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Rechnen mit Kondensatoren

Ein Kondensator speichert Ladung zwischen zwei Elektroden, die durch ein Dielektrikum getrennt sind. Die Kapazität, gemessen in Farad, hängt von den Platten und dem Abstand ab. Willst du mehr wissen? Entdecke die Grundlagen der Kapazität und ihre Berechnung im Text!

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Inhaltsverzeichnis zum Thema Rechnen mit Kondensatoren

Wie ist die Funktionsweise eines Kondensators und was ist die Kapazität?
Wie hängt die Kapazität von den baulichen Eigenschaften eines Kondensators ab?
- Beispielaufgabe: Fläche eines Kondensators mit bekannter Kapazität
Wie hängt die Kapazität mehrerer Kondensatoren vom Schaltkreis ab?
- Beispielaufgabe: kombinierte Schaltung von Kondensatoren
Zusammenfassung – Rechenaufgaben zu Kondensatoren
Häufig gestellte Fragen zum Thema Rechenaufgaben zu Kondensatoren

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Lerntext zum Thema Rechnen mit Kondensatoren

Wofür benötigt man Kondensatoren?

Kondensatoren sind eines der wichtigsten Bauteile der Elektrotechnik, da sie dazu in der Lage sind, Ladung und damit elektrische Energie zu speichern und auch wieder abzugeben. Sie werden in fast allen elektrischen und elektronischen Geräten vom Föhn bis zum Smartphone verbaut.

Es gibt sie in verschiedenen Größen, die je nach Einsatzgebiet ihre Verwendung finden: Auf der Platine einer Festplatte sitzen Hunderte von kleinen Kondensatoren zum Speichern von Informationen. Ein Defibrillator enthält einen großen Kondensator, der seine gespeicherte Ladung in sehr kurzer Zeit als Elektroschock abgeben kann.

Wie ist die Funktionsweise eines Kondensators und was ist die Kapazität?

Ein Kondensator besteht aus einer Anordnung von zwei gegenüberliegenden Platten leitenden Materials, den Elektroden. Zwischen den Elektroden befindet sich ein isolierendes Material, ein Dielektrikum. Das kann Luft bzw. ein Vakuum sein oder ein spezielles Material wie Kunststoff oder Keramik.

Legt man über dem Kondensator eine Spannung an, lädt er sich auf: Die am Pluspol der Spannungsquelle angeschlossene Leiterplatte lädt sich positiv auf und die andere negativ. Wenn der Elektronenfluss endet, tragen beide Platten den gleichen Ladungsbetrag $Q$ – eine Platte $+Q$ und die andere $-Q$ . Wenn jetzt die externe Spannungsquelle entfernt wird, bleibt die Ladung auf den Kondensatorplatten erhalten. Aufgrund dieser gespeicherten Ladung kann der Kondensator z. B. in einem weiteren Stromkreis als Spannungsquelle verwendet werden.

Der Kondensator im Stromkreis

Die aufgenommene Ladung $Q$ ist proportional zur angelegten Spannung $U$ , es gilt: $Q\sim U$ .

Wie viel Ladung aufgenommen werden kann, hängt außerdem von den baulichen Eigenschaften des Kondensators ab. Daher bezeichnet man die Proportionalitätskonstante mit $C$ für Kapazität (Fassungsvermögen) des Kondensators.

Es gilt: $Q=C\cdot U$ und damit $C=\dfrac{Q}{U}$ .

Die Kapazität wird in Farad angegeben (benannt nach dem englischen Physiker Michael Faraday).

Ein Farad $\pu{F}$ lässt sich auf die Einheiten $\pu{C}$ (Coulomb) und $\pu{V}$ (Volt) zurückführen: $\pu{1 F}= \pu{1 \dfrac{\pu{C}}{\pu{V}}}$

Da typische Kapazitäten von Kondensatoren deutlich kleiner als $\pu{1 F}$ sind, werden häufig Einheitenvorsätze benötigt. Gebräuchlich sind Nanofarad und Pikofarad:

$\pu{1 nF}= \pu{1\cdot 10^{-9} F}$

$\pu{1 pF}=\pu{1\cdot 10^{-12} F}$

Ein Kondensator kann Ladung speichern. Das Fassungsvermögen eines Kondensators wird als Kapazität $C$ bezeichnet und in der Einheit Farad $\pu{F}$ angegeben.

