Aufgabe zur Reihenschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis

Herzlich willkommen zu einem Video von Dr. Psi. Wir beschäftigen uns heute mit der Lösung einer Aufgabe zur Reihenschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis. Vorab werden wir einige Formeln nochmal wiederholen, die sich mit der Reihenschaltung von Widerständen beschäftigen. Und dann werden wir versuchen, mit Hilfe dieser Formeln die Aufgabe zur Reihenschaltung, die uns vorliegt, zu lösen. Und zum Schluss geben wir wieder einen Überblick über das Gelernte. Wir sehen hier eine Reihenschaltung von Widerständen, einmal als ohmscher Widerstand die Glühlampe, dann eine Spule und ein Kondensator. Und an dieser Reihenschaltung liegt eine frequenzvariable Spannung an. Wir können aufgrund der Zusammenhänge, die wir in früheren Videos schon gesehen haben, ein Zeigerdiagramm für die Widerstände erstellen. Und das sehen wir an dieser Stelle und wir können dort mit Hilfe des Pythagoras den Gesamtwiderstand Z, den wir als Impedanz oder auch als Scheinwiderstand bezeichnen, herleiten. Wir nehmen das Quadrat über den Katheten, deren Summe, und setzen das gleich dem Gesamtwiderstand Z, und erhalten: Z gleich Wurzel aus R²+(X_L-X_C)². X_L ist der induktive Widerstand, also der Widerstand der Spule, und X_C der Widerstand des Kondensators, also der kapazitive Widerstand. Wenn wir jetzt die entsprechenden Zusammenhänge für X_L und X_C einsetzen, also zum Beispiel: X_L ist gleich Omega mal L, wobei L die Induktivität der Spule ist. Und: X_C gleich 1 durch Omega mal C. C ist die Kapazität des Kondensators und Omega ist die Kreisfrequenz: Omega =2Pif. Wenn wir das in diese Formel einsetzen, erhalten wir den Wechselstromwiderstand in folgender Form: R², der ohmsche Widerstand, Plus X_L, das ist Omega L, Minus X_C, das ist eins durch Omega C, in Klammern zum Quadrat. Und hier tritt noch ein besonderer Fall auf. Wenn nämlich diese Widerstände, das ist ja ein Wirkwiderstand R, und die beiden Widerstände sind Blindwiderstände, wenn die Klammer gleich null ist, dann sehen wir hier, dass das ein besonderer Fall ist. Wir kennen das als Resonanzfall. Und wenn wir das gleich null setzen, dann können wir Omega L gleich 1 durch Omega C setzen und gewinnen daraus, wenn wir jetzt für Omega „2 Pi f“ einsetzen, die Resonanzfrequenz der Reihenschaltung. Das ist f gleich eins durch zwei Pi mal Wurzel L mal C. Wir behandeln jetzt eine Textaufgabe zum Thema Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen und wir betrachten eine Reihenschaltung, so wie sie hier zunächst mal in einem Bild dargestellt ist. Wir haben Messgeräte für Stromstärke und Spannung. Dann haben wir einen Kondensator C₁ und eine Spule, die die Induktivität L hat. Es liegt an diesem Wechselstromkreis eine frequenzvariable Spannung an. In einer zweiten Schaltung wird parallel zum Kondensator C₁ ein Kondensator C₂ geschaltet. Und für beide Schaltungen wird ein Frequenz-Stromstärke-Diagramm aufgenommen. Wir haben als gegebene Größen eine Spannung von drei Volt, eine Induktivität von 40 Millihenry. Und an gesuchten Größen sind folgende festzustellen: Wir betrachten unsere beiden Schaltungen und dazu werden jetzt die Diagramme dargestellt, die aufgenommen wurden: Die Frequenzabhängigkeit der Stromstärke. Wir haben zwei Diagramme dort. Ein