4 beschrieben wird.

  • Benenne die Grenzen des Bohrschen Atommodells.

    Tipps

    Ein Modell kann die Realität nie komplett abbilden.

    Lösung

    Am Wasserstoffatom wurden nach und nach alle Atommodelle entwickelt. Daher kann es auch akkurat durch das Bohrsche Atommodell beschrieben werden.

    Theoretisch müsste ein Elektron, wenn es sich nicht geradlinig bewegt, sondern seine Richtung ändert, Energie abstrahlen. Dann würde es theoretisch jedoch irgendwann keine Energie mehr besitzen und in den Atomkern fallen. Dies ist ein großes Manko des Bohrschen Atommodells.

  • Bestimme die Energie, die einem Elektron zugeführt werden muss, um von der ersten auf die dritte Bohrsche Bahn des Wasserstoffatoms zu wechseln.

    Tipps

    Als Einheit der Energie wird anstelle von Joule oft auch eV verwendet.

    Lösung

    Das Elektron mit seiner negativen Ladung wird vom positiv geladenen Kern angezogen. Du kannst dir das Atom mit seiner Hülle also wie ein Gravitationsfeld vorstellen. Hebst du ein Elektron auf eine höhere Bahn, bekommt es eine höhere Energie. Diese kann es beim Wechsel auf eine tiefere Bahn in Form von Strahlung, die zum Teil als Licht sichtbar ist, abgeben.

    Die Energieniveaus der jeweiligen Bahnen bestimmst du mit der Formel:

    $E_n=-\frac{13,6 \text{ eV}}{n^2}$

    Setzt du für n einmal 3 und einmal 1 ein, so erhältst du die Energiewerte für die beiden Bahnen und musst nur noch die Differenz bilden:

    $\Delta E=E_1-E_3=-\frac{13,6 \text{ eV}}{3^2}-\left(-\frac{13,6 \text{ eV}}{1^2}\right)=-13,6 \text{ eV} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{1}\right)$ $=-13,6 \text{ eV} \cdot \left(-\frac{8}{9} \right)= 12,1 \text{ eV}$

    Bildet man die Differenz genau andersherum, erhälst du den gleichen Wert mit anderem Vorzeichen. Es ist aber nach einer Energiedifferenz gefragt, wodurch das Vorzeichen keine Rolle spielt.

  • Bestimme die Wellenlängen der ersten vier Spektrallinien der Balmerserie.

    Tipps

    Alle Linien der Balmerserie befinden sich im Spektrum des sichtbaren Lichts.

    Überlege dir, auf welche Bahn sich die Balmerserie bezieht und was daher mögliche Werte für n sind.

    Lösung

    Die Balmerserie beschreibt die Übergänge zur zweiten Bohrschen Bahn.

    Es ergibt daher nur Sinn, für n Werte ab 3 einzusetzen. Wir betrachten damit die Wellenlänge des Lichts, das ein Elektron beim Wechsel von der 3., 4., 5., und 6. Bahn zur 2. Bahn aussendet.

    Diese Wellenlängen entsprechen jeweils einer Farbe aus dem Wasserstoffspektrum. Sie können über die folgende Formel bestimmt werden:

    $\lambda_n= B \cdot \frac{n^2}{n^2-4} $

    $\lambda_3=\lambda_{\text{Rot}} = 3,645\cdot 10^{-7} \cdot \frac{3^2}{3^2-4} \text{ m} \approx 6,56 \cdot 10^{-7} \text{ m}= 656 \text{ nm}$

    $\lambda_4=\lambda_{\text{Blau}} = 3,645\cdot 10^{-7} \cdot \frac{4^2}{4^2-4} \text{ m} \approx 4,86 \cdot 10^{-7} \text{ m} = 486 \text{ nm}$

    $\lambda_5=\lambda_{\text{Violett}} = 3,645\cdot 10^{-7} \cdot \frac{5^2}{5^2-4} \text{ m} \approx 4,34 \cdot 10^{-7} \text{ m} = 434 \text{ nm}$

    $\lambda_6=\lambda_{\text{Violett}} = 3,645\cdot 10^{-7} \cdot \frac{6^2}{6^2-4} \text{ m} \approx 4,10 \cdot 10^{-7} \text{ m} = 410 \text{ nm}$

  • Beschreibe, wie man die Größe eines Wasserstoffatoms mit Hilfe des Bohrschen Atommodells abschätzen kann.