Wie hängt die Kapazität von den baulichen Eigenschaften eines Kondensators ab?

Inwiefern die Kapazität von den baulichen Eigenschaften abhängt, kann mathematisch hergeleitet werden. Zusammengefasst spielen die Fläche der Platten $A$ , der Abstand der Platten $d$ und das Material zwischen den Platten mit einer materialabhängigen Dielektrizitätszahl $\varepsilon_{r}$ eine Rolle.

Je größer die Platten des Kondensators sind, desto mehr Ladung kann er aufnehmen und je größer der Abstand der Platten ist, desto weniger Ladung kann er aufnehmen.

Die Kapazität ist daher proportional zur Größe der Platten ( $C\sim A$ ) und umgekehrt proportional zum Plattenabstand $C\sim \dfrac{1}{d}$ .

Daraus ergibt sich zusammengefasst $C\sim \dfrac{A}{d}$ oder $C=\varepsilon \dfrac{A}{d}$ .

Kondensator und Kapazität![15485_ToV_Kondensator-und-Kapazität_Illu3.svg](https://images.cdn.sofatutor.net/content_images/images/17770/original/15485_ToV_Kondensator-und-Kapazit%C3%A4t_Illu3.svg?1708425053)

Der Faktor $\varepsilon$ ist die Permittivität und setzt sich zusammen aus der elektrischen Feldkonstante $\varepsilon_0=\pu{8,854 \cdot 10^{-12} \frac{As}{Vm}}$ und der Dielektrizitätskonstante $\varepsilon_r$ , auch relative Permittivität genannt: $\varepsilon=\varepsilon_0\cdot \varepsilon_r$ Während das Vakuum die kleinste relative Permittivitätszahl $\varepsilon=1$ hat, kann durch geeignete Materialien die Kapazität um das Tausendfache erhöht werden. Beachte dazu die Tabelle mit einigen Beispielen für die Dielektrizitätszahl.

Material	$\varepsilon_r$
Vakuum	1
Luft	1,00058
Wasser	80
Keramik	1 000

Hintergründe dazu, warum verschiedene Materialien unterschiedliches Verhalten im Plattenkondensator zeigen, erfährst du im Thema Dielektrikum und seine Permittivität.

Für die Kapazität $C$ eines Kondensators gilt:
$C=\varepsilon_0 \varepsilon_r \dfrac{A}{d}$

$\begin{array}{ll} \varepsilon_0 & \text{elektrische Feldkonstante}\\ \varepsilon_r & \text{Dielektrizitätszahl (materialabhängig)}\\ A & \text{Fläche der Platten}\\ d & \text{Plattenabstand}\\ \end{array}$

Beispielaufgabe: Fläche eines Kondensators mit bekannter Kapazität

Ein luftgefüllter Kondensator hat eine Kapazität von $\pu{100 pF}$ , der Abstand zwischen den Platten beträgt $\pu{1 mm}$ .

Welche Fläche haben die Kondensatorplatten?
Wie groß ist die Fläche, falls ein Dielektrikum mit $\varepsilon_r=10$ eingebaut wird?

Gegeben ist:

$C= \pu{100 pF}= \pu{100\cdot 10^{-12} F}= \pu{10^{-10} F}$

$d= \pu{1 mm}=\pu{1\cdot 10^{-3} m}$

sowie $\varepsilon_r\approx 1$ .

Die Formel $C=\varepsilon_0 \varepsilon_r \dfrac{A}{d}$ stellen wir nach $A$ um:

$A=\dfrac{C\cdot d}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}$

und setzen die obigen Werte ein:

$A=\dfrac{10^{-10}~\text{F} \cdot 10^{-3}~\text{m}}{8,854\cdot 10^{-12} \dfrac{\text{As}}{\text{Vm}}}$

$A \approx \pu{1\cdot 10^{-2} m^2}=\pu{0,01 m^2}$

Die Platten des luftgefüllten Kondensators haben eine Fläche von etwa $\pu{100 cm^2}$ .