Diagramm hier in schwarzer Farbe dargestellt, mit (1) bezeichnet: Das betrifft die erste Reihenschaltung von der Kapazität C₁ und der Spule. Und das rote Diagramm ist die Kurve, die aufgenommen wurde, wenn jetzt ein zweiter Kondensator zu dem ersten parallel geschaltet wird. Unsere Fragestellungen sind jetzt folgende: Wir beobachten ja in diesen Diagrammen eine Verschiebung der Frequenz von der schwarzen Kurve zur roten Kurve, also der Resonanzfrequenz, die hier mit f₀₁ bezeichnet wird. Die ist größer als die von f₀₂. Warum ist das so? Nun, das wollen wir klären. Dann wollen wir mit Hilfe unserer Daten die beiden Kapazitäten bestimmen, also C₁ und C₂ und wollen dann schließlich in einem dritten Schritt einige Widerstände bestimmen, insbesondere den Widerstand – wir sehen das ja hier in der graphischen Darstellung, die beiden Kurven schneiden sich an einer bestimmten Stelle. Ich habe übrigens in diese Diagramme Zwischenwerte eingezeichnet, die wir brauchen und da finden wir auch diesen Punkt Z_S. Das ist der Schnittpunkt dieser beiden Diagramme. Und dann wollen wir noch die Werte für C₁ und C₂ ausrechnen. Kommen wir nun zu unserer ersten Aufgabe: Warum ist die Resonanzfrequenz f₀₁ größer als f₀₂? Um diese Frage zu beantworten, also wir wollen jetzt a) lösen. Schauen wir uns mal die Formel für die Resonanzfrequenz nochmal an. Das ist 1 durch 2Pi Wurzel LC. Und wenn wir mal von den Konstanten 2Pi und der Konstanten Induktivität absehen, ist f₀ ja proportional zu 1 durch Wurzel aus C. Gucken wir uns mal die beiden Schaltungen nochmal an und vergegenwärtigen uns, dass in der ersten Schaltung haben wir eine Kapazität C₁. In der zweiten Schaltung haben wir zwei Kondensatoren parallel geschaltet und wenn du dich noch erinnern kannst, ist für eine Parallelschaltung die Gesamtkapazität die Summe der beiden Einzelkapazitäten. Also ist folgende Ungleichung gültig: C₁ Plus C₂, die Gesamtkapazität in der zweiten Schaltung, also für f₀₂, die ist größer als die Kapazität von C₁. Wenn wir nun diese Proportionalität berücksichtigen, fällt sofort auf, dass gelten muss: f₀₁>f₀₂. Warum? Na klar, wenn wir hier die Kapazität C₁ einsetzen, ist natürlich dieser Wert hier kleiner und damit ist die Frequenz größer als in dem anderen Fall. Wenn wir hier einen größeren Wert unter der Wurzel haben, ist die Frequenz – im Nenner steht ja dann ein größerer Wert – kleiner und daher gilt diese Beziehung, dass die Frequenz sich bei der Zuschaltung von einem zweiten Kondensator zu kleineren Werten hin verschiebt. Damit wäre also die Aufgabe a) gelöst. Nun die Aufgabe b). Wir benutzen diese Beziehung, dass die Frequenz proportional ist zu 1 durch Wurzel aus C, und bilden jetzt mal das Verhältnis von f₀₁ durch f₀₂, und das ist gleich f₀₁, das ist ja proportional, hier 1 durch C₁, das steht also dann im Nenner: Wurzel aus C₁. Und im Zähler steht die Summe dieser beiden Einzelkapazitäten, das wäre dann C₁ Plus C₂. Das können wir quadrieren. Dann steht hier f₀₁² durch f₀₂² und das ist gleich C₁ Plus C₂ durch C₁. Nun, wenn wir hier jetzt die Werte, die gegeben sind, einsetzen. Wir schauen noch einmal auf unser Diagramm. Wir lesen dort ab, dass f₀₁ einen Wert hat von 1185 Hertz, das quadrieren wir. f₀₂ hat einen Wert von 840 Hertz. Das quadrieren wir und wenn wir das mit dem Taschenrechner, das