    Tipps

    Wie hängen die Bohrschen Bahnen mit dem Atom zusammen?

    Lösung

    Tatsächlich liefert das Bohrsche Atommodell eine Möglichkeit, die Radien der Elektronenbahnen zu berechnen. Die erste Bahn besitzt einen Radius $r_1 \approx 5,29 \cdot 10^{-11} \text{ m}=52,9 \cdot 10^{-12} \text{pm}$

    Früher dachte man, dass Atome die kleinsten Teilchen sind und daher unteilbar. Daher hat das Atom seinen Namen bekommen. Mittlerweile kann man Atome spalten und kennt bereits viel kleinere Teilchen.

  • Bestimme die Frequenz, die eine Strahlung besitzen muss, um ein Wasserstoffatom im Grundzustand durch Abgabe seines Elektrons zu ionisieren.

    Tipps

    Ein Atom befindet sich im Grundzustand, wenn alle seine Elektronen auf einer bestimmten Bahn sind. Da Wasserstoff nur ein Elektron besitzt, muss es sich auf der ersten Bahn befinden.

    Auf welcher Bahn befindet sich das Elektron, wenn es das Atom verlassen hat?

    Teilen wir durch eine sehr große Zahl, erhalten wir eine sehr kleine Zahl. Betrachten wir Grenzwerte, schreiben wir kurz: $\frac{1}{\infty}=0$.

    Die Energiedifferenz $\Delta E$ wird auf das Photon übertragen.

    Lösung

    Ionisation bedeutet, dass ein Atom eine elektrische Ladung besitzt. Es kann also ein Elektron zu viel oder zu wenig besitzen.

    Da sich das Atom in unserem Fall im Grundzustand befindet, heißt das, dass es genau ein Elektron auf der ersten Bahn besitzt. Das heißt: $ n=1$

    Wenn dieses Elektron das Atom verlassen soll, muss eine bestimmte Energie auf das Elektron übertragen werden, sodass es von der ersten auf die höchste Bahn gehoben wird. Da das Atom theoretisch eine unendliche Anzahl von Bahnen besitzt, muss $m=\infty$ sein.

    geg: h, n, m

    ges: f

    Formel:

    $h\cdot f=E_n-E_m$

    Umformen:

    $\begin{align*} h\cdot f&=E_n-E_m\qquad |: h\\ f&=\frac{1}{h}\cdot (E_n-E_m)\\ f&=-\frac{13,6 \text{ eV} }{h}\cdot \left( \frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)\\ f&=-\frac{13,6 \text{ eV} }{h}\cdot \left( \frac{1}{1^2}-\frac{1}{\infty^2}\right)\\ f&=-\frac{13,6 \text{ eV} }{h}\cdot (1 - 0)\\ f&=-\frac{13,6 \text{ eV} }{4,136 \cdot 10^{-15} \text{ eV} \cdot \text{s}}\\ f&\approx -3,3 \cdot 10^{15} \frac{1}{\text{s}}=3,3 \cdot 10^{15} \text{ Hz} =-3,3 \text{ PHz}\\ \end{align*}$

    Das Minuszeichen bedeutet in dem Fall, dass dem Atom diese Energie durch ein Teilchen dieser Frequenz hinzugeführt werden muss.

    Uns interessiert jedoch nur der Zahlenwert ohne das Vorzeichen, denn was ist eine negative Frequenz?

    Setzt man genau andersherum $n=\infty$ und $m=1$, erhält man genau den gleichen, jedoch positiven Wert.

    Wenn man korrekt wäre, müsste man, anstelle die Kurzschreibweise $\frac{1}{\infty^2}=0$ zu verwenden, eine richtige Grenzwertbetrachtung machen:

    $\begin{align} \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x^2}=0 \end{align}$

    Standardisiert wird in der Physik mit einer umgeformten Gleichung gerechnet:

    $f=R_y \cdot \left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)$

    $R_y$ ist dabei die Rydberg-Frequenz mit einem Wert von $3,289842 \cdot 10^{15}$ Hz.

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