Zur Beantwortung der zweiten Frage können wir $\varepsilon_r=10$ in die obige Formel einsetzen und die Rechnung erneut durchführen oder unser eben erhaltenes Ergebnis durch $10$ dividieren. In beiden Fällen erhalten wir:

$A \approx \pu{1\cdot 10^{-3} m^2}=\pu{0,001 m^2}$

Die Platten des Kondensators, der mit einem Dielektrikum gefüllt ist, haben eine Fläche von etwa $\pu{10 cm^2}$ .

Hinweis: Kondensatoren mit einer Fläche von $\pu{100 cm^2}$ können in den meisten Alltagsgegenständen nicht in Form von Plattenkondensatoren verbaut werden – immerhin hätten sie bei quadratischer Form der Platten eine Kantenlänge von $\pu{10 cm}$ ! Auch wenn die Fläche durch das Einbringen eines Dielektrikums reduziert werden konnte, ist sie mit $\pu{10 cm^2}$ immer noch recht groß. Daher sind viele Kondensatoren zylinderförmig und bei genauerer Betrachtung bestehen deren Kondensator„platten“ aus dünnen Folien, die aufgewickelt wurden.

Wie hängt die Kapazität mehrerer Kondensatoren vom Schaltkreis ab?

Inwiefern die Gesamtkapazität mehrerer Kondensatoren davon abhängt, wie diese in den Schaltkreis eingebaut werden, wird hier für zwei Kondensatoren hergeleitet.

Man kann sich vorstellen, dass zwei parallel geschaltete Kondensatoren so viel Ladung aufnehmen wie ein Kondensator mit entsprechend größerer Fläche der Platten. Bei größerer Fläche vergrößert sich die Kapazität, so vergrößert sich auch die Kapazität von parallel geschalteten Kondensatoren.

In einer Parallelschaltung von Kondensatoren ist die Gesamtkapazität die Summe der Einzelkapazitäten. Für mehrere in Reihe geschaltete Kondensatoren mit den Kapazitäten $C_1$ , $C_2$ , … $C_n$ gilt für die Gesamtkapazität $C_{\text{ges}}$ :

$C_{\text{ges}}= C_1+C_2+...+C_n$

Bei zwei in Reihe geschalteten Kondensatoren hingegen heben sich die Ladungen der inneren Kondensatorplatten auf und die zwei Kondensatoren nehmen so viel Ladung auf wie ein Kondensator mit entsprechend größerem Abstand. Bei größerem Abstand verkleinert sich die Kapazität, so verkleinert sich auch die Kapazität von in Reihe geschalteten Kondensatoren.

In einer Reihenschaltung von Kondensatoren ist die reziproke Gesamtkapazität die Summe der reziproken Einzelkapazitäten. Für mehrere in Reihe geschaltete Kondensatoren mit den Kapazitäten $C_1$ , $C_2$ , … $C_n$ gilt für die Gesamtkapazität $C_{\text{ges}}$ :

$\frac{1}{C_{\text{ges}}}=\frac{1}{ C_1}+\frac{1}{C_2}+...+\frac{1}{C_n}$

Hinweis: Wenn du die Formeln zur Berechnung des Gesamtwiderstands für mehrere in Reihe oder parallel geschaltete Einzelwiderstände kennst, kommen dir die oben genannten Formeln sicher bekannt vor.

Achtung: Die Formeln sind ähnlich, aber genau „andersherum“: So ist bei der Rechnung mit Widerständen in einer Reihenschaltung der Gesamtwiderstand die Summe der Einzelwiderstände und in einer Parallelschaltung gilt die Formel mit den reziproken Werten.

Beispielaufgabe: kombinierte Schaltung von Kondensatoren

Wir betrachten eine Schaltung aus drei Kondensatoren, wobei die zwei Kondensatoren mit den Kapazitäten $C_1= \pu{1 pF}$ und $C_2= \pu{2 pF}$ in Reihe geschaltet sind und ein dritter mit $C_3= \pu{3 pF}$ ist zu den beiden parallel geschaltet.

Wie groß ist die Gesamtkapazität dieser Schaltung?