solltest du unbedingt tun, mal ausrechnen, bekommen wir einen Wert raus, der ungefähr gleich 2 ist. Wenn wir das hier berücksichtigen, dann finden wir hier 2 ist gleich C₁ Plus C₂ durch C₁. Wir bringen C₁ rüber, erhalten 2C₁ gleich C₁ Plus C₂. Subtrahieren wir C₁, dann steht hier C₁ gleich C₂. Und damit haben wir nachgewiesen, dass hier C₁ ungefähr gleich C₂ ist. Das Ungefährzeichen kommt aus dieser Beziehung, hier steht natürlich C₁ gleich C₂. Gut, wir wollen uns dann im nächsten Schritt der Lösung der Aufgabe c) zuwenden. Kommen wir zur Lösung unserer Aufgabe c). Wir wissen ja, dass im Resonanzfall X_L=X_C gilt. Und wenn wir uns noch die Impedanz vorstellen, das war ja Wurzel aus R² Plus in Klammern Omega L Minus 1 durch Omega C zum Quadrat, und im Resonanzfall sind X_L und X_C gleich. Dann fällt diese Klammer, die Blindwiderstände betreffen, weg, und es bleibt der Wirkwiderstand R² unter der Wurzel. Und Z ist dann Wurzel aus A², also in diesem Fall ist dann Z gleich R. Und damit könne wir also zum Beispiel den Widerstand für den ersten Stromkreis berechnen. Das ist dann Z₁=R₁ und das ist u durch, in diesem Fall, I₁. Und wenn wir unser Diagramm anschauen, dann finden wir also u. 3 Volt war ja gegeben, I₁, das können wir ablesen. Das ist 0,15 Ampere. Und das gibt dann 20 Ohm. Noch eine Bemerkung zwischendurch: Wir behandeln hier ja eine Textaufgabe und eigentlich gehört zu diesen ganzen Lösungen, die wir hier erhalten haben, ein ganz vernünftiger Antwortsatz. Darauf verzichten wir hier aus Zeitgründen und aus Platzgründen. Ich markiere hier höchstens das Ergebnis mit einem Doppelunterstrich. Also das wäre unser erstes Ergebnis R₁. Und analog können wir jetzt Z₂, das ist gleich R₂, berechnen. Das ist wieder in diesem Fall 3 Volt, analog zu dieser Beziehung. Und wenn wir aus dem Diagramm die Stromstärke ablesen, dann ist das 0,166 Ampere. Und das ist ungefähr 18 Ohm. Und wenn wir jetzt uns den Schnittpunkt unserer beiden Diagramme anschauen, dann können wir den Wechselstrom Widerstand Z_S berechnen, Z_S an dieser Stelle, wo sich die beiden Diagramme schneiden. Ich habe auch hier die Werte notiert, die dort abzulesen sind. Das wäre dann u durch I_S, und das ist, wenn wir die entsprechenden Werte da einsetzen: 3 Volt durch 0,034 Ampere, und das sind rund 88 Ohm. Nun fehlt noch als letztes: Wie groß ist unsere Kapazität? Nun, wir können wieder unsere Beziehung für die Resonanzfrequenz an die Tafel schreiben und das war 1 durch, ich hoffe du kennst die inzwischen auch auswendig, 2Pi Wurzel L mal C. Und hier gewinnen wir durch quadrieren f₀² gleich 1 durch 4Pi² L mal C. Wir stellen das Ganze nach C₁ um, also C₁ wollen wir ausrechnen. Wir könnten hier das aus dem ersten Diagramm oder aus dem zweiten Diagramm ausrechnen. Das ist völlig wurscht. Wir wählen hier C₁ gleich 1 durch 4Pi² mal f₀² mal L. Und wenn wir die Werte einsetzen, ist das 4Pi² mal, das ist die Frequenz, 1185 Hertz, Klammer zu Quadrat, mal 40 Millihenry. Und die Rechnung ergibt, und das solltest du unbedingt selber im Taschenrechner nachrechnen, ungefähr 0,45 Mikrofarad. Und auch die Einheiten solltest du überprüfen für Henry und Hertz. Und daraus gewinnt man dann die Einheit für die Kapazität Farad und die entsprechende Vorsilbe Mikrofarad mit 10^-6. Ja, bis hoffentlich zum nächsten Mal. Dein Dr. Psi.