Wir betrachten zunächst die Reihenschaltung und berechnen die Ersatzkapazität $C_{1,2}$ . Da es sich um eine Reihenschaltung handelt, gilt $\frac{1}{C_{1,2}}=\frac{1}{ C_1}+\frac{1}{C_2}$ . Wir setzen ein und rechnen aus: $\frac{1}{C_{1,2}}=\frac{1}{ 1}+\frac{1}{2}=1,5\implies C_{1,2}=\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}$ Die beiden ersten Kondensatoren könnten also durch einen Kondensator mit $\pu{\frac{2}{3} pF}$ ersetzt werden. Dieser befindet sich in Parallelschaltung mit $C_3$ , für die Gesamtkapazität gilt $C_{\text{ges}}= C_{1,2}+C_3$ . Wir setzen ein: $C_{\text{ges}}= \frac{2}{3}+3=\frac{11}{3}$ Alle drei Kondensatoren könnten also durch einen Kondensator mit $\pu{3 \frac{2}{3} pF}$ ersetzt werden.

Schaltung von Kondensatoren

Zusammenfassung – Rechenaufgaben zu Kondensatoren

Die Kapazität $C$ des Kondensators ist definiert als:
$C=\dfrac{Q}{U}$
Dabei ist $Q$ der Betrag der gespeicherten Ladung und $U$ die anliegende Spannung.
Aus den baulichen Eigenschaften des Kondensators lässt sie sich berechnen mit der folgenden Formel:
$C=\varepsilon_{0}\varepsilon_\text{r}\dfrac{A}{d}$
Dabei ist $A$ die Plattenfläche, $d$ der Plattenabstand, $\varepsilon_\text{r}$ die relative Permeabilität des Materials zwischen den Platten und $\varepsilon_{0}=8,854 \cdot 10^{-12}~ \pu{As//Vm}$ die absolute Dielektrizitätskonstante.
Werden mehrere Kondensatoren in Reihe geschaltet, ergibt sich für die Gesamtkapazität die folgende Gesetzmäßigkeit:
$\dfrac{1}{C_{\text{ges}}}=\dfrac{1}{ C_1}+\dfrac{1}{C_2}+...+\dfrac{1}{C_n}$
In Parallelschaltung gilt:
$C_{\text{ges}}= C_1+C_2+...+C_n$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Rechenaufgaben zu Kondensatoren

Lässt sich die Gesamtkapazität von in Reihe geschalteten Kondensatoren auch leichter berechnen als mit den Kehrwerten?

Im Allgemeinen gibt es leider keine einfachere Formel als die Kehrwertformel. Für zwei Kondensatoren lässt sich aber eine einfachere Formel angeben, die sich mit dem Schlagwort Produkt durch Summe merken lässt. Es gilt nämlich:

$C_{\text{ges}}= \dfrac{C_1 \cdot C_2}{C_1+C_2}$

Außerdem gilt für $n$ gleiche Kondensatoren der Kapazität $C$ :

$C_{\text{ges}}= \dfrac{C}{n}$

Welches ist die Kombination von Kondensatoren mit der höchsten Gesamtkapazität und welche die mit der geringsten?

Rechnen mit Kondensatoren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Rechnen mit Kondensatoren kannst du es wiederholen und üben.

Nenne die Formel zur Berechnung der Kapazität.

Tipps

Überlege, ob mindestens eine Formel nur eine Umformung einer anderen sein könnte.

Lösung

Die Kapazität ist die bestimmende Größe eines Kondensators.
Sie wird berechnet durch: $C=\varepsilon_0\cdot\varepsilon_r\cdot\dfrac{A}{d}$ .
Dabei ist $\varepsilon_0$ die elektrische Feldkonstante, $\varepsilon_r$ die Dielektrizitätszahl für das Medium im Kondensator bzw. zwischen den Platten, $A$ ist die Fläche der Platten und $d$ deren Abstand zueinander.
Beschreibe, wie das Kondensatorfeld zustande kommt.

Tipps

Überlege, wie sich 2 verschiedene Ladungen zueinander verhalten.

Lösung

Wie funktioniert überhaupt ein Kondensator?
Legt man eine Spannung an die Platten des Kondensators an, so erhalten sie eine Ladung: eine positiv, eine negativ.
Dieses entstandene Potential lässt dann ein elektrisches Feld entstehen.
Wie groß die Ladung des Kondensators sein kann, ist definiert durch dessen Kapazität.
Berechne die Fläche der Platten des Plattenkondensators.

Tipps

Schau dir an, wie die Kapazität $C$ berechnet wird.

Lösung

Oft haben wir konkrete Anforderungen an einen Kondensator. Würden wir ihn dann bauen, müssten wir wissen, welche Fläche die Kondensatorplatten brauchen.
Dazu stellen wir die Gleichung für die Kapazität nach der Fläche $A$ um.
$C=\varepsilon_0\cdot\varepsilon_r\cdot\dfrac{A}{d}\rightarrow A=\dfrac{C\cdot d}{\varepsilon_0\cdot\varepsilon_r}$
Dann setzen wir ein:
$A=\dfrac{1500~\text{F}\cdot 0,02~\text{m}}{8,85\cdot 10^{-12}~\dfrac{\text{F}}{\text{m}}\cdot 1}=3,389\cdot 10^{12}~\text{m}^2$ .
Die Einheit ergibt sich aus dem Kürzen des Farads und dem Doppelbruch, aus dem sich Meter mal Meter ergibt.
Das ist erst einmal sehr groß, aber die Industrie hat einen Weg gefunden, solche Kondensatoren winzig klein zu bauen.
Berechne die Kapazität eines elektrischen Systems.

Tipps

Du kannst zuerst die Kapazität der Parallelschaltung berechnen und das Ganze dann als System aus 4 Kondensatoren in Reihenschaltung betrachten.

Lösung

Schaltet man viele Kondensatoren zusammen, so haben sie alle zusammen auch eine Kapazität. Diese rechnen wir hier aus.
Bei der Parallelschaltung addieren wir einfach die Kapazitäten. Bei der Reihenschaltung addieren wir die reziproken Kapazitäten.
Man geht so vor, dass wir die Kapazität der Parallelschaltung aus $C_4$ und $C_5$ berechnen und dann eine Reihenschaltung aus 4 Kondensatoren berechnen.
Bedenken müssen wir aber, dass wir bei der Reihenschaltung $\dfrac{1}{C}$ berechnen und dann noch den Kehrwert nehmen müssen.
Legen wir los:
$\dfrac{1}{C_{ges}}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}+\dfrac{1}{C_3}+\dfrac{1}{C_4+C_5}=\dfrac{1}{20,29}\rightarrow C_{ges}=20,29~\text{F}\approx 20~\text{F}$ .
Letztendlich hat sich die Kapazität der Kondensatoren also verringert, da es sich im Grunde um eine Reihenschaltung handelt.
Beschreibe den Aufbau eines Kondensators.

Tipps

Ob das mit der Elektronenbewegung stimmt, hängt davon ab, wie gut du anhand der Pfeile die Polung erkennst. Nutze daher das Zwischenfeedback und riskiere einen Fehlversuch.

Lösung

Hier siehst du den schematischen Aufbau eines Plattenkondensators.
Die Pfeile zeigen in die technische Flussrichtung. Man nennt sie auch Feldlinien. Die technische Flussrichtung geht von + nach -. Daher ist rechts auch - und links +.
Daraus folgt auch, dass die Pfeile nicht die Bewegungsrichtung von Elektronen darstellen, da Elektronen negativ geladen sind und Richtung + wandern würden.
Berechne die Ladung des Kondensators.

Tipps

$Q=C\cdot U$

Lösung

Die Ladung kann man mit dem Begriff Elektrizitätsmenge ganz gut beschreiben.
Berechnet wird die Ladung mit $Q=C\cdot U$ .
Wir können also einsetzen:
$Q=8,85\cdot 10^{-12}~\dfrac{\text{F}}{\text{m}}\cdot \dfrac{3\cdot 10^{-4}~\text{m}^2}{3\cdot 10^{-3}~\text{m}}\cdot 2000~\text{V}=1,77\cdot 10^{-9}~\text{As}$ .
Die Einheit ergibt sich dadurch, dass die beiden einzelnen Meter die Quadratmeter kürzen und $F=\dfrac{As}{V}$ kürzt das Volt der Spannung. Übrig bleibt As.

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Die Autor*innen

sofatutor Team

Rechnen mit Kondensatoren

lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 9. Klasse

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